七轴协作机器人运动学正解计算方法

1. 基本定义

给定关节角向量：

θ = θ₁, θ₂, θ₃, θ₄, θ₅, θ₆, θ₇ᵀ

目标：计算末端执行器相对于基座坐标系的位姿，表示为齐次变换矩阵 ⁿ⁰T₇（即从坐标系 0 到坐标系 7 的变换）。

2. 齐次变换总公式

ⁿ⁰T₇ = ⁿ⁰T₁(θ₁) · ⁿ¹T₂(θ₂) · ⁿ²T₃(θ₃) · ⁿ³T₄(θ₄) · ⁿ⁴T₅(θ₅) · ⁿ⁵T₆(θ₆) · ⁿ⁶T₇(θ₇)

其中"·"表示矩阵乘法。

3. 单个关节的 D--H 齐次变换矩阵

对于第 i 个关节（i = 1 到 7），其从坐标系 {i−1} 到 {i} 的变换矩阵为：

ⁿⁱ⁻¹Tᵢ =

⎡ cosθᵢ −sinθᵢ·cosαᵢ₋₁ sinθᵢ·sinαᵢ₋₁ aᵢ₋₁·cosθᵢ ⎤

⎢ sinθᵢ cosθᵢ·cosαᵢ₋₁ −cosθᵢ·sinαᵢ₋₁ aᵢ₋₁·sinθᵢ ⎥

⎢ 0 sinαᵢ₋₁ cosαᵢ₋₁ dᵢ ⎥

⎣ 0 0 0 1 ⎦

其中：

• θᵢ：关节变量（旋转角，对于旋转关节）
• dᵢ：沿 zᵢ₋₁ 轴的偏移距离
• aᵢ₋₁：沿 xᵢ₋₁ 轴的连杆长度
• αᵢ₋₁：绕 xᵢ₋₁ 轴的连杆扭转角

注：对于典型的七轴协作机器人（如 KUKA LBR iiwa、UR 系列扩展型等），通常全部为旋转关节，因此 θᵢ 为变量，dᵢ、aᵢ₋₁、αᵢ₋₁ 为结构常数。

4. 计算步骤

1. 根据机器人结构，确定标准 D--H 参数表（共 7 行，每行对应一个关节）。
2. 对每个 i ∈ {1, 2, ..., 7}，代入当前 θᵢ 值，计算 ⁿⁱ⁻¹Tᵢ。
3. 按顺序左乘所有变换矩阵，得到最终的 ⁿ⁰T₇。
4. 从 ⁿ⁰T₇ 中提取：
   • 位置：p = T₁₄, T₂₄, T₃₄ᵀ
   • 姿态：旋转矩阵 R = \[T₁₁, T₁₂, T₁₃, T₂₁, T₂₂, T₂₃, T₃₁, T₃₂, T₃₃]

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5. 示例

若已知 D--H 参数，则可编程实现如下伪代码逻辑：

T = I₄ // 4×4 单位矩阵

for i from 1 to 7:

T_i = DH_Transform(thetai, di, ai-1, alphai-1)

T = T @ T_i // 矩阵乘法

end

// T 即为 ⁿ⁰T₇