用填充表格法吃透01背包及其变形
01背包问题是动态规划（Dynamic Programming, DP）领域最经典、最基础的模型之一，后续很多复杂的DP问题都可看作是它的变形或延伸。本文将从"表格可视化"核心思路出发，先通过空表格建立解题框架，再用DP解题5步"万能钥匙"逐步填充表格，最终覆盖基础01背包解法、空间优化技巧，以及4类经典变形的完整拆解（含代码实现），帮你彻底吃透01背包问题。
核心前置认知：01背包的本质是"选或不选"的二选一决策------有n个物品，每个物品有重量和价值，背包有固定容量，要求选择若干物品放入背包，使得总重量不超过容量的前提下，总价值最大（基础模型）。后续所有变形都围绕"选或不选"的核心逻辑展开，只是"物品""容量""目标"的具体含义不同。
动态规划（Dynamic Programming, DP）解决问题的核心逻辑，本质是通过填充表格逐步推导最优解------把复杂的多阶段决策问题，转化为按规则填充表格的可视化过程。以01背包问题（最经典的DP模型）为例，我们先明确最终要填充的核心表格形态，后续所有解题步骤都是为了按规则完成这张表格，表格填完之时，就是问题解决之日。
01背包问题核心表格（空表，后续逐步填充）：
| 前i个物品\背包容量j | 0（容量为0） | 1（容量为1） | 2（容量为2） | ...（容量递增） | C（背包最大容量） |
|---|---|---|---|---|---|
| 0（无物品） | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 |
| 1（第1个物品） | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 |
| 2（第2个物品） | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 |
| ...（物品递增） | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 |
| n（第n个物品） | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充 | 待填充（最终答案） |
表格说明：表格中每个单元格dp[i][j]代表「前i个物品放入容量为j的背包的最大价值」，我们的目标就是按规则填充所有单元格，最终右下角dp[n][C]即为01背包问题的最优解。
要有序、正确地填充这张表格，需要遵循DP解题的5步「万能钥匙」------这是贯穿所有DP问题的通用拆解思路，每一步都对应表格填充的关键环节：
-
确定dp数组及下标的含义 ：定义表格中每个单元格的核心意义（即
dp[i][j]代表什么），这是填充表格的基础； -
确定递推公式 ：明确单元格
dp[i][j]的数值如何通过其他已填充单元格推导得出（即"选或不选"的决策逻辑），这是表格填充的核心规则； -
dp数组如何初始化：确定表格的初始状态（如无物品、容量为0时的单元格值），这是表格填充的起点；
-
确定遍历顺序（表格填充顺序）：明确按什么顺序逐个填写表格中的单元格（如先逐行填、再逐列填），确保推导时依赖的单元格已提前填充；
-
打印dp数组（验证）：通过逐步填充表格、打印中间结果，验证填充规则的正确性，避免逻辑偏差。
后续所有01背包及变形问题的分析，都将围绕这5步「万能钥匙」展开，本质就是用这5步规则完成对应表格的填充，最终通过表格得到问题答案。
一、基础01背包（二维DP解法）
我们先从最直观的二维DP解法入手，严格按照5步「万能钥匙」拆解，完整演示基础表格的填充过程。
示例：有4个物品，重量数组weights = [2,3,4,5]，价值数组values = [3,4,5,6]，背包最大容量capacity = 8，求能放入背包的最大价值。
1.1 步骤1：确定dp数组及下标的含义
定义二维数组dp[i][j]：表示「前i个物品放入容量为j的背包中，能获得的最大价值」。
对应表格维度：i（行）表示物品数量（从0到4，0代表无物品），j（列）表示背包容量（从0到8，0代表容量为0），表格共5行9列（i:0-4，j:0-8）。
1.2 步骤2：确定递推公式
对于第i个物品（重量weights[i-1]、价值values[i-1]，注意数组索引从0开始，i从1开始），有两种核心决策：选或不选。
-
不选第i个物品 ：前i个物品的最大价值 = 前i-1个物品的最大价值，即
dp[i][j] = dp[i-1][j]； -
选第i个物品 ：需保证背包容量j ≥ 第i个物品的重量，此时最大价值 = 前i-1个物品放入容量j-weights[i-1]的背包的最大价值 + 第i个物品的价值，即
dp[i][j] = dp[i-1][j - weights[i-1]] + values[i-1]。
最终递推公式（取两种决策的最大值）：
javascript
if (j < weights[i - 1]) {
// 容量不足，无法选第i个物品
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
// 容量充足，选或不选取最大值
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
}这就是表格中每个单元格的填充规则------每个单元格的值要么继承上一行同列的值，要么继承上一行左侧对应容量的的值并加上当前物品价值，取两者最大。
1.3 步骤3：dp数组如何初始化
初始化的核心是确定表格的"边界条件"，即无需推导就能直接确定的单元格值。
-
i=0（无物品） ：无论背包容量j多大，放入0个物品的最大价值都是0，因此
dp[0][j] = 0（表格第0行全为0）； -
j=0（容量为0） ：无论有多少物品，都无法放入背包，最大价值都是0，因此
dp[i][0] = 0（表格第0列全为0）。
初始化后的表格（第0行、第0列已填充）：
| 前i个物品\背包容量j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0（无物品） | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1（物品1：w=2,v=3） | 0 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 |
| 2（物品2：w=3,v=4） | 0 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 |
| 3（物品3：w=4,v=5） | 0 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 |
| 4（物品4：w=5,v=6） | 0 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 | 待填 |
1.4 步骤4：确定遍历顺序（表格填充顺序）
遍历顺序直接对应二维表格的填充顺序------即「按什么顺序逐个填写表格中的单元格」，这里有两种可行方式：
-
先遍历物品（i从1到n），再遍历容量（j从1到C）：逐行填充表格，先填完第1个物品对应的所有容量（第1行），再填第2个物品对应的所有容量（第2行），直到填完所有物品；
-
先遍历容量（j从1到C），再遍历物品（i从1到n）：逐列填充表格，先填完容量1对应的所有物品数量（第1列），再填容量2对应的所有物品数量（第2列），直到填完所有容量。
两种顺序都可行，因为计算dp[i][j]时，只依赖上一行（i-1行）的结果，无论先填行还是先填列，上一行的对应位置都已提前计算完成。这就像填充一张二维表格：先遍历物品再遍历容量，是逐行填充 （每一行对应一个物品的决策，填完一行再处理下一个物品）；先遍历容量再遍历物品，是逐列填充（每一列对应一个固定容量，先确定所有物品在该容量下的最优解）。实际解题中更常用「先遍历物品，再遍历容量」的顺序，符合我们「逐个考虑物品是否放入」的思考逻辑。
1.5 步骤5：打印dp数组（验证）
这一步是直接验证表格填充结果的正确性------通过逐步填充表格、打印中间状态，确认每一步都符合递推规则，避免因规则理解偏差导致填充错误。以示例weights = [2,3,4,5]、values = [3,4,5,6]、capacity = 8为例，逐步填充核心表格验证逻辑：
-
填充第1行（i=1，物品1：w=2,v=3）：
填充后第1行：[0,0,3,3,3,3,3,3,3]
-
j=1：容量<2，无法选，dp[1][1] = dp[0][1] = 0；
-
j=2：容量≥2，选则价值=dp[0][0]+3=3，不选则0，取max=3；
-
j=3-8：选则价值=dp[0][j-2]+3=3，不选则0，取max=3；
-
-
填充第2行（i=2，物品2：w=3,v=4）：
填充后第2行：[0,0,3,4,4,7,7,7,7]
-
j=1-2：容量<3，dp[2][j] = dp[1][j]（0,3）；
-
j=3：选则dp[1][0]+4=4，不选则3，取max=4；
-
j=4：选则dp[1][1]+4=4，不选则3，取max=4；
-
j=5：选则dp[1][2]+4=3+4=7，不选则3，取max=7；
-
j=6-8：选则dp[1][j-3]+4=3+4=7，不选则3，取max=7；
-
-
填充第3行（i=3，物品3：w=4,v=5）：
填充后第3行：[0,0,3,4,5,5,8,9,9]
-
j=1-3：容量<4，dp[3][j] = dp[2][j]（0,0,3）；
-
j=4：选则dp[2][0]+5=5，不选则4，取max=5；
-
j=5：选则dp[2][1]+5=5，不选则4，取max=5；
-
j=6：选则dp[2][2]+5=3+5=8，不选则7，取max=8；
-
j=7：选则dp[2][3]+5=4+5=9，不选则7，取max=9；
-
j=8：选则dp[2][4]+5=4+5=9，不选则7，取max=9；
-
-
填充第4行（i=4，物品4：w=5,v=6）：
填充后第4行：[0,0,3,4,5,6,8,9,10]
-
j=1-4：容量<5，dp[4][j] = dp[3][j]（0,0,3,4）；
-
j=5：选则dp[3][0]+6=6，不选则5，取max=6；
-
j=6：选则dp[3][1]+6=6，不选则8，取max=8；
-
j=7：选则dp[3][2]+6=3+6=9，不选则9，取max=9；
-
j=8：选则dp[3][3]+6=4+6=10，不选则9，取max=10；
-
最终填充完成的表格：
| 前i个物品\背包容量j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0（无物品） | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1（物品1：w=2,v=3） | 0 | 0 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 2（物品2：w=3,v=4） | 0 | 0 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| 3（物品3：w=4,v=5） | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 5 | 8 | 9 | 9 |
| 4（物品4：w=5,v=6） | 0 | 0 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 |
表格右下角dp[4][8] = 10，即该示例的最大价值为10，与预期结果一致。
1.6 基础二维DP完整代码（JavaScript）
javascript
/**
* 基础01背包（二维DP解法）
* @param {number[]} weights - 物品重量数组
* @param {number[]} values - 物品价值数组
* @param {number} capacity - 背包最大容量
* @returns {number} - 背包能容纳的最大价值
*/
function knapsack_2d(weights, values, capacity) {
const n = weights.length;
// 1. 初始化二维dp数组：dp[i][j]表示前i个物品放入容量j的背包的最大价值
const dp = new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(capacity + 1).fill(0));
// 2. 遍历顺序：先遍历物品（i从1到n），再遍历容量（j从1到capacity）（逐行填充）
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= capacity; j++) {
// 3. 递推公式：容量不足则不选，容量充足则选或不选取最大值
if (j < weights[i - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
}
}
}
// 打印完整dp数组（表格）验证
console.log('基础01背包二维DP数组（表格）：');
for (let i = 0; i <= n; i++) {
console.log(dp[i].join('\t'));
}
// 最终答案：前n个物品放入容量capacity的背包的最大价值
return dp[n][capacity];
}
// 测试用例
const weights = [2, 3, 4, 5];
const values = [3, 4, 5, 6];
const capacity = 8;
console.log('最大价值：', knapsack_2d(weights, values, capacity)); // 输出：10