[数字信号处理-入门] 时域分析

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文章目录

[[数字信号处理-入门] 时域分析](#[数字信号处理-入门] 时域分析)
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前提概要
- - - [1. 连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t)](#1. 连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t))
    - [2. 离散时间信号 x ( n ) x(n) x(n)](#2. 离散时间信号 x ( n ) x(n) x(n))
常用序列
- - - [1. δ ( n ) \delta(n) δ(n)的抽样性质](#1. δ ( n ) \delta(n) δ(n)的抽样性质)
    - [2. A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi) Asin(ω0n+φ)的频率](#2. A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi) Asin(ω0n+φ)的频率)
    - [3. A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi) Asin(ω0n+φ)是否为周期序列](#3. A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi) Asin(ω0n+φ)是否为周期序列)
    - [4. 卷积](#4. 卷积)
系统
- - - [1. 线性/叠加性](#1. 线性/叠加性)
    - [2. 时不变性](#2. 时不变性)
    - [3. 因果性](#3. 因果性)
    - [4. 稳定性](#4. 稳定性)
    - [LTI系统的 h ( n ) h(n) h(n)](#LTI系统的 h ( n ) h(n) h(n))
    - [LTI系统的 H ( z ) H(z) H(z)](#LTI系统的 H ( z ) H(z) H(z))
时域采样

前提概要

频域是复频域的子集

1. 连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t)

不学

分析域	核心描述	对应变换	变换定义
时域分析	研究连续信号 x(t) 随时间 t 的变化规律	无特定变换，直接分析 x(t) 的波形、幅值、周期等特征
频域分析	研究连续信号的频率成分，分解为不同频率的正弦 / 余弦分量	傅里叶变换FT	X ( j ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j ω t d t X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt X(jω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt
复频域分析	引入复频率 s，是频域的广义拓展	拉普拉斯变换LT	X ( s ) = ∫ 0 ∞ x ( t ) e − s t d t X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}dt X(s)=∫0∞x(t)e−stdt

2. 离散时间信号 x ( n ) x(n) x(n)

学

分析域	核心描述	对应变换	变换定义
时域分析	研究离散信号 x(n) 随整数时间 n 的变化规律	无特定变换，直接分析 x(n) 的序列值、周期、稳态 / 暂态特性等
频域分析	研究离散信号的频率成分，分解为不同频率的复指数分量（频率范围局限于 [−π,π]）	离散时间傅里叶变换 DTFT	X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} X(ejω)=∑n=−∞∞x(n)e−jωn
复频域分析	引入复频率 z，是离散时间频域的广义拓展	Z变换ZT	X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x ( n ) z − n X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=∑n=0∞x(n)z−n

DFT是DTFT的采样

FFT是DFT的快速算法

常用序列

δ ( n ) , u ( n ) , R N ( n ) , a n u ( n ) , e ( σ + j ω 0 ) n , A s i n ( ω 0 n + φ ) \delta(n), u(n), R_N(n), a^n u(n), e^{(\sigma+j\omega_0)n}, Asin(\omega_0 n + \varphi) δ(n),u(n),RN(n),anu(n),e(σ+jω0)n,Asin(ω0n+φ)

1. δ ( n ) \delta(n) δ(n)的抽样性质

x ( m ) δ ( n − m ) = { x ( n ) , n = m 0 , e l s e x(m)\delta(n-m)= \begin{cases} x(n),\quad n=m \\ 0,\quad else \end{cases} x(m)δ(n−m)={x(n),n=m0,else

2. A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi) Asin(ω0n+φ)的频率

模拟频率 f f f: 单位 H z Hz Hz
模拟角频率 Ω \Omega Ω: 单位 r a d / s rad/s rad/s
采样频率 f s f_s fs: 单位 H z Hz Hz
采样间隔 T T T: T = 1 / f s T=1/f_s T=1/fs

-> 数字频率 ω \omega ω: 单位 r a d rad rad
ω = Ω ⋅ T = 2 π f f s \omega = \Omega \cdot T=2\pi\frac{ f}{f_s} ω=Ω⋅T=2πfsf

3. A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi) Asin(ω0n+φ)是否为周期序列

2 π ω 0 = { 整数 , K=1即可有理数 , K为让其变为整数的最小数 \frac{2\pi}{\omega_0}= \begin{cases} \text{整数},\quad \text{K=1即可} \\ \text{有理数},\quad \text{K为让其变为整数的最小数} \end{cases} ω02π={整数,K=1即可有理数,K为让其变为整数的最小数

-> 周期 N = 2 π ω 0 K N=\frac{2\pi}{\omega_0}K N=ω02πK

4. 卷积

z ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( m ) y ( n − m ) \begin{align} z(n)&=x(n)*y(n) \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(m)y(n-m) \end{align} z(n)=x(n)∗y(n)=n=−∞∑∞x(m)y(n−m)

系统

1. 线性/叠加性

T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] = a y 1 ( n ) + b y 2 ( n ) T[ax_1(n)+bx_2(n)]=ay_1(n)+by_2(n) T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)

线性系统 满足叠加定理, 零输入一定产生零输出(没有初始储能 )

-> 系统是线性方程, 但不代表是线性系统, 因其零输入响应不为零

2. 时不变性

T [ x ( n − k ) ] = y ( n − k ) T[x(n-k)]=y(n-k) T[x(n−k)]=y(n−k)

若有一个移变的增益->时变系统
y ( n ) = n x ( n ) y(n)=\mathbf{n}x(n) y(n)=nx(n), y ( n ) = s i n ( 2 π n 9 ) x ( n ) y(n)=\mathbf{sin(\frac{2\pi n}{9})}x(n) y(n)=sin(92πn)x(n)

若在时间轴(n)上有任何压缩or扩展 -> 时变系统
y ( n ) = x ( M n ) y(n)=x(\mathbf{M}n) y(n)=x(Mn), y ( n ) = x ( n / I ) y(n)=x(n/\mathbf{I}) y(n)=x(n/I)

3. 因果性

输出不发生在输入之前

4. 稳定性

有界输入产生有界输出

LTI系统的 h ( n ) h(n) h(n)

h ( n ) = T [ δ ( n ) ] h(n)=T[\delta(n)] h(n)=T[δ(n)]

因果性: h ( n ) h(n) h(n)是因果序列
稳定性: h ( n ) h(n) h(n)绝对可和

LTI系统的 H ( z ) H(z) H(z)

X ( z ) = Z T [ x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)=\mathrm{ZT}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} X(z)=ZT[x(n)]=n=−∞∑∞x(n)z−n

因果性: 收敛域在某个圆的外面
稳定性: 单位圆在收敛域里面

-> 因果稳定性: 收敛域在R<1的圆的外面

时域采样

奈奎斯特抽样定理:
f s > 2 f h f_s>2f_h fs>2fh