- 自由电子气模型 ：这是基准线 。它假设电子完全自由，无相互作用，无晶格。其核心结论------抛物线型的色散关系
E ∝ k²，是后续所有复杂模型的零级近似 。它解释了金属高电导率、比热等宏观性质，引入了费米能 、费米面等核心概念。 - 无限深势阱模型 ：这是边界条件的启蒙 。它将电子限制在有限空间，揭示了量子尺寸效应的核心：能量离散化、波函数驻波化。这是理解量子点、纳米线、量子阱等低维材料电子态的基础。
- Kronig-Penney模型 ：这是周期势场的启蒙 。它通过一个高度简化的周期性势场，解析地推导出固体物理中最重要的概念：能带 与带隙。它回答了"绝缘体、半导体、金属的根本区别是什么？"这个核心问题。
- 氢样杂质模型 ：这是缺陷物理的起点 。它将掺杂原子视为嵌入均匀介质中的类氢原子，引入有效质量 和介电常数，成功解释了半导体掺杂能级的浅深、束缚能大小，是理解和设计半导体器件（如PN结、晶体管）的基石。
这四个模型，对应了理解材料电子结构的四个关键维度：
动能 、边界 、周期场 、局域场。
整合的Python可视化与计算指南
模型1：自由电子气 ------ 抛物线色散
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用来正常显示负号
# 1. 一维色散关系 (E-k曲线)
hbar = 1.0; m = 1.0 # 使用简约单位
k = np.linspace(-3*np.pi, 3*np.pi, 500)
E = (hbar**2 * k**2) / (2*m)
plt.figure(figsize=(5,4))
plt.plot(k, E, 'b-', linewidth=2, label=r'$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$')
plt.xlabel('波矢 k'); plt.ylabel('能量 E')
plt.title('自由电子色散关系 (1D)')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle=':', alpha=0.5)
plt.grid(True, alpha=0.3); plt.legend()
plt.show()
# 2. 三维费米面 (在2D投影中展示)
kx = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
ky = np.linspace(-np.pi, np.pi, 200)
KX, KY = np.meshgrid(kx, ky)
E_F = 5.0 # 假设一个费米能
# 费米面满足 k_x^2 + k_y^2 = k_F^2
k_F = np.sqrt(2*m*E_F) / hbar
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
k_Fx = k_F * np.cos(theta)
k_Fy = k_F * np.sin(theta)
plt.figure(figsize=(5,5))
plt.contourf(KX, KY, (hbar**2*(KX**2+KY**2))/(2*m), levels=20, cmap='Blues')
plt.plot(k_Fx, k_Fy, 'r-', linewidth=3, label=f'费米面 (E_F={E_F})')
plt.xlabel('$k_x$'); plt.ylabel('$k_y$')
plt.title('自由电子费米面 (2D投影)')
plt.axis('equal'); plt.colorbar(label='能量 E'); plt.legend()
plt.show()物理要点：抛物线关系是动能项的直接体现。费米面内填满电子，是导电的源泉。
模型2：无限深势阱 ------ 量子化与驻波
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
L = 1.0 # 势阱宽度，单位nm（概念上）
x = np.linspace(0, L, 1000)
n_max = 4 # 计算前4个本征态
plt.figure(figsize=(8,6))
for n in range(1, n_max+1):
# 波函数 psi_n(x) = sqrt(2/L) * sin(n*pi*x/L)
psi = np.sqrt(2/L) * np.sin(n * np.pi * x / L)
# 能量 E_n = (n^2 * hbar^2 * pi^2) / (2*m*L^2) ∝ n^2
E_n = n**2 # 以简约单位表示
# 绘制波函数，并按能量大小在y方向平移
plt.plot(x, psi + E_n, label=rf'$n={n}, E \propto {n}^2$', linewidth=2)
# 填充概率密度 |psi|^2，更直观
plt.fill_between(x, E_n, psi+E_n, alpha=0.2)
plt.title('一维无限深势阱：量子化能级与波函数', fontsize=14)
plt.xlabel('位置 x (nm)'); plt.ylabel('能量 (简约单位) / 波函数')
plt.yticks([1,4,9,16], [r'$E_1$', r'$E_2$', r'$E_3$', r'$E_4$'])
plt.xticks([0, L], ['0', 'L'])
plt.legend(loc='upper right'); plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()物理要点 ：边界条件(ψ(0)=ψ(L)=0)导致波矢k量子化 (k=nπ/L)，进而导致能量量子化 (E_n ∝ n²)。节点数 = n-1。
模型3：Kronig-Penney模型 ------ 能带与带隙的诞生
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 参数
a = 1.0 # 晶格常数
P = 3.0 * np.pi # δ势垒的强度参数 (P越大，带隙越宽)
hbar = 1.0; m = 1.0
def rhs(E):
"""计算超越方程 cos(ka) = f(E) 的右边 f(E)"""
# q = sqrt(2mE)/hbar, E需大于0
q = np.sqrt(2*m*E) / hbar
# 避免除零，E很小时做处理
with np.errstate(divide='ignore', invalid='ignore'):
f_val = np.cos(q*a) + (m*P/(hbar**2 * q)) * np.sin(q*a)
f_val = np.nan_to_num(f_val, nan=1e10, posinf=1e10, neginf=-1e10)
return f_val
# 扫描能量E
E_range = np.linspace(0.1, 100, 5000) # 能量范围
f_vals = rhs(E_range)
# 绘图：找到允许带 (|f(E)| <= 1) 和禁带 (|f(E)| > 1)
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(E_range, f_vals, 'b-', linewidth=0.8, label=r'$f(E) = \cos(qa) + \frac{mP}{\hbar^2 q}\sin(qa)$')
plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', linewidth=1, alpha=0.7, label='允许带边界')
plt.axhline(y=-1, color='r', linestyle='--', linewidth=1, alpha=0.7)
# 高亮允许区域
plt.fill_between(E_range, -1, 1, where=(np.abs(f_vals) <= 1),
color='green', alpha=0.3, label='允许能带')
plt.xlabel('能量 E (简约单位)')
plt.ylabel('f(E)')
plt.title(f'Kronig-Penney模型 (P={P:.1f})：允许带与禁带', fontsize=14)
plt.ylim(-3, 3); plt.xlim(0, 30) # 观察前几个能带
plt.grid(True, alpha=0.3); plt.legend()
plt.show()
# 扩展：尝试提取并绘制E-k关系（第一布里渊区）
ka_allowed = []
E_allowed = []
for E, f in zip(E_range, f_vals):
if np.abs(f) <= 1:
# 对于每个允许的E，k = arccos(f(E)) / a (注意多值性)
ka = np.arccos(np.clip(f, -1, 1)) # 主值在[0, π]
ka_allowed.append(ka)
E_allowed.append(E)
# 由于对称性，也记录负k部分
# ka_allowed.append(-ka)
# E_allowed.append(E)
plt.figure(figsize=(6,5))
plt.scatter(ka_allowed, E_allowed, s=1, c='b', alpha=0.6)
plt.xlabel(r'简约波矢 $k a$')
plt.ylabel('能量 E')
plt.title('Kronig-Penney模型的E-k关系 (示意)')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()物理要点 ：周期性势场破坏了自由电子的连续能谱，将其分割成允许能带 和禁止带隙 。|f(E)|>1时，k为复数，对应衰减的布洛赫波，即禁带。
模型4：氢样杂质 ------ 材料工程的关键
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 物理常数 (SI单位)
m_e = 9.109e-31 # 电子质量 (kg)
hbar = 1.055e-34 # 约化普朗克常数 (J·s)
eps0 = 8.854e-12 # 真空介电常数 (F/m)
q_e = 1.602e-19 # 元电荷 (C)
a0 = 5.292e-11 # 玻尔半径 (m)
Ry = 13.6057 # 里德伯能量 (eV)，氢原子基态结合能
def donor_properties(m_ratio, eps_r):
"""
计算氢样杂质的特性。
参数:
m_ratio: 有效质量相对于自由电子的比值 (m*/m_e)
eps_r: 相对介电常数
返回:
a_star_nm: 有效玻尔半径 (nm)
E_bind_meV: 基态束缚能 (meV)
"""
# 有效玻尔半径: a* = (eps_r / m*) * a0
a_star = (eps_r / m_ratio) * a0 # 单位: m
a_star_nm = a_star * 1e9 # 转换为 nm
# 束缚能: E* = (m*/eps_r^2) * Ry
E_bind_eV = (m_ratio / (eps_r**2)) * Ry
E_bind_meV = E_bind_eV * 1000 # 转换为 meV
return a_star_nm, E_bind_meV
# 定义几种常见半导体材料的参数 [m*/m_e, eps_r]
materials = {
'GaAs': (0.067, 12.9),
'InSb': (0.014, 17.7), # 窄带隙，m*极小
'Si': (0.26, 11.7),
'Ge': (0.12, 16.0),
'GaN': (0.20, 8.9), # 宽带隙，eps较小
}
print("="*65)
print(f"{'材料':<8} | {'m*/m_e':<10} | {'ε_r':<8} | {'a* (nm)':<12} | {'束缚能 (meV)':<15}")
print("-"*65)
results = {}
for name, (mr, eps) in materials.items():
a_nm, E_meV = donor_properties(mr, eps)
results[name] = (a_nm, E_meV)
print(f"{name:<8} | {mr:<10.3f} | {eps:<8.2f} | {a_nm:<12.2f} | {E_meV:<15.2f}")
print("="*65)
# 可视化对比
names = list(results.keys())
a_stars = [results[n][0] for n in names]
E_binds = [results[n][1] for n in names]
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
x_pos = np.arange(len(names))
# 子图1: 有效玻尔半径对比
ax1.bar(x_pos, a_stars, color='skyblue', edgecolor='black')
ax1.set_xlabel('材料'); ax1.set_ylabel('有效玻尔半径 a* (nm)')
ax1.set_title('不同半导体中氢样杂质的有效玻尔半径')
ax1.set_xticks(x_pos); ax1.set_xticklabels(names)
# 在柱子上标注数值
for i, v in enumerate(a_stars):
ax1.text(i, v+0.5, f'{v:.1f}', ha='center', va='bottom')
# 子图2: 束缚能对比 (对数坐标更清晰)
ax2.bar(x_pos, E_binds, color='lightcoral', edgecolor='black')
ax2.set_xlabel('材料'); ax2.set_ylabel('束缚能 (meV)')
ax2.set_title('不同半导体中氢样杂质的基态束缚能')
ax2.set_xticks(x_pos); ax2.set_xticklabels(names)
ax2.set_yscale('log') # 使用对数坐标，因为数值跨度大
for i, v in enumerate(E_binds):
ax2.text(i, v*1.2, f'{v:.1f}', ha='center', va='bottom')
plt.tight_layout()
plt.show()
# 关键结论分析
print("\n=== 物理解读 ===")
print("1. GaAs/InSb: 有效质量小，介电常数大 -> a* 很大 (~10 nm)，束缚能极小 (~5 meV)。")
print(" -> 室温热动能 (~26 meV) >> 束缚能，杂质几乎完全电离，是优良的半导体材料。")
print("2. Si/Ge: 参数适中，束缚能 ~30-100 meV，需低温或掺杂浓度高时才会完全电离。")
print("3. GaN: 介电常数小，导致束缚能较大 (~30 meV)，且a*较小 (~2 nm)。")
print("总结：通过 m* 和 ε_r 这两个'材料旋钮'，我们可以'设计'杂质的电离行为。")物理要点 ：束缚能 E_b ∝ m*/ε_r²，玻尔半径 a* ∝ ε_r/m*。浅能级杂质（如GaAs中的Si）在室温下即可电离，提供导电电子或空穴，是半导体技术的基础。
四个模型，完美对应了固态物理入门阶段必须解答的四个根本性问题：
- 自由电子模型 ：解答 "金属为什么能导电？" 引入了费米海的概念，电子在费米面附近参与导电。
- 无限深势阱模型 ：解答 "当材料尺寸小到纳米量级，电子的行为会发生什么突变？" 引入了量子约束效应，导致能级离散、态密度变化，是纳米科技的基石。
- Kronig-Penney模型 ：解答 "绝缘体、半导体和金属的根本区别是什么？" 引入了能带理论的核心图像：满带不导电，部分填充的带可导电，带隙宽度决定绝缘/半导体性质。
- 氢样杂质模型 ：解答 "如何精确控制半导体的导电类型和导电能力？" 建立了掺杂理论，解释了施主/受主能级的形成，是半导体器件（二极管、晶体管）工作的物理基础。
这四位一体，构成了理解几乎所有现代电子材料与器件工作原理的最小必要知识集。通过Python将这些模型可视化，不仅能加深理解，更能将抽象的公式转化为直观的图像，极大地提升学习效率和解题能力。