二叉树入门全攻略：从树的概念到遍历实现

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文章目录

二叉树入门全攻略：从树的概念到遍历实现✨
- 文章摘要
- [一、知识回顾：线性结构 vs 非线性结构](#一、知识回顾：线性结构 vs 非线性结构)
- 二、树的核心概念：什么是倒挂的树？📚
- - [1. 树的定义（递归本质）](#1. 树的定义（递归本质）)
  - [2. 树的关键术语（必须熟记）](#2. 树的关键术语（必须熟记）)
  - [3. 树的三种表示方式](#3. 树的三种表示方式)
- 三、二叉树的核心知识：最简单的树结构🌿
- - [1. 二叉树的定义](#1. 二叉树的定义)
  - [2. 二叉树的三种遍历方式（分治算法核心）](#2. 二叉树的三种遍历方式（分治算法核心）)
  - [3. 二叉树遍历的代码实现](#3. 二叉树遍历的代码实现)
- [四、特殊二叉树：满二叉树 vs 完全二叉树🌟](#四、特殊二叉树：满二叉树 vs 完全二叉树🌟)
- - [1. 满二叉树（装满的二叉树）](#1. 满二叉树（装满的二叉树）)
  - [2. 完全二叉树（填不满但连续的二叉树）](#2. 完全二叉树（填不满但连续的二叉树）)
- 五、二叉树的5个核心性质（必背）📝
- - 性质3推导（重中之重）：
- 六、写在最后

二叉树入门全攻略：从树的概念到遍历实现✨

你好！欢迎来到数据结构系列二叉树篇的第一篇内容～

在前面的栈与队列篇中，我们掌握了两种经典的线性结构变种，而今天要解锁的二叉树，是数据结构世界中第一个真正意义上的非线性结构。它打破了线性排列的限制，以分支+层级的形式组织数据，是后续学习平衡树、红黑树、B树等高级数据结构的基础，更是算法面试中的高频考点🌳

准备好了吗？让我们从树的基础概念入手，一步步吃透二叉树的核心知识！🚀

文章摘要

本文为数据结构系列二叉树篇首篇入门内容，系统讲解树与二叉树的核心概念、结构特征及关键术语，重点剖析二叉树前序、中序、后序三种遍历方式的分治思想与代码实现，补充满二叉树、完全二叉树等特殊二叉树的定义与数学性质，结合实例推导二叉树节点数、高度等核心公式，零基础也能吃透二叉树的基础理论与核心操作。

阅读时长 ：约25分钟
阅读建议：

基础薄弱者：先理解树的递归定义，再掌握二叉树遍历的核心逻辑
刷题备考者：重点记忆二叉树的5个核心性质及推导过程
面试冲刺者：熟练掌握前/中/后序遍历的递归实现模板
查漏补缺者：聚焦满二叉树与完全二叉树的区别及公式推导

一、知识回顾：线性结构 vs 非线性结构

在学习二叉树之前，我们先对比线性结构和非线性结构的核心差异：

结构类型	核心特征	代表结构	数据关系
线性结构	数据呈线性排列，每个元素仅有一个前驱/后继	顺序表、链表、栈、队列	一对一
非线性结构	数据呈层级/网状排列，元素可有多个前驱/后继	树、图	一对多（树）/多对多（图）

简单来说：线性结构是一条线，树结构是一棵树，而二叉树是树结构中最简单、最常用的一种！

二、树的核心概念：什么是倒挂的树？📚

1. 树的定义（递归本质）

树是一种非线性结构，像一棵根朝上、叶朝下的倒挂树，核心特征：

有且仅有一个根节点（最顶层的节点）；
根节点下有若干棵互不相交的子树，子树同样满足树的定义（递归）；
除根节点外，每个节点有且仅有一个父节点；
n个节点的树有n-1条边（无环、无孤立节点）。

2. 树的关键术语（必须熟记）

术语	定义	示例
节点的度	一个节点包含的子树个数	根节点A有6个子节点 → A的度为6
叶子节点（终端节点）	度为0的节点（无子女）	B、C、H、I
分支节点（非终端节点）	度不为0的节点	D、E、F、G
父/子节点	若节点X是Y的子树根，则X是Y的父，Y是X的子	A是B的父，B是A的子
兄弟节点	具有相同父节点的节点	B和C是亲兄弟
树的度	树中所有节点的度的最大值	树的度=6（A的度）
节点的层次	根为第1层，子节点为第2层（推荐方式）	A在第1层，B在第2层
树的高度（深度）	树中节点的最大层次	若I在第4层 → 树高=4

3. 树的三种表示方式

树的存储需要适配一对多的特性，常见三种方式：

表示方式	核心思路	优缺点
顺序存孩子指针	直接定义多个孩子指针（child1/child2...）	优点：简单；缺点：子节点数固定，浪费空间
左孩子右兄弟（推荐）	每个节点存左孩子+右兄弟指针	优点：适配任意树，空间高效；缺点：需转换思维
双亲表示法	数组存储节点，额外存父节点下标	优点：找父节点快；缺点：找子节点慢（并查集专用）

三、二叉树的核心知识：最简单的树结构🌿

1. 二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有2个子节点的树（左子树+右子树），核心特征：

二叉树的子树有左右之分，不能颠倒（左子树≠右子树）；
任何二叉树可拆分为：根节点 + 左子树 + 右子树（分治思想基础）；
二叉树可以为空（空树也是合法的二叉树）。

2. 二叉树的三种遍历方式（分治算法核心）

遍历是二叉树最核心的操作，本质是分而治之：把遍历整棵树拆成遍历根+左子树+右子树，直到子树为空。

遍历方式	顺序	核心逻辑	示例（树：A(B(D,E),C)）
前序遍历（根左右）	根 → 左子树 → 右子树	先访问根，再递归遍历左右	输出：A B D NULL NULL E NULL NULL C NULL NULL（简写ABDEC）
中序遍历（左根右）	左子树 → 根 → 右子树	先遍历左子树，再访问根，最后遍历右	输出：NULL D NULL B NULL E NULL A NULL C NULL（简写DBEAC）
后序遍历（左右根）	左子树 → 右子树 → 根	先遍历左右子树,最后访问根	输出：NULL NULL D NULL NULL E B NULL NULL C A（简写DEBCA）

3. 二叉树遍历的代码实现

（1）二叉树节点结构体定义

c 复制代码

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* left;  // 左孩子指针
    struct BinaryTreeNode* right; // 右孩子指针
    BTDataType data;              // 节点存储的数据
}BTNode;

（2）前序遍历实现

c 复制代码

void PreOrder(BTNode* root)
{
    if (root == NULL) // 递归终止条件：空节点
    {
        printf("NULL ");
        return;
    }
    printf("%c ", root->data); // 1. 访问根节点
    PreOrder(root->left);      // 2. 递归遍历左子树
    PreOrder(root->right);     // 3. 递归遍历右子树
}

（3）中序遍历实现

c 复制代码

void InOrder(BTNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        printf("NULL ");
        return;
    }
    InOrder(root->left);       // 1. 递归遍历左子树
    printf("%c ", root->data); // 2. 访问根节点
    InOrder(root->right);      // 3. 递归遍历右子树
}

（4）后序遍历实现

c 复制代码

void PostOrder(BTNode* root)
{
    if (root == NULL)
    {
        printf("NULL ");
        return;
    }
    PostOrder(root->left);     // 1. 递归遍历左子树
    PostOrder(root->right);    // 2. 递归遍历右子树
    printf("%c ", root->data); // 3. 访问根节点
}

💡 核心技巧 ：三种遍历的代码仅输出根节点的位置不同，记住这个规律，就能快速写出任意遍历的代码！

四、特殊二叉树：满二叉树 vs 完全二叉树🌟

1. 满二叉树（装满的二叉树）

定义：每一层的节点数都达到最大值（第k层有 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1个节点）；
核心公式（根为第1层）：
- 高度为h的满二叉树，总节点数： N = 2 h − 1 N = 2^h - 1 N=2h−1；
- 总节点数为N的满二叉树，高度： h = l o g 2 ( N + 1 ) ≈ l o g 2 N h = log_2(N+1) ≈ log_2N h=log2(N+1)≈log2N。

2. 完全二叉树（填不满但连续的二叉树）

定义：① 前h-1层是满的；② 最后一层节点从左到右连续排列（无空缺）；
核心公式（根为第1层）：
- 高度为h的完全二叉树，总节点数： 2 h − 1 ≤ N ≤ 2 h − 1 2^{h-1} ≤ N ≤ 2^h - 1 2h−1≤N≤2h−1；
- 总节点数为N的完全二叉树，高度： l o g 2 ( N + 1 ) ≤ h ≤ l o g 2 N + 1 log_2(N+1) ≤ h ≤ log_2N + 1 log2(N+1)≤h≤log2N+1。

✅ 关键区别：

满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树；
完全二叉树的最后一层靠左连续，这是和普通二叉树的核心区别。

五、二叉树的5个核心性质（必背）📝

第n层最多有 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1个节点（根为第1层）；
高度为h的二叉树，最大节点数为 2 h − 1 2^h - 1 2h−1；
任意二叉树：叶子节点数 $n_0 = 度为 2 的节点数度为2的节点数度为2的节点数n_2 + 1 （（（n_0 = n_2 + 1$ ）；
满二叉树： N = 2 h − 1 N = 2^h - 1 N=2h−1， h = l o g 2 ( N + 1 ) h = log_2(N+1) h=log2(N+1)；
完全二叉树： 2 h − 1 ≤ N ≤ 2 h − 1 2^{h-1} ≤ N ≤ 2^h - 1 2h−1≤N≤2h−1。

性质3推导（重中之重）：

设度为0/1/2的节点数为 n 0 / n 1 / n 2 n_0/n_1/n_2 n0/n1/n2，总结点数 N = n 0 + n 1 + n 2 N = n_0 + n_1 + n_2 N=n0+n1+n2；

总边数 E = n 1 + 2 n 2 E = n_1 + 2n_2 E=n1+2n2（度为1的节点出1条边，度为2的出2条）；

又因为 E = N − 1 E = N - 1 E=N−1（除根外，每个节点有1条入边）；

联立得： n 0 + n 1 + n 2 − 1 = n 1 + 2 n 2 n_0 + n_1 + n_2 - 1 = n_1 + 2n_2 n0+n1+n2−1=n1+2n2 → 化简得 n 0 = n 2 + 1 n_0 = n_2 + 1 n0=n2+1。

六、写在最后

恭喜你！在这一篇中，你已经掌握了二叉树的核心基础：

理解了树的递归定义和关键术语；
掌握了二叉树前/中/后序遍历的递归实现；
区分了满二叉树和完全二叉树，记住了核心公式；
推导并熟记了二叉树的5个核心性质。

二叉树的遍历是所有树结构操作的基础，建议你多敲几遍遍历代码，用纸笔模拟遍历过程------只有真正理解分治思想，才能搞定后续的层序遍历、节点计数、OJ刷题等进阶内容。

下一篇，我们将进入二叉树的实战环节：学习层序遍历、节点计数、平衡二叉树判断等核心操作，把理论转化为解题能力！😜

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