四元数 --＞双四元数

这是一次记录，使用AI Expoter插件导出和ChatGPT的聊天记录，用于保存对四元数和双四元数的学习内容。

我的提问：

什么是四元数？

ChatGPT 回答：

四元数（Quaternion）是一种用于表示三维空间旋转的数学工具，本质上是对复数的推广，在计算机图形学、机器人、SLAM、物理仿真中被广泛使用。

1. 基本定义

四元数通常写作

q=w+xi+yj+zk q = w + xi + yj + zk q=w+xi+yj+zk

也可表示为向量形式

q=(w, x, y, z) q = (w,\; x,\; y,\; z) q=(w,x,y,z)

其中：

www ：实部
(x,y,z)(x, y, z)(x,y,z) ：虚部
i,j,ki, j, ki,j,k ：虚数单位，满足

i2=j2=k2=ijk=−1 i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 i2=j2=k2=ijk=−1

2. 四元数与三维旋转

在实际应用中，单位四元数（模长为 1）用来表示旋转。

若绕单位轴 u=(ux,uy,uz)\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)u=(ux,uy,uz) 旋转角度 θ\thetaθ ，对应的四元数为：

q=(cos⁡θ2, uxsin⁡θ2, uysin⁡θ2, uzsin⁡θ2) q = \left(\cos\frac{\theta}{2},\; u_x\sin\frac{\theta}{2},\; u_y\sin\frac{\theta}{2},\; u_z\sin\frac{\theta}{2}\right) q=(cos2θ,uxsin2θ,uysin2θ,uzsin2θ)

关键点：

旋转角度是"半角"
虚部方向表示旋转轴

3. 用四元数旋转一个向量

给定三维向量 v\mathbf{v}v ，先构造纯四元数：

p=(0, vx, vy, vz) p = (0,\; v_x,\; v_y,\; v_z) p=(0,vx,vy,vz)

旋转结果为：

p′=q p q−1 p' = q \, p \, q^{-1} p′=qpq−1

其中 q−1q^{-1}q−1 是四元数的逆（单位四元数时等于共轭）。

4. 为什么不用欧拉角或旋转矩阵？

与欧拉角相比

无万向节死锁（Gimbal Lock）
插值更稳定（SLERP）
表达更紧凑

与旋转矩阵相比

参数更少（4 vs 9）
数值稳定性更好
组合旋转只需四元数乘法

5. 直观理解（核心一句话）

四元数 =「旋转轴 + 旋转角度」的紧凑、连续、可插值表示方式。

我的提问：

四元数的逆是什么？向量也有逆吗？三维向量v和构造的p有什么关系？

ChatGPT 回答：

很好，这几个问题其实都卡在**"为什么要这么做"这一步。我按一步一层**来解释，不跳。

一、四元数的「逆」到底是什么？

先说结论，再解释意义。

1️⃣ 数学定义

给定四元数

q=(w,x,y,z) q = (w, x, y, z) q=(w,x,y,z)

它的共轭是

q∗=(w, −x, −y, −z) q^* = (w,\; -x,\; -y,\; -z) q∗=(w,−x,−y,−z)

它的模长平方是

∥q∥2=w2+x2+y2+z2 \|q\|^2 = w^2 + x^2 + y^2 + z^2 ∥q∥2=w2+x2+y2+z2

那么逆四元数定义为：

q−1=q∗∥q∥2 q^{-1} = \frac{q^*}{\|q\|^2} q−1=∥q∥2q∗

2️⃣ 为什么单位四元数时这么简单？

如果 qqq 是单位四元数（表示旋转时一定是）：

∥q∥=1 \|q\| = 1 ∥q∥=1

那么：

q−1=q∗ q^{-1} = q^* q−1=q∗

也就是说：

旋转的"逆操作" = 把虚部取反

3️⃣ 直观理解

qqq ：把物体转过去
q−1q^{-1}q−1 ：把物体按原路转回来

就像：

先顺时针转 30°
再逆时针转 30°

这就是为什么旋转公式里一定要有 q−1q^{-1}q−1 。

二、那「向量」有逆吗？

这个问题问得非常关键。

1️⃣ 向量在什么意义下"没有逆"？

三维向量 v=(x,y,z)\mathbf{v} = (x, y, z)v=(x,y,z) ：

不能做除法
没有乘法单位元
所以在"乘法意义"下，没有逆

你不能写：

v−1 \mathbf{v}^{-1} v−1

这是不合法的

2️⃣ 那向量只有什么"反操作"？

向量只有：

加法逆： −v-\mathbf{v}−v
没有乘法逆

所以：

向量本身不能直接参与"旋转乘法"

这一步是理解四元数旋转的核心。

三、为什么要把向量 v 变成 p？

现在说你最困惑的地方。

1️⃣ 问题本质

你想做的是：

用四元数的"乘法结构"去旋转一个向量

但问题是：

四元数乘法：定义在 四元数 × 四元数
向量：不是四元数，没法乘

所以必须把向量"嵌入"到四元数空间里。

2️⃣ 纯四元数 p 是什么？

给定三维向量：

v=(vx,vy,vz) \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) v=(vx,vy,vz)

构造：

p=(0, vx, vy, vz) p = (0,\; v_x,\; v_y,\; v_z) p=(0,vx,vy,vz)

这叫 纯四元数（pure quaternion）。

它的特点：

实部为 0
虚部正好就是原来的向量

👉 p 不是新东西，只是 v 的"四元数版本"

3️⃣ 为什么实部必须是 0？

因为：

实部会引入"缩放 / 非旋转"成分
纯虚四元数在共轭变换下，结果仍然是纯虚的

也就是说：

q p q−1=(0, vx′, vy′, vz′) q\,p\,q^{-1} = (0,\; v'_x,\; v'_y,\; v'_z) qpq−1=(0,vx′,vy′,vz′)

结果还能安全地"取回"三维向量。

四、q p q⁻¹ 这一整套在干什么？

我们把公式翻译成"人话"。

p′=q p q−1 p' = q\,p\,q^{-1} p′=qpq−1

含义是：

用 qqq 把向量送进旋转坐标系
在这个空间里完成旋转
用 q−1q^{-1}q−1 把结果拉回原坐标系

这是一个共轭变换（conjugation），在数学上保证：

长度不变
角度不变
只发生旋转

五、最终关系总结（非常重要）

东西	本质
三维向量 vvv	几何对象
纯四元数 ppp	向量的"载体"
四元数逆 q−1q^{-1}q−1	旋转的反操作
q p q−1q\,p\,q^{-1}qpq−1	对向量做旋转

一句话总结：

向量本身不会旋转，旋转发生在四元数空间里，向量只是被"装进去再拿出来"。

如果你愿意，下一步我可以：

用几何图像解释为什么一定是"三明治形式"
或直接推导 q p q⁻¹ ≡ Rv
或结合 SO(3) / Lie 群把这一步讲通

我的提问：

欧拉角和四元数之间有什么关系？

ChatGPT 回答：

这是一个非常关键的问题，本质上是在问：

"人类好理解的角度描述（欧拉角）和计算机更稳定的旋转表示（四元数）之间，到底怎么对应？"

我分四层来讲：概念 → 数学关系 → 直觉理解 → 实际使用建议。

一、欧拉角和四元数在"本质"上是什么关系？

一句话结论

欧拉角和四元数描述的是同一个东西：三维旋转，只是坐标系和数学工具不同。

欧拉角：

用 三次绕坐标轴的旋转 来描述一个最终姿态
四元数：

用 一次绕某个轴的旋转 来描述同一个姿态

它们都在描述 SO(3) 里的同一个元素。

二、欧拉角 → 四元数（最重要的映射）

假设你用的是最常见的 ZYX 顺序（Yaw--Pitch--Roll）：

yaw（ψ）：绕 Z 轴
pitch（θ）：绕 Y 轴
roll（φ）：绕 X 轴

对应的四元数是：

qw=cos⁡ϕ2cos⁡θ2cos⁡ψ2+sin⁡ϕ2sin⁡θ2sin⁡ψ2qx=sin⁡ϕ2cos⁡θ2cos⁡ψ2−cos⁡ϕ2sin⁡θ2sin⁡ψ2qy=cos⁡ϕ2sin⁡θ2cos⁡ψ2+sin⁡ϕ2cos⁡θ2sin⁡ψ2qz=cos⁡ϕ2cos⁡θ2sin⁡ψ2−sin⁡ϕ2sin⁡θ2cos⁡ψ2 \begin{aligned} q_w &= \cos\frac{\phi}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\psi}{2} + \sin\frac{\phi}{2}\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\psi}{2} \\ q_x &= \sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\psi}{2} - \cos\frac{\phi}{2}\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{\psi}{2} \\ q_y &= \cos\frac{\phi}{2}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\psi}{2} + \sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\psi}{2} \\ q_z &= \cos\frac{\phi}{2}\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\psi}{2} - \sin\frac{\phi}{2}\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\psi}{2} \end{aligned} qwqxqyqz=cos2ϕcos2θcos2ψ+sin2ϕsin2θsin2ψ=sin2ϕcos2θcos2ψ−cos2ϕsin2θsin2ψ=cos2ϕsin2θcos2ψ+sin2ϕcos2θsin2ψ=cos2ϕcos2θsin2ψ−sin2ϕsin2θcos2ψ

这不是"凭空来的"，而是因为：

三个轴向旋转的四元数相乘 = 最终旋转四元数

为什么有这么多 cos(θ/2)？

因为：

每个轴向旋转 → 一个轴角四元数
四元数用的是 半角公式

三、四元数 → 欧拉角（为什么容易出问题）

反向映射公式（ZYX）

ϕ=atan2(2(qwqx+qyqz), 1−2(qx2+qy2))θ=arcsin⁡(2(qwqy−qzqx))ψ=atan2(2(qwqz+qxqy), 1−2(qy2+qz2)) \begin{aligned} \phi &= \mathrm{atan2}(2(q_w q_x + q_y q_z),\; 1 - 2(q_x^2 + q_y^2)) \\ \theta &= \arcsin(2(q_w q_y - q_z q_x)) \\ \psi &= \mathrm{atan2}(2(q_w q_z + q_x q_y),\; 1 - 2(q_y^2 + q_z^2)) \end{aligned} ϕθψ=atan2(2(qwqx+qyqz),1−2(qx2+qy2))=arcsin(2(qwqy−qzqx))=atan2(2(qwqz+qxqy),1−2(qy2+qz2))

但这里有一个致命问题。

万向节死锁（Gimbal Lock）

当：

θ=±90∘ \theta = \pm 90^\circ θ=±90∘

你会发现：

yaw 和 roll 混在一起
不再是唯一解

👉 这是欧拉角自身的缺陷，不是四元数的

四、从几何直觉上怎么理解这种关系？

欧拉角的思维方式

"先绕 Z 转，再绕 Y 转，再绕 X 转"

这是一个过程描述。

四元数的思维方式

"你最终绕某根轴转了 θ 度"

这是一个结果描述。

类比（很重要）

欧拉角：

一连串指令（左转 → 抬头 → 翻滚）
四元数：

一次整体变换（最终姿态）

五、为什么实际系统几乎都"算四元数，用欧拉角看"？

结合你做 3D / SLAM / 仿真的背景，这点非常重要。

实践准则

场景	推荐表示
人类输入 / UI / 标注	欧拉角
神经网络回归	四元数 / 6D rotation
插值（轨迹、动画）	四元数（SLERP）
相机位姿 / 物体姿态	四元数
物理仿真 / 控制	四元数

永远不要在欧拉角空间插值或优化。

我的提问：

假设一个物体的旋转中心不在几何中心（或者说不在物体内部），而是在外部的一条轴线，也可以用四元数来表式吗？

ChatGPT 回答：

可以，而且这是一个非常本质、但经常被误解的问题 。

先给结论，再把"为什么"讲清楚。

一、直接结论（先吃定心丸）

四元数只能表示"绕原点的旋转"，不能单独表示"绕空间中任意一条轴线的旋转"。

但是：

"绕空间中任意一条轴线旋转" = 平移 + 四元数旋转 + 反向平移

所以 完全可以用四元数来表达，只是你必须把它放进一个**刚体变换（SE(3))**里。

二、为什么四元数"看起来不够用"？

1️⃣ 四元数在干什么？

单位四元数本质上是一个：

q∈SO(3) q \in SO(3) q∈SO(3)

也就是说，它只描述：

方向
姿态
绕 坐标原点 的旋转

它不包含位置信息。

2️⃣ 你现在描述的是什么情况？

你说的是：

旋转轴不经过物体几何中心

甚至不在物体内部

是空间中的一条固定轴线

这已经不是"纯旋转"了，而是：

旋转 + 位移耦合的刚体运动

数学上属于：

SE(3)={R,t} SE(3) = \{R, t\} SE(3)={R,t}

三、几何上到底怎么做？（核心）

假设：

旋转轴方向：单位向量 u\mathbf{u}u
旋转轴上某一点： p0\mathbf{p}_0p0
旋转角度： θ\thetaθ
四元数 qqq 表示绕 u\mathbf{u}u 的旋转

对物体中任意一点 x\mathbf{x}x ：

✅ 正确的变换方式

x′=q (x−p0) q−1+p0 \boxed{ \mathbf{x}' = q\,(\mathbf{x} - \mathbf{p}_0)\,q^{-1} + \mathbf{p}_0 } x′=q(x−p0)q−1+p0

逐步理解：

平移：
x−p0\mathbf{x} - \mathbf{p}_0x−p0

→ 把旋转轴"搬"到原点
旋转：
q(⋅)q−1q(\cdot)q^{-1}q(⋅)q−1
平移回去 ：
+p0+ \mathbf{p}_0+p0

直观一句话

先把轴移到原点转，再把世界移回去

四、这在数学上属于什么？

1️⃣ 刚体变换（Rigid Transformation）

可以写成：

x′=Rx+t \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + \mathbf{t} x′=Rx+t

其中：

RRR ：由四元数得到
t=p0−Rp0\mathbf{t} = \mathbf{p}_0 - R\mathbf{p}_0t=p0−Rp0

2️⃣ 用齐次矩阵表示（你肯定见过）

T=[Rt01] T = \begin{bmatrix} R & \mathbf{t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} T=[R0t1]

👉 四元数负责 R，轴偏移负责 t

五、如果轴是"空间中的一条线"，而不是点？

一条轴线由：

方向 u\mathbf{u}u
线上一点 p0\mathbf{p}_0p0

完全足够。

绕该轴旋转，本质就是：

绕 u\mathbf{u}u
但原点不在轴上 → 需要平移补偿

六、常见误区（非常重要）

❌ 误区 1 ：

"只要一个四元数就能表示任何旋转运动"

✔️ 事实：

四元数只表示 姿态变化

❌ 误区 2 ：

"绕外部轴旋转是特殊情况"

✔️ 事实：

这是刚体运动的标准情况

七、如果你继续深挖，有哪些更高级的工具？

你之后一定会遇到：

Dual Quaternion（双四元数）

→ 同时表示旋转 + 平移
Screw Theory（螺旋运动）
SE(3) Lie 群 / 李代数
Plücker Line 表示轴线

这些都是对你这个问题的"统一解法"。

我的提问：

既然你说四元数只能表示：绕原点的旋转。那么假设一个物体的mesh不在原点处，也不包含原点，但是定义的旋转中心是原点，是不是可以用四元数来表式？

ChatGPT 回答：

这是一个非常好的反问 ，而且你已经抓住了"绕原点旋转"这句话里最容易被误解的地方 。

答案是：可以，而且这正是四元数在工程里最常见、最"正常"的用法。

我一步一步把逻辑拧直。

一、先给结论（非常重要）

四元数"绕原点旋转"，说的是"绕坐标系原点"，不是"物体必须在原点"。

只要你定义旋转中心是原点，那么：

不管 mesh 在哪里
不管物体是否包含原点

👉 都可以直接用四元数旋转

二、为什么很多人会在这里混乱？

因为常常把三件事混在一起了：

概念	是不是一回事
mesh 的几何中心	❌
mesh 是否包含原点	❌
旋转中心在哪	✅（唯一重要的）

只有最后一项决定能不能"直接用四元数"。

三、从数学上看清楚

你有：

空间中一点 x\mathbf{x}x （mesh 上的一个顶点）
定义旋转中心 = 原点 0\mathbf{0}0
四元数 qqq

旋转就是：

x′=q x q−1 \mathbf{x}' = q\,\mathbf{x}\,q^{-1} x′=qxq−1

这里没有任何假设说：

x\mathbf{x}x 必须接近原点
mesh 必须包含原点

关键点

四元数旋转的是位置向量
向量的"起点"默认在原点
x\mathbf{x}x 表示"从原点指向该点的箭头"

这就是线性代数里的默认约定。

四、一个非常直观的例子

假设：

原点在桌子中心
一个杯子在桌子右边 1 米处
你绕桌子中心旋转 90°

杯子会：

沿着半径为 1 米的圆运动
最终到桌子前方

你没有对杯子做任何平移操作，只做了旋转。

👉 这正是：

x′=Rx \mathbf{x}' = R \mathbf{x} x′=Rx

四元数只是把 RRR 换了一种表示。

五、和你前一个问题的对照（非常关键）

情况 A（现在这个问题）

旋转中心：原点
mesh：不在原点
是否能用四元数？

👉 能，直接用

情况 B（你之前问的）

旋转中心：不在原点
mesh：任意
是否能只用四元数？

👉 不能，必须加平移

六、工程上的一句口诀

"看旋转中心，不看物体在哪。"

七、在你熟悉的系统里，这其实天天在发生

1️⃣ 相机绕世界原点旋转

相机不在原点
但姿态更新是纯四元数

2️⃣ 轨道相机（Orbit Camera）

相机绕目标点转
目标点作为"临时原点"

3️⃣ NeRF / 3DGS 相机位姿

世界原点固定
相机在远处
姿态仍是四元数

八、再说一句容易被忽略但很重要的点

四元数旋转的是"向量"，不是"物体"。

mesh 只是：

一堆向量的集合
对每个顶点做：

vi′=qviq−1 v_i' = q v_i q^{-1} vi′=qviq−1

物体就"整体旋转"了。

九、最终一句话总结（请记住这一句）

只要旋转中心定义为原点，
无论物体在哪里、是否包含原点，
都可以直接用四元数表示旋转。

如果你愿意，下一步我可以：

从"主动旋转 vs 被动旋转"把这个问题再掰一次
或对比 世界坐标系旋转 / 物体局部坐标系旋转
或直接结合 Blender / PyTorch / Isaac Sim 的坐标约定讲坑点

你可以直接选一个继续。

我的提问：

正确的变换方式 x′\=q (x−p0) q−1+p0\\boxed{ \\mathbf{x}' = q\\,(\\mathbf{x} - \\mathbf{p}\_0)\\,q^{-1} + \\mathbf{p}\_0 }x′\=q(x−p0)q−1+p0 逐步理解： 1. 平移： x−p0\\mathbf{x} - \\mathbf{p}\_0x−p0 → 把旋转轴"搬"到原点 2. 旋转： q(⋅)q−1q(\\cdot)q^{-1}q(⋅)q−1 3. 平移回去： +p0\+ \\mathbf{p}\_0+p0

这里的p0是旋转轴上的任意一点都可以吗？其次矩阵中的R和t分别是什么维度的？四元数是怎么转化为旋转矩阵R的？

ChatGPT 回答：

这三个问题都非常关键，而且是连在一起的。我按你问的顺序，严格、但尽量直观地说明。

一、这里的 p0\mathbf{p}_0p0 是旋转轴上的"任意一点"都可以吗？

✅ 结论：是的，只要它在旋转轴上，任意一点都可以

为什么？

你描述的旋转轴，本质上是一条空间直线，由两部分定义：

方向：单位向量 u\mathbf{u}u
位置：轴线上任意一点 p0\mathbf{p}_0p0

轴线上所有点都满足：

p(t)=p0+t u \mathbf{p}(t) = \mathbf{p}_0 + t\,\mathbf{u} p(t)=p0+tu

如果你换一个点：

p1=p0+t u \mathbf{p}_1 = \mathbf{p}_0 + t\,\mathbf{u} p1=p0+tu

代入旋转公式：

x′=q(x−p1)q−1+p1 \mathbf{x}' = q(\mathbf{x} - \mathbf{p}_1)q^{-1} + \mathbf{p}_1 x′=q(x−p1)q−1+p1

你会发现最终结果完全一样，因为：

沿着轴方向的平移，在旋转中不产生效果
旋转只"看"垂直于轴的分量

几何直觉一句话

旋转轴是一条"无限细的杆"，你抓住杆上的任何一点去转，效果是一样的。

二、矩阵形式里的 RRR 和 ttt 是什么维度？

我们把公式：

x′=q(x−p0)q−1+p0 \mathbf{x}' = q(\mathbf{x} - \mathbf{p}_0)q^{-1} + \mathbf{p}_0 x′=q(x−p0)q−1+p0

改写成标准刚体变换形式：

x′=Rx+t \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + \mathbf{t} x′=Rx+t

1️⃣ 旋转矩阵 RRR

维度：

R∈R3×3 R \in \mathbb{R}^{3 \times 3} R∈R3×3
性质：

R⊤R=I,det⁡(R)=1 R^\top R = I,\quad \det(R)=1 R⊤R=I,det(R)=1
作用：

对三维向量做线性旋转

2️⃣ 平移向量 ttt

维度：

t∈R3 \mathbf{t} \in \mathbb{R}^3 t∈R3
由旋转轴位置决定：

t=p0−R p0 \boxed{ \mathbf{t} = \mathbf{p}_0 - R\,\mathbf{p}_0 } t=p0−Rp0

3️⃣ 为什么会出现这个 ttt ？

从原公式直接展开：

x′=R(x−p0)+p0=Rx−Rp0+p0=Rx+(p0−Rp0) \begin{aligned} \mathbf{x}' &= R(\mathbf{x} - \mathbf{p}_0) + \mathbf{p}_0 \\ &= R\mathbf{x} - R\mathbf{p}_0 + \mathbf{p}_0 \\ &= R\mathbf{x} + (\mathbf{p}_0 - R\mathbf{p}_0) \end{aligned} x′=R(x−p0)+p0=Rx−Rp0+p0=Rx+(p0−Rp0)

三、四元数是怎么变成旋转矩阵 RRR 的？

这是一个非常标准但必须搞清楚来源的公式。

1️⃣ 给定单位四元数

q=(w, x, y, z) q = (w,\; x,\; y,\; z) q=(w,x,y,z)

其中：

w2+x2+y2+z2=1 w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1 w2+x2+y2+z2=1

2️⃣ 对应的旋转矩阵 R(q)R(q)R(q)

R=[1−2(y2+z2)2(xy−wz)2(xz+wy)2(xy+wz)1−2(x2+z2)2(yz−wx)2(xz−wy)2(yz+wx)1−2(x2+y2)] \boxed{ R = \begin{bmatrix} 1 - 2(y^2 + z^2) & 2(xy - wz) & 2(xz + wy) \\ 2(xy + wz) & 1 - 2(x^2 + z^2) & 2(yz - wx) \\ 2(xz - wy) & 2(yz + wx) & 1 - 2(x^2 + y^2) \end{bmatrix} } R= 1−2(y2+z2)2(xy+wz)2(xz−wy)2(xy−wz)1−2(x2+z2)2(yz+wx)2(xz+wy)2(yz−wx)1−2(x2+y2)

这是通过要求：

q (0,v) q−1 ≡ (0,Rv) q\, (0,\mathbf{v})\, q^{-1} \;\equiv\; (0, R\mathbf{v}) q(0,v)q−1≡(0,Rv)

逐项展开推出来的。

3️⃣ 直观理解这件事

四元数乘法 → 非线性
但对向量的作用 → 线性映射
所以一定存在一个 3×33 \times 33×3 矩阵与之等价

这个矩阵就是 RRR 。

四、把三件事连起来看（最重要）

你现在拥有的是：

一个轴方向 → 决定四元数 qqq
一个轴上一点 p0\mathbf{p}_0p0
一个单位四元数 qqq
一个旋转矩阵 R(q)R(q)R(q)

完整的绕任意轴旋转是：

x′=Rx+(p0−Rp0) \boxed{ \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + (\mathbf{p}_0 - R\mathbf{p}_0) } x′=Rx+(p0−Rp0)

五、常见工程对照（帮你对齐直觉）

URDF / articulation

joint origin = p0\mathbf{p}_0p0
Blender empty / pivot

pivot = p0\mathbf{p}_0p0
SE(3) 变换

rotation = R(q)R(q)R(q)

translation = ttt

六、最终总结三句话

** p0\mathbf{p}_0p0 **：

只要在旋转轴上，选哪一点都行
** R,tR, tR,t **：
R∈R3×3R \in \mathbb{R}^{3\times3}R∈R3×3 ，
t∈R3t \in \mathbb{R}^3t∈R3
四元数 → 矩阵 ：

是把 qvq−1q v q^{-1}qvq−1 的线性作用写成矩阵形式

如果你愿意，下一步我可以：

推导 为什么沿轴方向的点不影响旋转
或把这一套直接映射到 SE(3) / 李代数
或结合 代码（PyTorch / C++） 做一遍数值验证

你可以直接选。

我的提问：

我们把公式： x′\=q(x−p0)q−1+p0\\mathbf{x}' = q(\\mathbf{x} - \\mathbf{p}\_0)q^{-1} + \\mathbf{p}\_0x′\=q(x−p0)q−1+p0 改写成标准刚体变换形式： x′\=Rx+t\\mathbf{x}' = R\\mathbf{x} + \\mathbf{t}x′\=Rx+t

这两个公式中x'定义的维度应该不一样吧？之前不是提到了要把向量v转化成p0，也就是一个纯虚四元数吗？但是第二行的公式，x就是一个三维向量。

ChatGPT 回答：

你这个问题问得非常到位 ，而且你抓到的是一个数学表述中常见但危险的"记号偷换" 。

我们现在要做的，是把**每一步的对象（属于哪个空间）**说清楚。

一、你的判断是对的：这两个公式里 x′x'x′ 的"类型"确实不一样

我们先把你指出的两个公式并排写出来：

（1）四元数形式

x′=q (x−p0) q−1+p0 \mathbf{x}' = q\,(\mathbf{x} - \mathbf{p}_0)\,q^{-1} + \mathbf{p}_0 x′=q(x−p0)q−1+p0

（2）矩阵形式

x′=Rx+t \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + \mathbf{t} x′=Rx+t

你说的问题是：

第一行里明明说要把向量变成纯虚四元数

第二行里 x\mathbf{x}x 又成了三维向量

那这两个 x′\mathbf{x}'x′ 维度是不是不一样？

答案是：是的，在中间推导过程中确实不一样；
只是我们在"最终结果"处做了一次合法的投影 / 识别。

下面我把这件事讲清楚。

二、严格区分三个"空间"（这是关键）

我们必须同时区分这三个东西：

对象	所在空间
三维向量 x\mathbf{x}x	R3\mathbb{R}^3R3
纯虚四元数 ppp	H\mathbb{H}H
旋转后的三维向量	R3\mathbb{R}^3R3

三、真正完全严格的写法（不偷换记号）

如果我们一丝不苟，公式应该写成这样：

1️⃣ 把三维向量嵌入到四元数空间

x∈R3⟶x^=(0,x)∈H \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \quad\longrightarrow\quad \hat{x} = (0,\mathbf{x}) \in \mathbb{H} x∈R3⟶x^=(0,x)∈H

同理：

p^0=(0,p0) \hat{p}_0 = (0,\mathbf{p}_0) p^0=(0,p0)

2️⃣ 在四元数空间中做旋转

x^′=q (x^−p^0) q−1+p^0 \hat{x}' = q\,(\hat{x} - \hat{p}_0)\,q^{-1} + \hat{p}_0 x^′=q(x^−p^0)q−1+p^0

注意：

这里所有量 都是四元数
x^′∈H\hat{x}' \in \mathbb{H}x^′∈H

3️⃣ 取纯虚部，回到三维空间

由于四元数旋转的性质：

x^′=(0,x′) \hat{x}' = (0,\mathbf{x}') x^′=(0,x′)

于是我们定义：

x′=Im⁡(x^′)∈R3 \mathbf{x}' = \operatorname{Im}(\hat{x}') \in \mathbb{R}^3 x′=Im(x^′)∈R3

四、那为什么后面可以直接写成 Rx+tR\mathbf{x} + tRx+t ？

因为下面这件事是严格成立的数学事实：

对任意单位四元数 qqq ，

映射

x↦Im⁡(q(0,x)q−1) \mathbf{x} \mapsto \operatorname{Im}\big(q(0,\mathbf{x})q^{-1}\big) x↦Im(q(0,x)q−1)

是一个 线性映射

既然是线性映射，就一定存在一个矩阵 RRR ，使得：

Im⁡(q(0,x)q−1)=Rx \operatorname{Im}\big(q(0,\mathbf{x})q^{-1}\big) = R\mathbf{x} Im(q(0,x)q−1)=Rx

所以完整逻辑是：

x^′=q(x^−p^0)q−1+p^0Im⁡(x^′)=R(x−p0)+p0x′=Rx+(p0−Rp0) \begin{aligned} \hat{x}' &= q(\hat{x} - \hat{p}_0)q^{-1} + \hat{p}_0 \\ \operatorname{Im}(\hat{x}') &= R(\mathbf{x} - \mathbf{p}_0) + \mathbf{p}_0 \\ \mathbf{x}' &= R\mathbf{x} + (\mathbf{p}_0 - R\mathbf{p}_0) \end{aligned} x^′Im(x^′)x′=q(x^−p^0)q−1+p^0=R(x−p0)+p0=Rx+(p0−Rp0)

五、那之前"直接写 q x q−1q\,\mathbf{x}\,q^{-1}qxq−1 "算不算错？

从严格数学角度：是记号滥用。
从工程 / 论文角度：是约定俗成。

通常默认约定是：

**把三维向量 x\mathbf{x}x 视为纯虚四元数 (0,x)(0,\mathbf{x})(0,x) **

所以很多地方直接写：

q x q−1 q\,\mathbf{x}\,q^{-1} qxq−1

实际上等价于：

q (0,x) q−1 q\,(0,\mathbf{x})\,q^{-1} q(0,x)q−1

六、你现在真正理解到的"关键点"

你已经意识到三件非常重要的事：

四元数旋转**发生在 H\mathbb{H}H ** 中
三维向量只是被嵌入进去再投影回来
矩阵形式是对这个映射的等价表示

这是比"会用公式"高一个层级的理解。

七、一句话把这件事说"完全正确"

在推导过程中， x\mathbf{x}x 会被临时视为纯虚四元数；

在最终表达中，我们取其虚部，重新把结果当作三维向量。
Rx+tR\mathbf{x} + tRx+t 是这个过程在 R3\mathbb{R}^3R3 中的等价写法。

如果你愿意，下一步我可以：

从线性代数角度证明"为什么一定存在 R"
或从 Lie 群 SO(3) 的角度把这件事统一起来
或对比 主动旋转 vs 被动旋转 再避免一个常见混淆

你这个问题已经到了"容易卡住博士生"的层级了，非常好。

我的提问：

请介绍什么是双四元数？

ChatGPT 回答：

这是一个非常好的时机 来讲双四元数（Dual Quaternion），因为它正好把你前面所有困惑

------旋转轴不在原点、旋转 + 平移、四元数只能管旋转 ------
一次性统一起来。

下面我按动机 → 定义 → 几何意义 → 和 SE(3) 的关系 → 为什么有用来讲，尽量保持你现在的理解节奏。

一、为什么要引入「双四元数」？

先回顾一个事实：

普通四元数：

q∈SO(3) q \in SO(3) q∈SO(3)

👉 只能表示旋转
真实刚体运动：

x′=Rx+t∈SE(3) \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + \mathbf{t} \quad\in SE(3) x′=Rx+t∈SE(3)

问题是：

能不能像四元数那样，用一个"紧凑对象"同时表示旋转 + 平移？

答案就是：双四元数。

二、双数（Dual Number）：双四元数的"基石"

在讲双四元数之前，必须先讲双数。

1️⃣ 双数的定义

a+εb其中ε2=0, ε≠0 a + \varepsilon b \quad\text{其中}\quad \varepsilon^2 = 0,\;\varepsilon \neq 0 a+εb其中ε2=0,ε=0

和复数对比：

	复数	双数
单位	i2=−1i^2=-1i2=−1	ε2=0\varepsilon^2=0ε2=0
几何意义	旋转	平移 / 位移

2️⃣ 直观理解

实部 aaa ：主要变换
双部 bbb ：微小偏移 / 位移

这在工程中极其自然。

三、双四元数的定义

1️⃣ 形式定义

q^=qr+εqd \boxed{ \hat{q} = q_r + \varepsilon q_d } q^=qr+εqd

其中：

qrq_rqr ：实四元数（表示旋转）
qdq_dqd ：双四元数部分（编码平移）
ε2=0\varepsilon^2 = 0ε2=0

2️⃣ 单位双四元数（用于刚体变换）

用于表示刚体运动的双四元数必须满足：

∥qr∥=1,qrqd∗+qdqr∗=0 \|q_r\| = 1,\quad q_r q_d^* + q_d q_r^* = 0 ∥qr∥=1,qrqd∗+qdqr∗=0

四、如何用双四元数表示旋转 + 平移？

给定一个刚体变换：

x′=Rx+t \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + \mathbf{t} x′=Rx+t

其中：

RRR → 四元数 qrq_rqr
t\mathbf{t}t → 平移向量

对应的双四元数是：

q^=qr+ε 12 (0,t) qr \boxed{ \hat{q} = q_r + \varepsilon\;\frac{1}{2}\,(0,\mathbf{t})\,q_r } q^=qr+ε21(0,t)qr

关键点（非常重要）

平移不是单独存的
它和旋转耦合在一起
这正是刚体运动的本质

五、如何用双四元数变换一个点？

和普通四元数的"三明治"结构一模一样：

1️⃣ 把点嵌入成双四元数

p^=(0,x)+ε(0,0) \hat{p} = (0,\mathbf{x}) + \varepsilon (0,0) p^=(0,x)+ε(0,0)

2️⃣ 施加变换

p^′=q^ p^ q^∗ \boxed{ \hat{p}' = \hat{q}\,\hat{p}\,\hat{q}^* } p^′=q^p^q^∗

3️⃣ 取实部的虚向量

x′=Im⁡(real(p^′)) \mathbf{x}' = \operatorname{Im}(\text{real}(\hat{p}')) x′=Im(real(p^′))

最终你会得到：

x′=Rx+t \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + \mathbf{t} x′=Rx+t

六、双四元数 = SE(3) 的"紧凑表示"

表示方式	参数数	插值性质	数值稳定
4×44\times44×4 矩阵	16	差	易漂
R+tR + tR+t	12	一般	一般
四元数 + 向量	7	需拆分	一般
双四元数	8	最好	最好

七、几何直觉：螺旋运动（Screw Motion）

这是双四元数最深的意义。

任何刚体运动 = 绕某一空间轴旋转 + 沿该轴平移

这叫 螺旋运动定理（Chasles' theorem）。

双四元数正是：

旋转（四元数）
沿旋转轴的位移（双部）

的自然组合。

八、为什么动画 / 机器人 / 仿真都爱用它？

1️⃣ 插值极其优雅

四元数 → SLERP
双四元数 → Screw Linear Interpolation（ScLERP）

不会出现：

体积缩放
骨骼拉伸
非刚体变形

2️⃣ 在你关心的领域里

articulated object（门、抽屉）
skeletal animation
机器人运动学
SLAM 位姿插值
NeRF / 3DGS 相机轨迹

九、和你前面问题的"闭环"

你之前问过：

绕外部轴旋转能不能只用四元数？

现在答案升级为：

不能只用普通四元数，但可以用一个双四元数一次性表示。

十、最终一句话总结

双四元数 = 用"旋转四元数 + 双数"统一表示刚体的旋转与平移，是 SE(3) 的最优紧凑表示之一。

如果你愿意，下一步我可以：

推导 双四元数 ↔ SE(3) 的严格等价
或结合 URDF / Blender / Isaac Sim 给具体例子
或讲 为什么 ScLERP 是螺旋插值

你已经完全走在"几何建模/机器人"的正路上了。

我的提问：

SO(3)和SE(3)是什么？有什么区别？∥qr∥=1,qrqd∗+qdqr∗=0这里的*代表什么意思？

ChatGPT 回答：

这正好把旋转、位姿、四元数、双四元数 全部连成一条完整的数学主线。

我会严格但不跳步地回答你三个问题。

一、SO(3) 是什么？

1️⃣ 定义（先给最正式的）

SO(3)={ R∈R3×3∣R⊤R=I, det⁡(R)=1 } \boxed{ SO(3) = \{\, R \in \mathbb{R}^{3\times3} \mid R^\top R = I,\ \det(R)=1 \,\} } SO(3)={R∈R3×3∣R⊤R=I, det(R)=1}

它叫 Special Orthogonal Group in 3D，意思是：

Orthogonal：保持长度和角度
Special：行列式为 +1（排除镜像）
Group：可以相乘、有逆元、有单位元

2️⃣ 几何意义（一句话）

SO(3) = 三维空间中"所有可能的纯旋转"

它不包含：

平移
缩放
镜像

3️⃣ 等价表示有哪些？

完全等价，只是坐标不同：

表示	属于 SO(3)
旋转矩阵 RRR	是
单位四元数 q, ∣q∣=1q,\ \|q\|=1q, ∣q∣=1	是
轴角 (u,θ)(\mathbf{u},\theta)(u,θ)	是
欧拉角（局部）	是

👉 四元数是 SO(3) 的一个双覆盖（double cover）
qqq 和 −q-q−q 表示同一个旋转。

二、SE(3) 是什么？

1️⃣ 定义

SE(3)={(Rt01) | R∈SO(3), t∈R3} \boxed{ SE(3) = \left\{ \begin{pmatrix} R & \mathbf{t} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \;\middle|\; R\in SO(3),\ \mathbf{t}\in\mathbb{R}^3 \right\} } SE(3)={(R0t1) R∈SO(3), t∈R3}

叫 Special Euclidean Group in 3D。

2️⃣ 几何意义（一句话）

SE(3) = 三维空间中"所有可能的刚体运动"

也就是：

旋转
平移
不拉伸、不压缩

3️⃣ 和 SO(3) 的关系

SE(3)=SO(3)⋉R3 \boxed{ SE(3) = SO(3) \ltimes \mathbb{R}^3 } SE(3)=SO(3)⋉R3

意思是：

SO(3)：方向
R3\mathbb{R}^3R3 ：位置
两者不是简单拼接，而是半直积（平移依赖旋转）

4️⃣ 工程直觉

你在描述什么	用什么
物体朝向	SO(3)
物体姿态（位姿）	SE(3)
相机姿态	SE(3)
物体是否"转了"	SO(3)

三、SO(3) vs SE(3) 的核心区别

	SO(3)	SE(3)
表示内容	旋转	旋转 + 平移
自由度	3	6
是否线性空间	否	否
单位元	III	(I,0)(I,0)(I,0)
四元数	能表示	不能（需双四元数）

四、你问的这个条件里， ∗*∗ 是什么意思？

你提到的约束是：

∥qr∥=1,qrqd∗+qdqr∗=0 \|q_r\| = 1, \quad q_r q_d^* + q_d q_r^* = 0 ∥qr∥=1,qrqd∗+qdqr∗=0

这里的 ** ∗*∗ ** 表示：

四元数共轭（Quaternion Conjugate） \boxed{\textbf{四元数共轭（Quaternion Conjugate）}} 四元数共轭（Quaternion Conjugate）

1️⃣ 四元数共轭的定义

若：

q=(w,x,y,z) q = (w, x, y, z) q=(w,x,y,z)

则：

q∗=(w, −x, −y, −z) \boxed{ q^* = (w,\ -x,\ -y,\ -z) } q∗=(w, −x, −y, −z)

2️⃣ 它在几何上的意义

对单位四元数：

q−1=q∗ q^{-1} = q^* q−1=q∗
表示"反向旋转"

3️⃣ 那为什么双四元数里要这个条件？

我们回顾单位双四元数：

q^=qr+εqd \hat{q} = q_r + \varepsilon q_d q^=qr+εqd

它必须满足：

q^q^∗=1 \hat{q}\hat{q}^* = 1 q^q^∗=1

展开后正好得到：

∥qr∥=1\|q_r\| = 1∥qr∥=1

→ 旋转合法（SO(3)）
qrqd∗+qdqr∗=0 q_r q_d^* + q_d q_r^* = 0 qrqd∗+qdqr∗=0

→ 平移与旋转正确耦合

4️⃣ 这个条件在"人话"里的意思

双四元数不能引入缩放或剪切，只能表示刚体运动

这正是：

q^∈SE(3) \hat{q} \in SE(3) q^∈SE(3)

五、把整条逻辑线串起来（非常重要）

复制代码

三维向量
   ↓
旋转 → SO(3) → 四元数
   ↓
旋转 + 平移 → SE(3)
   ↓
紧凑表示 → 双四元数

六、最终一句话总结

SO(3) ：

所有"只转不挪"的三维旋转
SE(3) ：

所有"既转又挪"的三维刚体运动
** ∗*∗ **：

四元数共轭，用来保证"逆"和"刚体性"

如果你愿意，下一步我可以：

从 Lie 群 / Lie 代数 的角度继续往下
或解释 se(3) 的 twist / screw 表示
或把这些直接映射到 机器人关节 / articulation

你现在已经完全站在"几何建模与机器人"的核心地带了。

我的提问：

弹簧的形变是不是不属于SE(3)的范围？

ChatGPT 回答：

是的，你的判断完全正确：

弹簧的形变不属于 SE(3)。

下面我从定义 → 为什么不属于 → 属于什么 → 和 SE(3) 的根本区别，把这件事讲清楚。

一、先给最核心的结论

一句话结论

SE(3) 只描述刚体运动；
弹簧形变是非刚体变形，因此不属于 SE(3)。

二、SE(3) 到底"允许什么、不允许什么"？

回顾 SE(3) 的定义：

x′=Rx+t(R∈SO(3), t∈R3) \mathbf{x}' = R\mathbf{x} + \mathbf{t} \quad (R\in SO(3),\ \mathbf{t}\in\mathbb{R}^3) x′=Rx+t(R∈SO(3), t∈R3)

SE(3) 的铁律

对物体中任意两点 x1,x2x_1, x_2x1,x2 ：

∥x1′−x2′∥=∥x1−x2∥ \|\mathbf{x}_1' - \mathbf{x}_2'\| = \|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2\| ∥x1′−x2′∥=∥x1−x2∥

也就是说：

距离不变
角度不变
体积不变

👉 形状必须完全保持

三、弹簧形变违反了哪一条？

1️⃣ 弹簧会发生什么？

长度改变
点与点之间的距离改变
局部可能发生剪切 / 拉伸

例如：

∥x1′−x2′∥≠∥x1−x2∥ \|\mathbf{x}_1' - \mathbf{x}_2'\| \neq \|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2\| ∥x1′−x2′∥=∥x1−x2∥

这直接违反了 SE(3) 的核心条件。

2️⃣ 所以结论是：

弹簧的形变不是刚体运动
→ 不属于 SE(3)

四、那弹簧形变"属于什么数学对象"？

这取决于你建模得有多复杂。

1️⃣ 最简单：缩放（Similarity Transform）

如果你粗糙地把弹簧当成"只在一个方向拉长"：

x′=sRx+t \mathbf{x}' = s R\mathbf{x} + \mathbf{t} x′=sRx+t

这属于：

Sim(3) \boxed{Sim(3)} Sim(3)

比 SE(3) 多了一个自由度：尺度 sss
但仍然是整体刚性缩放

⚠️ 真实弹簧通常 不满足整体缩放

2️⃣ 更一般：仿射变换（Affine）

x′=Ax+t \mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{t} x′=Ax+t

其中：

A∈R3×3A\in\mathbb{R}^{3\times3}A∈R3×3 任意
允许拉伸、剪切

这是：

Aff(3) Aff(3) Aff(3)

但仍然是：

整体线性
不能描述局部弯曲

3️⃣ 真实弹簧：连续介质形变（Continuum Mechanics）

真实弹簧的形变是：

x′=f(x) \mathbf{x}' = f(\mathbf{x}) x′=f(x)

其中：

fff 是非线性
不同位置的点变形不同

这是：

非刚体
非线性
无限自由度

👉 已经不再是有限维李群问题

五、从 Lie 群角度看（很关键）

变换	李群？	自由度
SO(3)	是	3
SE(3)	是	6
Sim(3)	是	7
Aff(3)	是	12
弹簧形变	❌	∞

👉 SE(3) 的"美"就在于它是有限维、刚体、可逆的

六、工程上的直观区分（非常重要）

场景	属于 SE(3) 吗
桌子整体移动	是
机械臂刚性连杆	是
门绕铰链转	是
相机位姿	是
橡皮拉伸	否
弹簧压缩	否
布料飘动	否

七、和你前面学的"双四元数"的关系

双四元数 = SE(3) 的一种表示

所以：

双四元数
四元数
齐次矩阵

全部都无法表示弹簧形变

因为它们的共同前提是：

刚体性（rigidity）

八、最终一句话总结（请记住）

SE(3) 描述的是"物体怎么整体移动"；
弹簧形变描述的是"物体内部怎么被拉坏"。
二者属于完全不同的数学世界。

如果你愿意，下一步我们可以继续往下走，比如：

用 screw / twist 看"为什么关节属于 SE(3)"
或对比 刚体运动 vs articulated motion
或从 物理仿真角度讲"什么时候 SE(3) 不够用"

你现在的问题已经完全是机器人 / 物理 / 几何建模的核心问题了。

我的提问：

我们回顾单位双四元数： q^\=qr+εqd\\hat{q} = q\_r + \\varepsilon q\_dq^\=qr+εqd 它必须满足： q^q∗\=1\\hat{q}\\hat{q}^\* = 1q^q∗\=1 展开后正好得到： 1. ∥qr∥\=1\\|q\_r\\| = 1∥qr∥\=1 → 旋转合法（SO(3)） 2. qrqd∗+qdqr∗\=0q\_r q\_d^\* + q\_d q\_r^\* = 0qrqd∗+qdqr∗\=0 → 平移与旋转**正确耦合**

q^不是一个双数吗？双数也有共轭的概念？不是说双数有实部a和双部b吗？实部不是实数的意思吗？双部还可以用复数来表示？

ChatGPT 回答：

你这个问题非常关键，而且问在了"很多资料会一笔带过、但本质上容易误解"的地方 。

我们现在要做的是：把"共轭"这件事在不同层级上彻底分清楚。

你问的其实是 三个问题叠在一起：

q^\hat qq^ 不是双数吗？
双数有没有"共轭"？
既然双数的实部是 aaa ，那为什么这里的"实部"还能是四元数？

我一个一个拆。

一、最重要的一句话（先给结论）

双四元数里的"实部 / 双部"，指的是"关于 ε\varepsilonε "的实部与双部，
不是"实数 vs 复数"的意思。

这是 90% 混乱的根源。

二、先从"双数"本身说起（最低层）

1️⃣ 双数的定义（你说得完全对）

d=a+εb,ε2=0 d = a + \varepsilon b,\qquad \varepsilon^2 = 0 d=a+εb,ε2=0

其中：

aaa ：实部
bbb ：双部

但注意：

这里的"实部"只表示 **不含 ε\varepsilonε ** 的那一项，

并不意味着 aaa 一定是"实数"。

2️⃣ 关键点： a,ba, ba,b 可以是什么？

情况	a,ba, ba,b 是什么
普通双数	实数
双向量	向量
双四元数	四元数

👉 所以在双四元数里：

q^=qr+εqd \hat q = q_r + \varepsilon q_d q^=qr+εqd

qrq_rqr ：实部（但它是四元数）
qdq_dqd ：双部（也是四元数）

这里的"实/双"是代数层级，不是"数域层级"。

三、那"双数有没有共轭"？

1️⃣ 有，但要小心：不止一种"共轭"

这是第二个混乱来源。

在双四元数里，至少存在三种不同的"共轭"操作。

2️⃣ 第一种：四元数共轭（你看到的这个 ∗*∗ ）

这是你公式里用到的那个。

定义

对双四元数：

q^=qr+εqd \hat q = q_r + \varepsilon q_d q^=qr+εqd

定义：

q^∗=qr∗+εqd∗ \boxed{ \hat q^{*} = q_r^{*} + \varepsilon q_d^{*} } q^∗=qr∗+εqd∗

其中：

qr∗q_r^{*}qr∗ ：四元数共轭
qd∗q_d^{*}qd∗ ：四元数共轭

** ε\varepsilonε 不动。**

四元数共轭回忆一下

若：

q=(w,x,y,z) q = (w, x, y, z) q=(w,x,y,z)

则：

q∗=(w, −x, −y, −z) q^* = (w,\,-x,\,-y,\,-z) q∗=(w,−x,−y,−z)

3️⃣ 第二种：双共轭（对 ε\varepsilonε 取反）

这是双数层面的共轭：

q^†=qr−εqd \boxed{ \hat q^{\dagger} = q_r - \varepsilon q_d } q^†=qr−εqd

它和"微分 / 位移"有关，但不是你当前公式里的那个。

4️⃣ 第三种：完全共轭（组合）

q^⋆=qr∗−εqd∗ \hat q^{\star} = q_r^{*} - \varepsilon q_d^{*} q^⋆=qr∗−εqd∗

在不同教材中符号不统一，非常容易混。

四、那你公式里的 q^q^∗=1\hat q \hat q^* = 1q^q^∗=1 用的是哪一个？

用的是：四元数共轭（第一种）。

也就是说：

q^∗=qr∗+εqd∗ \hat q^* = q_r^* + \varepsilon q_d^* q^∗=qr∗+εqd∗

五、为什么单位双四元数要满足这个条件？

我们现在严谨地展开你提到的式子。

1️⃣ 单位双四元数条件

q^q^∗=1 \hat q \hat q^* = 1 q^q^∗=1

代入：

(qr+εqd)(qr∗+εqd∗) (q_r + \varepsilon q_d)(q_r^* + \varepsilon q_d^*) (qr+εqd)(qr∗+εqd∗)

2️⃣ 利用 ε2=0\varepsilon^2 = 0ε2=0

=qrqr∗+ε(qrqd∗+qdqr∗) = q_r q_r^* + \varepsilon (q_r q_d^* + q_d q_r^*) =qrqr∗+ε(qrqd∗+qdqr∗)

要等于 1（即 1+ε01 + \varepsilon 01+ε0 ），必须同时满足：

（1）实部条件

qrqr∗=1 ⟺ ∥qr∥=1 q_r q_r^* = 1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \|q_r\| = 1 qrqr∗=1⟺∥qr∥=1

→ 合法旋转（SO(3)）

（2）双部条件

qrqd∗+qdqr∗=0 \boxed{ q_r q_d^* + q_d q_r^* = 0 } qrqd∗+qdqr∗=0

→ 排除缩放 / 剪切

→ 保证是刚体运动

3️⃣ 这一步为什么"非常本质"？

因为：

如果没有这个条件，

双四元数就会偷偷引入 非刚体形变

六、回答你最关键的困惑（逐条）

❓「实部不是实数吗？」

❌ 不是。

✔️ "实部" = 不含 ε\varepsilonε 的那一部分

在双四元数里，它是一个四元数。

❓「双部还能用复数 / 四元数表示？」

✔️ 完全可以，而且这正是双四元数的定义。

❓「 ∗*∗ 到底是对谁的共轭？」

✔️ 是对 四元数 的共轭，

不是对双数的 ε\varepsilonε 。

七、一个"层级图"，帮你一眼看清

复制代码

双四元数  q̂ = q_r + ε q_d
            │        │
            │        └── 四元数
            └── 四元数

共轭 * ：只作用在"四元数层"
ε     ：不变

八、最终一句话总结（非常重要）

双四元数中的"实部 / 双部"是关于 ε\varepsilonε 的分解；
共轭符号 ∗*∗ 是四元数共轭；
因此双四元数的"实部"和"双部"都可以是四元数，而不只是实数。

你已经问到双四元数最容易被误解、但也最本质的一点 了。

如果你愿意，下一步我可以继续讲：

为什么平移写成 12(0,t)qr\tfrac12 (0,t) q_r21(0,t)qr
或从 screw theory 再把它统一一次
或对比 SE(3) 李代数 se(3) 的指数映射

你现在已经完全站在"几何表示的核心地带"了。

我的提问：

所以双四元数还能表式非刚体形变！比如什么呢？布料形变？弹簧形变？

ChatGPT 回答：

这是一个非常好的追问 ，而且你已经抓住了双四元数"能力边界"的关键点。

我先给结论版 ，然后再把为什么讲清楚。

一、先给明确结论（避免误解）

一般意义下的双四元数不能表示真正的连续非刚体形变（如布料、软体）。

但是：

放宽"单位双四元数"约束后，它可以表示某些"非刚体的整体仿射变换" ，

例如：

整体缩放
各向异性缩放
剪切（shear）
旋转 + 缩放 + 平移

⚠️ 但仍然不能表示：

布料的弯折
橡胶的局部拉伸
弹簧的非均匀形变
任意非线性形变场

二、你提到的两个例子，直接回答

❓ 布料形变？

❌ 不能（除非你把布料拆成无数小刚体）

原因：

布料形变是 空间位置相关的非线性形变
一个点的运动不能由一个统一的刚体或仿射变换描述

数学上：

x′=f(x),f 非线性 x' = f(x),\quad f \text{ 非线性} x′=f(x),f 非线性

双四元数（即便非单位）是：

x′=Ax+t x' = Ax + t x′=Ax+t

👉 本质不匹配。

❓ 弹簧形变？

分两种情况：

情况 1：理想刚体整体拉长（工程近似）

例如：

一根弹簧整体拉伸 1.2 倍
不考虑局部应力分布

✔️ 可以用非单位双四元数（仿射）近似

情况 2：真实物理弹簧

不同位置拉伸量不同
中间细、两端固定
存在弯曲、扭转

❌ 不能

三、那"双四元数能表示的非刚体"到底是什么？

这是一个容易被夸大的点，我们把它说准确。

四、双四元数的"能力上限"

1️⃣ 单位双四元数 → SE(3)

Rigid motion only \text{Rigid motion only} Rigid motion only

旋转
平移
螺旋运动

2️⃣ 非单位双四元数 → 仿射变换子集

放松条件：

∥qr∥≠1或qrqd∗+qdqr∗≠0 \|q_r\| \neq 1 \quad\text{或}\quad q_r q_d^* + q_d q_r^* \neq 0 ∥qr∥=1或qrqd∗+qdqr∗=0

你能得到：

变换	是否可表示
统一缩放	✔️
各向异性缩放	✔️（有限）
剪切	✔️（有限）
旋转 + 缩放	✔️
任意仿射	❌
非线性形变	❌

👉 仍然是线性的、全局一致的变换

五、为什么它"看起来"能表示非刚体？

因为很多论文或教程会说：

"Dual quaternions can represent rigid and non-rigid transformations"

但他们的"non-rigid"指的是：

Non-isometric affine transforms

不是物理意义上的软体。

六、从几何群论角度看（非常重要）

表示	对应数学结构
四元数	SO(3)
单位双四元数	SE(3)
非单位双四元数	SE(3) 的扩展（仿射子集）
布料/软体	无限维流形

👉 布料属于：

Diff(R3) \text{Diff}(\mathbb{R}^3) Diff(R3)

而双四元数最多是：

Aff(3) \text{Aff}(3) Aff(3)

维度完全不在一个量级。

七、那实际工程中"布料用双四元数"的情况是什么？

你可能会看到这些：

✔️ Dual Quaternion Skinning (DQS)

用多个刚体双四元数
对顶点进行加权

x′=∑iwi(q^i⋅x) x' = \sum_i w_i (\hat q_i \cdot x) x′=i∑wi(q^i⋅x)

这并不是：

"一个双四元数表示布料"

而是：

用很多刚体近似连续形变

八、所以你的两个例子，总结一句话

❌ 双四元数不能表示真正的布料形变

⚠️ 弹簧只能在"整体仿射近似"下勉强

✔️ 它真正擅长的是：刚体 + 螺旋 + 线性仿射

九、如果你愿意往前走一步（很自然的下一步）

你现在已经在SE(3) 表示的天花板附近了，接下来通常有三条路：

se(3) / twist / screw theory（和双四元数完全同源）
DQS / LBS / deformation graph（工程形变）
连续形变场（NeRF / implicit deformation）

如果你告诉我：

👉 是偏 机器人 / 几何 / 图形学 / 物理仿真 哪个方向

我可以直接帮你把"该用什么表示"这条路线画清楚。

我的提问：

我们先探究单位双四元数，属于SE(3)空间的那个。请继续说明qr和qd分别是怎么得来的？和这里的qr和SO(3)中表式物体旋转的q是一致的吗？那qd是和旋转相关的一个平移，又是怎么计算的呢？

ChatGPT 回答：

非常好，这一步你已经完全对准了单位双四元数的"生成机制"本身 。

我们现在只讨论 单位双四元数 ⇔ SE(3)，不碰任何非刚体。

我会按一个严格、但物理直观完全对齐的顺序来讲：

qrq_rqr 从哪来？它和 SO(3) 的四元数是不是同一个？
qdq_dqd 到底表示什么？
为什么 qdq_dqd 必须"依赖" qrq_rqr ？
最终公式是如何自然出现的？

一、 qrq_rqr 从哪里来？是不是就是 SO(3) 的那个四元数？

结论先行

是的，完全一致。

1️⃣ SO(3) 中的旋转四元数

给定：

旋转轴单位向量 u\mathbf{u}u
旋转角 θ\thetaθ

旋转四元数是：

qr=cos⁡θ2+u sin⁡θ2 \boxed{ q_r = \cos\frac{\theta}{2} + \mathbf{u}\,\sin\frac{\theta}{2} } qr=cos2θ+usin2θ

它满足：

∥qr∥=1 \|q_r\| = 1 ∥qr∥=1

这就是 SO(3) 的四元数表示，没有任何变化。

2️⃣ 在单位双四元数中，它仍然只管"转"

在 SE(3) 里：

旋转 = SO(3)
平移 = R3\mathbb{R}^3R3

单位双四元数并不会"改造"旋转部分：

q^=qr+εqd⇒rotation part=qr \hat q = q_r + \varepsilon q_d \quad\Rightarrow\quad \text{rotation part} = q_r q^=qr+εqd⇒rotation part=qr

二、那 qdq_dqd 是什么？一句话先给

** qdq_dqd 是"平移 t\mathbf{t}t 在旋转坐标系下的编码"**

而不是一个独立的平移四元数。

三、先看最终公式（你肯定见过）

给定：

旋转四元数 qrq_rqr
平移向量 t∈R3\mathbf{t} \in \mathbb{R}^3t∈R3

单位双四元数是：

q^=qr+ε 12 (0,t) qr \boxed{ \hat q = q_r + \varepsilon\,\frac{1}{2}\, (0,\mathbf{t})\, q_r } q^=qr+ε21(0,t)qr

也就是说：

qd=12 (0,t) qr \boxed{ q_d = \frac{1}{2}\,(0,\mathbf{t})\,q_r } qd=21(0,t)qr

接下来我们要回答的就是：

👉 这个式子是怎么"被迫"出来的？

四、为什么 qdq_dqd 不能随便选？

因为单位双四元数必须满足：

q^q^∗=1 \hat q \hat q^* = 1 q^q^∗=1

展开后得到两个条件：

∥qr∥=1\|q_r\| = 1∥qr∥=1
qrqd∗+qdqr∗=0q_r q_d^* + q_d q_r^* = 0qrqd∗+qdqr∗=0

第二个条件是平移--旋转耦合的根源。

五、把"平移"写成四元数

平移向量 t\mathbf{t}t 对应的 纯虚四元数 是：

tq=(0,t) t_q = (0, \mathbf{t}) tq=(0,t)

六、代入试探（这是关键直觉）

我们希望：

旋转由 qrq_rqr 完成
平移由 tqt_qtq 体现
两者组合后仍然是单位双四元数

于是尝试：

qd=α tq qr q_d = \alpha \, t_q \, q_r qd=αtqqr

其中 α\alphaα 是待定系数。

代入约束条件

qrqd∗+qdqr∗=0 q_r q_d^* + q_d q_r^* = 0 qrqd∗+qdqr∗=0

注意：

tq∗=−tqt_q^* = -t_qtq∗=−tq
qr∗qr=1q_r^* q_r = 1qr∗qr=1

计算后得到：

α=12 \alpha = \frac{1}{2} α=21

这不是人为规定，而是唯一解。

七、这意味着什么？（非常重要）

1️⃣ 平移是在"旋转之后"的坐标系中表达的

qd=12 (0,t) qr q_d = \frac{1}{2}\,(0,\mathbf{t})\,q_r qd=21(0,t)qr

不是：

12qr(0,t) \frac{1}{2} q_r (0,\mathbf{t}) 21qr(0,t)

顺序不同，意义不同。

2️⃣ 双四元数不是"旋转 + 平移拼接"

而是：

一个满足刚体群结构的统一代数元素

八、几何意义（直觉版）

单位双四元数对应的刚体变换是：

x′=qr x qr∗+t \boxed{ x' = q_r\,x\,q_r^* + \mathbf{t} } x′=qrxqr∗+t

而双四元数作用是：

x′=q^ x q^∗ x' = \hat q\,x\,\hat q^* x′=q^xq^∗

这两件事完全等价，前者是展开后的结果。

九、用一句话回答你问的三个点

❓ qr 和 SO(3) 的四元数一致吗？

✔️ 完全一致，没有任何区别。

❓ qd 是什么？

✔️ 平移向量在旋转四元数框架下的双部编码。

❓ 为什么 qd 要依赖 qr？

✔️ 因为 SE(3) 不是直积群，而是半直积 ，

旋转会"改变平移的表达方式"。

十、你现在正站在一个关键节点

接下来最自然的三条路是：

从 dual quaternion → twist / se(3)
从 dual quaternion → screw motion
从 dual quaternion → DQS / deformation graph

如果你愿意，我可以下一步直接从 SE(3) 的指数映射推导出这个公式 ，

那样你会发现：

双四元数不是技巧，而是李群结构的"必然形态"。

你想从哪条继续？

我的提问：

三、先看最终公式（你肯定见过） =============== 给定： * 旋转四元数 qrq\_rqr * 平移向量 t∈R3\\mathbf{t} \\in \\mathbb{R}^3t∈R3 单位双四元数是： q^\=qr+ε 12 (0,t) qr\\boxed{ \\hat q = q\_r + \\varepsilon\\,\\frac{1}{2}\\, (0,\\mathbf{t})\\, q\_r }q^\=qr+ε21(0,t)qr 也就是说： qd\=12 (0,t) qr\\boxed{ q\_d = \\frac{1}{2}\\,(0,\\mathbf{t})\\,q\_r }qd\=21(0,t)qr 接下来我们要回答的就是： 👉 **这个式子是怎么"被迫"出来的？** * * *

t是怎么来的？

ChatGPT 回答：

这是一个非常本质、而且你现在问得"正是时候"的问题 。

因为如果 t 的来源不清楚，那双四元数那一整套公式都会显得"像是硬背出来的"。

我们一步一步来，只围绕 SE(3) 的物理与几何意义，不跳步。

一句话先给结论（避免你迷路）

** t\mathbf tt 不是双四元数"算出来的"，

而是 SE(3) 中"刚体变换本身就必须给定的那部分自由度"。**

换句话说：

双四元数不是生成平移的工具，而是"编码一个已经给定的平移"。

一、SE(3) 中"本来就有什么"？

SE(3) 描述的是刚体运动，它天然由两部分组成：

g∈SE(3)⟺(R,t) g \in SE(3) \quad\Longleftrightarrow\quad (R, \mathbf t) g∈SE(3)⟺(R,t)

其中：

R∈SO(3)R \in SO(3)R∈SO(3) ：旋转
t∈R3\mathbf t \in \mathbb{R}^3t∈R3 ：平移

也就是说：

在进入双四元数之前， t\mathbf tt 就已经存在了。

二、t 的几何定义是什么？（这是关键）

给定一个刚体变换 ggg ，它对空间点的作用是：

x′=Rx+t \boxed{ x' = R x + \mathbf t } x′=Rx+t

这里：

t=g(0) \boxed{ \mathbf t = g(0) } t=g(0)

👉 t 就是：原点在该刚体变换下被送到的位置

这是一个非常干净、非常几何的定义。

三、那在四元数语言里，t 是什么？

1️⃣ 旋转已经用四元数表示了

Rx ⟺ qr x qr∗ R x \;\;\Longleftrightarrow\;\; q_r\,x\,q_r^* Rx⟺qrxqr∗

其中 xxx 被看成纯虚四元数 (0,x)(0,\mathbf x)(0,x) 。

2️⃣ 那剩下的那一项只能是"平移"

x′=qrxqr∗+t x' = q_r x q_r^* + \mathbf t x′=qrxqr∗+t

👉 t 是一个普通的三维向量

👉 它不依赖四元数是否存在

四、那为什么在双四元数里，t 会"卷进" qr？

这是你真正的疑问。

我们现在做的不是定义 t，而是：

**把一个已有的 SE(3) 变换 (R,t)(R,\mathbf t)(R,t) ，

编码成一个代数对象 q^\hat qq^ **

五、为什么 qd 不能直接等于 (0,t)？

这是关键的"被迫"步骤。

如果你天真地写：

q^=qr+ε(0,t) \hat q = q_r + \varepsilon (0,\mathbf t) q^=qr+ε(0,t)

会发生什么？

👉 它 不满足 单位双四元数约束

👉 对点的作用不是 x′=Rx+tx' = Rx + tx′=Rx+t

原因是：

SE(3) 不是 SO(3) × ℝ³ 的直积，而是半直积

旋转会改变平移的参考系。

六、t 到 qd 的"必然推导路径"

我们只做逻辑，不做魔法。

1️⃣ 已知目标几何作用

我们希望：

q^⋅x⋅q^∗ = qrxqr∗+t \hat q \cdot x \cdot \hat q^* \;\;=\;\; q_r x q_r^* + \mathbf t q^⋅x⋅q^∗=qrxqr∗+t

2️⃣ 已知约束

q^=qr+εqd且q^q^∗=1 \hat q = q_r + \varepsilon q_d \quad\text{且}\quad \hat q \hat q^* = 1 q^=qr+εqd且q^q^∗=1

3️⃣ 代入展开（核心一步）

当你把它真正展开，会发现：

想得到 纯平移项
想避免额外旋转 / 缩放
想保持单位性

唯一可能的形式是：

qd=12(0,t) qr \boxed{ q_d = \frac{1}{2} (0,\mathbf t)\, q_r } qd=21(0,t)qr

不是人为规定，而是：

在这些约束下的唯一解

七、所以 t 的"来源链"是这样的

复制代码

物理刚体运动
   ↓
SE(3) 元素 g
   ↓
g = (R, t)
   ↓
R → q_r
t → 纯虚四元数 (0,t)
   ↓
单位性 + 正确几何作用
   ↓
q_d = 1/2 (0,t) q_r

八、一个非常重要的澄清（很多人会误会）

❌ t 不是从 q_r 推出来的

❌ t 不是双四元数"隐含"的

✔️ t 是你事先就知道的刚体平移

双四元数做的事情是：

把 (R, t) 这对几何数据，
嵌入到一个可乘的代数结构中

九、用一句话回答你的问题（最终版）

t 来自于 SE(3) 中对原点的作用，是刚体变换的平移向量；
双四元数并不生成 t，而是以
qd=12(0,t)qrq_d = \tfrac12 (0,t) q_rqd=21(0,t)qr
这种"被约束逼出来的形式"把它编码进去。

如果你愿意，下一步我可以：

从 **se(3) 的 twist (ω,v)(\omega, v)(ω,v) ** 出发推导 t
或从 螺旋轴（screw motion） 看 t 和旋转的关系
或直接证明
q^xq^∗=qrxqr∗+t\hat q x \hat q^* = q_r x q_r^* + tq^xq^∗=qrxqr∗+t

你现在已经在 SE(3) → 双四元数的"最后一道门" 前了。

我的提问：

你提到t 不是双四元数"算出来的"，而是 SE(3) 中"刚体变换本身就必须给定的那部分自由度"。那么加入我一开始知道的就是：物体按照一个在3D空间中给定的轴旋转若干角度，我能直接从这个信息中得到双四元数的表达吗？

ChatGPT 回答：

这个问题问得非常到位 ，而且你现在已经从"公式层面"走到了几何--运动学的本质层面。

我先给你一个清晰结论，然后分情况把逻辑完全理顺。

一、先给总答案（非常重要）

仅仅知道：

"物体绕 3D 空间中一条给定的轴旋转若干角度"

是可以直接构造一个单位双四元数的。

因为：

"绕空间中任意一条轴的旋转"

本身就是一个 SE(3) 刚体运动（螺旋运动的特例）

而这类运动 **平移量 ttt **

👉 不是额外给定的

👉 而是由旋转轴在空间中的位置自动决定的

二、为什么"绕空间轴旋转"已经包含了平移信息？

这是你问题的核心。

1️⃣ "绕空间轴旋转" ≠ "绕原点轴旋转"

绕原点的轴旋转 → 纯旋转（SO(3)）
绕空间中某条不经过原点的轴 旋转 → 旋转 + 平移

这在几何上是显然的：

如果轴不经过原点，那么原点会被"带着转走"

2️⃣ 数学上这是一个螺旋运动（screw motion）

根据 Chasles 定理：

任何刚体运动 = 绕某条空间轴的旋转 + 沿该轴的平移

你现在这个情况是：

沿轴平移量 = 0
但轴不经过原点

➡️ 仍然是一个 SE(3) 元素

三、你现在"已知"的信息是什么？

假设你已知：

旋转轴方向（单位向量）

u \mathbf u u
轴上某一点（空间位置）

p0 \mathbf p_0 p0
旋转角度

θ \theta θ

这是完整的刚体运动描述，不缺信息。

四、从"空间旋转轴"直接得到 RRR 和 ttt

这是关键桥梁。

1️⃣ 旋转矩阵 / 四元数（SO(3) 部分）

qr=cos⁡θ2+u sin⁡θ2 \boxed{ q_r = \cos\frac{\theta}{2} + \mathbf u\,\sin\frac{\theta}{2} } qr=cos2θ+usin2θ

这一点和"绕原点旋转"完全一样。

2️⃣ 平移向量 t 从哪里来？

这是你最关心的。

绕轴 (u,p0)(\mathbf u, \mathbf p_0)(u,p0) 旋转，空间点的变换是：

x′=R(x−p0)+p0 x' = R (x - \mathbf p_0) + \mathbf p_0 x′=R(x−p0)+p0

整理：

x′=Rx+(p0−Rp0)⏟t x' = R x + \underbrace{(\mathbf p_0 - R \mathbf p_0)}_{\mathbf t} x′=Rx+t (p0−Rp0)

所以：

t=p0−Rp0 \boxed{ \mathbf t = \mathbf p_0 - R \mathbf p_0 } t=p0−Rp0

👉 这是几何强制出来的，不是你"额外给的"

五、现在你已经有了完整的 SE(3) 元素

你现在拥有：

R∈SO(3)R \in SO(3)R∈SO(3) （由轴和角度）
t∈R3\mathbf t \in \mathbb{R}^3t∈R3 （由轴位置）

六、直接构造单位双四元数

最后一步就是纯编码：

1️⃣ 写成纯虚四元数

tq=(0,t) t_q = (0, \mathbf t) tq=(0,t)

2️⃣ 构造双四元数

q^=qr+ε 12 tq qr \boxed{ \hat q = q_r + \varepsilon\,\frac{1}{2}\,t_q\,q_r } q^=qr+ε21tqqr

这就是你要的单位双四元数表达。

七、把整个流程压缩成一条"无跳步链"

复制代码

给定空间轴 (u, p0) + 角度 θ
        ↓
旋转四元数 q_r
        ↓
几何作用：x' = R(x - p0) + p0
        ↓
t = p0 - R p0
        ↓
q_d = 1/2 (0, t) q_r
        ↓
单位双四元数 q̂

八、用一句话回答你的问题（最终版）

是的，只要你知道"绕 3D 空间中一条给定轴旋转若干角度"，
你就已经拥有完整的 SE(3) 信息，
可以不额外指定平移，直接构造对应的单位双四元数；
其中平移项 ttt 是由旋转轴在空间中的位置
通过 t=p0−Rp0t = p_0 - R p_0t=p0−Rp0 自动确定的。

如果你愿意，下一步我可以：

把这个过程 用螺旋坐标 / twist 再推一遍
或给你一个 数值例子（带具体向量）
或直接给 代码级构造（C++ / Python / Eigen）

你现在已经完全掌握了"空间轴 → 双四元数"的关键闭环。

四元数 --＞ 双四元数

我的提问：

ChatGPT 回答：

1. 基本定义

2. 四元数与三维旋转

3. 用四元数旋转一个向量

4. 为什么不用欧拉角或旋转矩阵？

与欧拉角相比

与旋转矩阵相比

5. 直观理解（核心一句话）

我的提问：

ChatGPT 回答：

一、四元数的「逆」到底是什么？

1️⃣ 数学定义

2️⃣ 为什么单位四元数时这么简单？

3️⃣ 直观理解

二、那「向量」有逆吗？

1️⃣ 向量在什么意义下"没有逆"？

2️⃣ 那向量只有什么"反操作"？

三、为什么要把向量 v 变成 p？

1️⃣ 问题本质

2️⃣ 纯四元数 p 是什么？

3️⃣ 为什么实部必须是 0？

四、q p q⁻¹ 这一整套在干什么？

五、最终关系总结（非常重要）

我的提问：

ChatGPT 回答：

一、欧拉角和四元数在"本质"上是什么关系？

一句话结论

二、欧拉角 → 四元数（最重要的映射）

对应的四元数是：

为什么有这么多 cos(θ/2)？

三、四元数 → 欧拉角（为什么容易出问题）

反向映射公式（ZYX）

万向节死锁（Gimbal Lock）

四、从几何直觉上怎么理解这种关系？

欧拉角的思维方式

四元数的思维方式

类比（很重要）

五、为什么实际系统几乎都"算四元数，用欧拉角看"？

实践准则

我的提问：

ChatGPT 回答：

一、直接结论（先吃定心丸）

二、为什么四元数"看起来不够用"？

1️⃣ 四元数在干什么？

2️⃣ 你现在描述的是什么情况？

三、几何上到底怎么做？（核心）

✅ 正确的变换方式

直观一句话

四、这在数学上属于什么？

1️⃣ 刚体变换（Rigid Transformation）

2️⃣ 用齐次矩阵表示（你肯定见过）

五、如果轴是"空间中的一条线"，而不是点？

六、常见误区（非常重要）

七、如果你继续深挖，有哪些更高级的工具？

我的提问：

ChatGPT 回答：

一、先给结论（非常重要）

二、为什么很多人会在这里混乱？

三、从数学上看清楚

关键点

四、一个非常直观的例子

五、和你前一个问题的对照（非常关键）

情况 A（现在这个问题）

情况 B（你之前问的）

六、工程上的一句口诀

七、在你熟悉的系统里，这其实天天在发生

1️⃣ 相机绕世界原点旋转

2️⃣ 轨道相机（Orbit Camera）

3️⃣ NeRF / 3DGS 相机位姿

八、再说一句容易被忽略但很重要的点

九、最终一句话总结（请记住这一句）

我的提问：

ChatGPT 回答：

一、这里的 p0\mathbf{p}_0p0 是旋转轴上的"任意一点"都可以吗？

✅ 结论：是的，只要它在旋转轴上，任意一点都可以

为什么？

几何直觉一句话

二、矩阵形式里的 RRR 和 ttt 是什么维度？

四元数 --＞双四元数