LeetCode 470 用 Rand7() 实现 Rand10()

文章目录

- 摘要
- 描述
- 题解答案
- 题解代码分析
- - [第一步：为什么是 `(rand7() - 1) * 7 + rand7()`](#第一步：为什么是 (rand7() - 1) * 7 + rand7())
  - [第二步：为什么只取 `[1,40]`](#第二步：为什么只取 [1,40])
  - 第三步：为什么不会死循环
- 示例测试及结果
- 时间复杂度
- 空间复杂度
- 总结

摘要

LeetCode 470 这道题乍一看像是"随机数题"，但真正考的并不是 API 调用，而是**对概率、均匀分布以及拒绝采样（Rejection Sampling）**的理解。

题目限制只能用 rand7()，却要生成 rand10()，这类问题在工程里并不少见，比如基于受限随机源做更高维度的随机模拟、灰度实验、AB 测试分流等。

这篇文章会从直觉误区开始，一步步推到正确解法，并用 Swift 写出一个可以直接跑的 Demo，顺便聊聊它在真实系统里的意义。

描述

题目给了一个现成的方法：

text 复制代码

rand7() -> 返回 [1, 7] 之间的均匀随机整数

我们的目标是实现：

text 复制代码

rand10() -> 返回 [1, 10] 之间的均匀随机整数

限制条件很严格：

只能调用 rand7()
不能使用系统随机函数
要求结果是均匀分布

很多人第一反应是：

"那我 rand7() % 10 + 1 不就行了？"

这个想法非常自然，但也是这道题的第一个坑。

因为 7 不能整除 10，直接取模一定会导致某些数字出现的概率更高。

所以问题的本质其实是：

如何把一个有限、离散、范围不整除的随机源，映射成另一个均匀随机源？

题解答案

核心思路只有一句话：

用 rand7() 组合出一个更大的均匀空间，再从中"筛选"出 [1,10]。

具体做法是：

用两次 rand7() 生成一个 [1,49] 的均匀随机数
只保留 [1,40] 这一段
对 10 取模，映射到 [1,10]

为什么是 40？

因为 40 是 小于等于 49 的最大、能被 10 整除的数。

题解代码分析

下面是一个完整、可运行的 Swift Demo ，包含 rand7() 的模拟实现，方便本地测试。

swift 复制代码

class Solution {

    // 模拟题目给定的 rand7()
    func rand7() -> Int {
        return Int.random(in: 1...7)
    }

    // 目标函数
    func rand10() -> Int {
        while true {
            // 将 rand7() 扩展成 [1, 49]
            let num = (rand7() - 1) * 7 + rand7()
            
            // 只接受 [1, 40]
            if num <= 40 {
                return (num - 1) % 10 + 1
            }
            // 超过 40 的部分直接丢弃，重新来
        }
    }
}

下面我们一行一行拆解这段逻辑。

第一步：为什么是 `(rand7() - 1) * 7 + rand7()`

你可以把它想象成一个二维表：

第一次 rand7() 决定"行"
第二次 rand7() 决定"列"

这样一来：

一共 7 × 7 = 49 种组合
每一种组合出现的概率完全相等

结果自然就是一个 均匀分布的 [1,49]。

第二步：为什么只取 `[1,40]`

这是这道题最关键的地方。

49 不能整除 10
40 可以整除 10

如果我们只使用 [1,40]，那么：

每个数字 1～10 都对应 4 个等概率来源
映射后仍然是均匀分布

剩下的 [41,49] 呢？

答案是：
不要了，直接重来。

这就是经典的 拒绝采样（Rejection Sampling）。

第三步：为什么不会死循环

很多人担心：

"一直 reject，会不会一直跑不出来？"

实际上不会。

接受概率是 40 / 49
平均不到 1.25 次循环就能成功一次

在进阶问题里，这正是题目希望你分析的"期望调用次数"。

示例测试及结果

我们可以简单写个测试，看看分布是不是均匀的。

swift 复制代码

let solution = Solution()
var counter = Array(repeating: 0, count: 10)

let times = 100_000
for _ in 0..<times {
    let value = solution.rand10()
    counter[value - 1] += 1
}

for i in 0..<10 {
    print("Number \(i + 1): \(counter[i])")
}

你会看到类似这样的输出（每次略有波动）：

text 复制代码

Number 1: 10021
Number 2: 9958
Number 3: 10044
Number 4: 10003
Number 5: 10012
Number 6: 9987
Number 7: 10031
Number 8: 9996
Number 9: 10019
Number 10: 9929

从结果上看，每个数字的出现次数都非常接近，说明分布是均匀的。

时间复杂度

单次 rand10()：

平均调用 rand7() 的次数是常数级
接受概率是 40 / 49

所以：

时间复杂度是 O(1)（期望意义下）

这也是为什么这种"看起来有循环"的写法，在随机问题中是完全可以接受的。

空间复杂度

没有使用额外的数据结构
只用了几个临时变量

所以：

空间复杂度是 O(1)

总结

LeetCode 470 表面上是一个随机数题，实际上考的是三件事：

你是否真正理解"均匀分布"
你能不能跳出"取模"的直觉陷阱
你是否知道如何通过拒绝采样构造新概率空间

在真实业务里，这类思路经常用在：

灰度发布中的流量均匀分桶
基于有限随机源的模拟系统
游戏、推荐系统里的概率控制

如果你能把这道题讲清楚，说明你对"概率 + 工程实现"这件事，已经不是停留在表面了。

LeetCode 470 用 Rand7() 实现 Rand10()

文章目录

摘要

描述

题解答案

题解代码分析

第一步：为什么是 (rand7() - 1) * 7 + rand7()

第二步：为什么只取 [1,40]

第三步：为什么不会死循环

示例测试及结果

时间复杂度

空间复杂度

总结

第一步：为什么是 `(rand7() - 1) * 7 + rand7()`

第二步：为什么只取 `[1,40]`