矩阵张量积（Kronecker积）的代数性质与定理

一、基本定义与记号

1. Kronecker积定义

对于矩阵和：

2. 向量化运算（vec运算）

vec(A) 是指将矩阵A(mxn) 展开成一维向量，按列展开。

重要关系：

这里只检验维度：A(mxn)X(nxp)B(pxq) 结果是 mxq 个元素；

是 (qxp) ，A(mxn) ,所以，是(q*m)x(p*n)，而 X(nxp)，vec(X) 是维度为 n*p 的一维向量。乘积结果确实为 q*m == m*q，即 vec(AXB)的维度。

二、基本代数性质

1. 双线性性（Bilinearity）

对于任意标量；

2. 结合律（Associativity）

因此可记作无歧义。

3. 混合积性质

条件：AC 和 BD 的矩阵乘法有定义（即维度匹配）。

证明：

设

则，

且

4. 单位元

三、运算的兼容性

1. 转置

2. 共轭转置（伴随算子）

3. 逆矩阵

如果 A 和 B 可逆，则：

4. 行列式

设 :

证明思路 ：

使用特征值分解：若 A 的特征值为，B 的特征值为，

则的特征值为，共 m*n 个。

5. 迹（Trace）

6. 秩（Rank）

四、特征值与特征向量

定理1：特征值关系

设 A ∈ ℂ^{n×n} 有特征值，对应特征向量

设有特征值，对应特征向量

则的特征值为，对应特征向量为。

证明：

定理2：谱半径（Spectral Radius）

其中。

定理3：正定性

如果 A 和 B 是半正定 的，则也是半正定的
如果 A 和 B 是正定的，则也是正定的

五、范数性质

1. Frobenius范数

2. 谱范数（2-范数）

3. 核范数（Trace Norm）

六、置换矩阵与重排

1. 换位矩阵（Commutation Matrix）

存在置换矩阵（换位矩阵）使得：

其中。

更一般地：

当。

2. 向量化重排公式

其中。

七、张量积的特殊形式

1. 对角矩阵的张量积

2. 置换矩阵的张量积

两个置换矩阵的张量积仍是置换矩阵。

3. 酉矩阵的张量积

如果 U 和 V 是酉矩阵，则也是酉矩阵：

八、量子信息中的关键定理

定理4：局部操作与经典通信（LOCC）

设和是局部量子操作，则它们的张量积表示可同时进行的独立操作。

定理5：纠缠见证

如果是可分离态，则对于任意正定算子 P 和 Q：

定理6：部分转置判据（Peres-Horodecki判据）

对于可分态，其部分转置是半正定的。

九、矩阵方程的张量积形式

1. Sylvester方程

方程 AX + XB = C 可重写为：

其中。

2. Lyapunov方程（Sylvester方程的特例）

当时，得到：

对应的张量积形式：

十、数值计算性质

定理7：条件数

其中是条件数。

定理8：浮点误差传播

对于浮点运算，张量积的相对误差满足：

其中是机器精度。

十一、特殊函数与张量积

1. 矩阵指数

证明：因为和可交换：

所以

且，

2. 矩阵对数

如果 A 和 B 的特征值不在负实轴上，则：

十二、张量积的推广

1. 多个矩阵的张量积

性质：

维度：（若）
结合律成立：任意分组方式结果相同

2. 张量幂

应用：量子力学中的全同粒子系统。

十三、重要不等式

1. Cauchy-Schwarz型不等式

2. 子乘性（Submultiplicativity）

对于算子范数：

3. Golden-Thompson不等式推广

对于 Hermitian 矩阵：

十四、量子计算中的应用定理

定理9：门分解定理

任意 n-qubit 酉门 U 可分解为：

其中每个作用在常数个量子比特上。

定理10：量子门的张量积结构

如果，则 U 作用在复合系统上等价于在子系统 A 和 B 上独立应用和。

定理11：纠缠门的不可分性

CNOT、SWAP 等纠缠门不能写成单量子比特门的张量积形式：

对任意单量子比特门 A, B。

十五、总结表格

性质	公式	条件/备注
结合律		总是成立
混合积		维度需匹配
转置		总是成立
逆		A,B 可逆
行列式		A:n×n, B:m×m
迹		方阵
特征值
范数	![	A\otimes B

这些代数性质和定理构成了量子计算、量子信息、多线性代数等领域的基础理论框架。