MATLAB矩阵运算完，加减乘除/点运算/转置/逆矩阵/行列式

一、MATLAB矩阵基础

在MATLAB中，矩阵是核心数据结构，所有数值运算均围绕矩阵展开。创建矩阵的基础语法为：用中括号[]包裹元素，行内元素用空格/逗号分隔，行与行之间用分号;分隔。

% 创建2×3矩阵
A = [1 2 3; 4 5 6];
% 创建3×3单位矩阵
B = eye(3);
% 创建3×3全1矩阵
C = ones(3);
% 创建随机矩阵（元素0-1之间）
D = rand(2,2);

二、矩阵基本运算（加减乘除）

1. 矩阵加减法

运算规则：仅同维度矩阵可进行加减运算，对应位置元素相加减。

% 定义两个同维度矩阵
A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

% 矩阵加法
C = A + B; % 结果：[6 8; 10 12]
% 矩阵减法
D = A - B; % 结果：[-4 -4; -4 -4]

% 标量与矩阵加减（广播机制）
E = A + 2; % 所有元素加2，结果：[3 4; 5 6]

注意 ：若矩阵维度不匹配，MATLAB会报错Matrix dimensions must agree，需先确认矩阵行列数一致。

2. 矩阵乘法（*）

运算规则：前矩阵列数=后矩阵行数才可相乘，结果矩阵维度为"前矩阵行数×后矩阵列数"。

% 定义符合乘法规则的矩阵
A = [1 2 3; 4 5 6]; % 2×3矩阵
B = [7 8; 9 10; 11 12]; % 3×2矩阵

% 矩阵乘法
C = A * B; % 结果：[1×7+2×9+3×11  1×8+2×10+3×12; 
           %        4×7+5×9+6×11  4×8+5×10+6×12]
           % 最终：[58 64; 139 154]

% 标量与矩阵乘法
D = A * 2; % 所有元素×2，结果：[2 4 6; 8 10 12]

3. 矩阵除法（\ 和 /）

MATLAB中矩阵除法分左除（\）和右除（/），本质是求解线性方程组：

• 左除 A\B ：等价于求解 A*X=B 的解X
• 右除 A/B ：等价于求解 X*B=A 的解X

% 定义可逆矩阵
A = [1 2; 3 4];
B = [5; 6];

% 左除：求解A*X=B
X1 = A \ B; % 结果：[-4; 4.5]

% 右除示例
C = [7 8; 9 10];
X2 = C / A; % 等价于 C*inv(A)

三、矩阵点运算（./ .* .^）

点运算（元素级运算）是MATLAB特有的便捷操作，核心是对应位置元素独立运算，无需满足矩阵维度匹配规则（仅需维度相同或其中一个为标量）。

1. 点乘法（.*）

A = [1 2; 3 4];
B = [5 6; 7 8];

% 点乘：对应元素相乘
C = A .* B; % 结果：[1×5 2×6; 3×7 4×8] = [5 12; 21 32]

2. 点除法（./ 和 .\）

% 点右除：A元素 ÷ B对应元素
D = A ./ B; % 结果：[1/5 2/6; 3/7 4/8] ≈ [0.2 0.333; 0.428 0.5]

% 点左除：B元素 ÷ A对应元素
E = A .\ B; % 结果：[5/1 6/2; 7/3 8/4] = [5 3; 2.333 2]

% 标量点除
F = A ./ 2; % 所有元素÷2，结果：[0.5 1; 1.5 2]

3. 点幂运算（.^）

% 元素级幂运算
G = A .^ 2; % 每个元素平方，结果：[1 4; 9 16]
H = A .^ B; % 对应元素幂运算，结果：[1^5 2^6; 3^7 4^8]

四、矩阵转置（' 和 .'）

1. 普通转置（'）

共轭转置，适用于复数矩阵（实数矩阵等价于普通转置）：

% 实数矩阵转置
A = [1 2 3; 4 5 6];
A_trans = A'; % 结果：[1 4; 2 5; 3 6]

% 复数矩阵共轭转置
B = [1+2i 3+4i; 5+6i 7+8i];
B_conj = B'; % 结果：[1-2i 5-6i; 3-4i 7-8i]

2. 非共轭转置（.'）

仅转置不共轭，专为复数矩阵设计：

B_trans = B.'; % 结果：[1+2i 5+6i; 3+4i 7+8i]

五、逆矩阵（inv()）

1. 定义与使用

逆矩阵仅适用于方阵且行列式≠0 （可逆矩阵/非奇异矩阵），满足 A*inv(A)=eye(n)（单位矩阵）。

% 定义可逆方阵
A = [1 2; 3 4];

% 求逆矩阵
A_inv = inv(A); % 结果：[-2 1; 1.5 -0.5]

% 验证：A×逆矩阵=单位矩阵
I = A * A_inv; % 结果：[1 0; 0 1]

2. 常见报错处理

若执行inv(A)报错Matrix is singular to working precision，说明矩阵行列式=0（奇异矩阵），无法求逆，可检查矩阵是否为方阵、行列式是否为0。

六、行列式（det()）

行列式是方阵的标量属性，仅适用于方阵，MATLAB中用det()函数计算：

% 2×2矩阵行列式
A = [1 2; 3 4];
det_A = det(A); % 计算：1×4 - 2×3 = -2

% 3×3矩阵行列式
B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
det_B = det(B); % 结果：0（奇异矩阵，无法求逆）

七、实战案例：综合运算

% 综合运算示例
clear; clc; % 清空变量和命令行

% 1. 创建矩阵
A = [2 5; 1 3];
B = [4 1; 2 7];

% 2. 基础运算
C = A + B; % 加法
D = A * B; % 矩阵乘法
E = A .* B; % 点乘法

% 3. 转置与逆矩阵
A_trans = A'; % 转置
A_inv = inv(A); % 逆矩阵

% 4. 行列式
det_A = det(A); % 行列式=2×3-5×1=1

% 5. 求解线性方程组 A*X=B
X = A \ B;

% 输出结果
disp('矩阵A：'); disp(A);
disp('矩阵B：'); disp(B);
disp('A+B：'); disp(C);
disp('A*B：'); disp(D);
disp('A.*B：'); disp(E);
disp('A的转置：'); disp(A_trans);
disp('A的逆矩阵：'); disp(A_inv);
disp('A的行列式：'); disp(det_A);
disp('A\B的解：'); disp(X);

八、注意事项

1. 矩阵乘法（）和点乘法（. ）是最易混淆的操作：* 遵循矩阵运算规则，.* 是元素级运算；
2. 求逆矩阵前务必确认矩阵是方阵且行列式≠0，否则会报错；
3. 转置操作中，实数矩阵用'和.'结果一致，复数矩阵优先用.'避免共轭；
4. 矩阵除法优先使用左除（\），求解线性方程组时精度更高、速度更快。

总结

1. MATLAB矩阵基础运算中，加减要求维度一致，乘法要求前矩阵列数=后矩阵行数，点运算（./、.*、.^）是元素级独立运算；
2. 转置分共轭转置（'）和非共轭转置（.'），逆矩阵（inv()）仅适用于行列式≠0的方阵，行列式用det()计算；
3. 矩阵除法中左除（\）用于求解AX=B，右除（/）用于求解XB=A，实际应用中左除更常用。