1. 聚合与分解
在供应链管理中，需求是一个随机变量，会对应某一特定时间尺度，例如月度或周度。但在实际应用时，需要将其转换为其他时间尺度，比如日度或季度。这就需要对需求这个随机变量进行聚合或分解操作。
- 聚合 ：将更短时间尺度的需求数据整合为更长时间尺度的数据。例如，将日度需求汇总为周度需求或月度需求。
- 分解 ：将更长时间尺度的需求数据拆分至更短时间尺度。例如，将季度需求或月度需求拆解为日度需求或周度需求。
聚合的例子：
定义 D i D_i Di 为第 i i i 天的日度需求，且满足以下条件：
- 所有 D i D_i Di 均为 独立同分布（IID） 的随机变量；-- 意味着今天的需求不受前一天需求的影响，具体使用时要特别注意。
- 日度需求服从正态分布，其均值为 μ D \mu_D μD，标准差为 σ D \sigma_D σD。
也就是说，每一天的需求 D i D_i Di 都是一个随机变量，且它们都来自同一个均值为 μ D \mu_D μD、标准差为 σ D \sigma_D σD 的正态分布。
现在我们定义一个新的随机变量 m m m，用来表示月度需求 。
这里我们假设一个月的工作日为20天，因此月度需求 m m m 可表示为20天的日度需求之和，即：
M = ∑ i = 1 20 D i M=\sum_{i=1}^{20}D_i M=i=1∑20Di
接下来，我们需要推导月度需求 m m m 的均值和标准差。
1.1. 月度需求的均值 μ M \mu_M μM
假设一个月按20天计算，则月度需求的均值为日度需求均值的20倍：
μ M = 20 μ d \mu_M=20\mu_d μM=20μd
1.2. 月度需求的标准差 σ m \sigma_m σm
月度需求的标准差为：
σ M = 20 σ D 2 = 20 σ D \sigma_M=\sqrt{20\sigma_D^2}=\sqrt{20}\sigma_D σM=20σD2 =20 σD
1.3. 相互转换：
- 已知日度需求的均值 μ D \mu_D μD 和标准差 σ D \sigma_D σD，可以直接计算出月度需求的均值 μ m \mu_m μm 和标准差 σ M \sigma_M σM；
- 反之，若已知月度需求的均值 μ M \mu_M μM 和标准差 σ M \sigma_M σM，也可以反推出日度需求的均值和标准差：
μ D = μ M 20 \mu_D=\frac{\mu_M}{20} μD=20μM
σ D = σ M 20 \sigma_D=\frac{\sigma_M}{\sqrt{20}} σD=20 σM
这一转换逻辑可以推广到任意时间尺度 的需求聚合计算中。
一般来说，若将 n n n 个时间周期的需求进行聚合，得到的聚合需求仍服从正态分布，其均值和标准差满足以下公式：
μ a g g = n μ D \mu_{agg}=n\mu_D μagg=nμD
σ a g g = n σ D \sigma_{agg}=\sqrt{n}\sigma_D σagg=n σD
其中， μ a g g \mu_{agg} μagg 表示聚合后的需求均值， σ a g g \sigma_{agg} σagg 表示聚合后的需求标准差。
并非所有需求的分布都是正态分布，计算的时间粒度越小，则越有可能不是正态分布，此时可以使用大数定律，将数据叠加通常就符合正态分布了。比如日需求可能不符合正态分布，但是周需求基本就符合正态分布了。
2. 变异系数
变异系数是用于衡量数据的离散程度 的指标。其最基础的定义为：变异系数等于随机变量的标准差与其均值的比值。
变异系数常被用于对比不同对象的离散特性，例如两种不同产品的需求波动情况。通过比较二者的变异系数，能够判断它们的特征相似或差异程度。
2.1. 不同时间尺度下随机变量的离散特征。
假设月度随机变量 m m m 服从正态分布，均值 μ M = 20 \mu_M=20 μM=20，标准差 σ M = 10 \sigma_M=10 σM=10。
根据上述换算公式，对应的日度随机变量 D D D 服从正态分布，其均值与标准差分别为：
μ D = 20 20 = 1 \mu_D=\frac{20}{20}=1 μD=2020=1
σ D = 10 20 ≈ 2.24 \sigma_D=\frac{10}{\sqrt{20}}\approx2.24 σD=20 10≈2.24
分别计算月度和日度随机变量的变异系数：
- 月度随机变量的变异系数
C V M = σ M μ M = 10 20 = 0.5 CV_M=\frac{\sigma_M}{\mu_M}=\frac{10}{20}=0.5 CVM=μMσM=2010=0.5 - 日度随机变量的变异系数
C V D = σ D μ D = 2.24 1 = 2.24 CV_D=\frac{\sigma_D}{\mu_D}=\frac{2.24}{1}=2.24 CVD=μDσD=12.24=2.24
日度需求随机变量与月度需求随机变量的变异系数存在显著差异 。
二者描述的是同一类需求，仅是时间尺度不同------日度需求是月度需求的分解，月度需求是日度需求的聚合,但是差距巨大。
本质原因：不同时间尺度下需求的波动性存在差异 。日度需求的波动程度远高于月度需求，这种现象可被称为时间聚合效应。
月度随机变量是对20个日度随机变量的聚合，在求和过程中，单日需求的高峰与低谷会相互抵消 ，使得月度需求的稳定性显著提升；而单日需求缺乏这种抵消效应，因此波动性更大。
这也提示我们：在分析变异系数时，必须明确其对应的时间尺度，这是解读数据离散程度的关键前提。
变异系数也常被用作判断随机变量稳定性的指标。
经验法则：当变异系数小于0.5时，认为该产品的需求处于稳定状态。
强调：这一稳定性判断标准有明确的时间尺度前提 。它绝不适用于日度随机变量的分析，而是针对月度随机变量提出的经验规则。
大数定律开始起作用了。
关注本专栏，第一时间获取干货博文