1.什么是二次变换法QTM？
Quadratic Transformation Method（QTM）是一种用于将这些难以优化的分式/耦合项转化为"可迭代求解的凸子问题"的通用方法。
在通信与信号处理优化中，经常出现这样的"难点结构"：
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分式目标 如能效（EE）: R(x)P(x)\frac{R(x)}{P(x)}P(x)R(x)
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分式约束 如 SINR：∣hHω∣∑∣hHω∣+σ2\frac{|h^H\omega|}{\sum|h^H\omega|+\sigma^2}∑∣hHω∣+σ2∣hHω∣
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乘积耦合项 在 IRS、MIMO 或 MEC 中的资源联动
这些结构不可直接用凸优化求解，因为它们是典型的非凸函数。
2. QTM 的核心原理
QTM 核心思想是：
用辅助变量将乘积/分式结构转换为等价的（或可迭代逼近的）二次/凸结构，从而让迭代子问题可由凸优化求解。
两个重要的等价变换（在 (Y>0) 时）：
📌 乘积等价式
对于任意标量/向量 (x,y)：
xTy=maxt(2tTx−tTt)x^T y = \max_{t} (2 t^T x - t^T t)xTy=maxt(2tTx−tTt)
📌 分式等价式（Quadratic Transform）
对于 (X≥0,Y>0X \ge 0, Y>0X≥0,Y>0)：
XY=maxt(2tX−t2Y)\frac{X}{Y}=\max_t (2 t\sqrt{X}-t^2 Y)YX=tmax(2tX −t2Y)
对应最优值 (t=XYt=\frac{\sqrt{X}}{Y}t=YX 。
本质理解：
- 引入辅助变量 (t) → 将"比值/乘积结构"变成"线性 + 二次形式"
- 对原变量是凸的或可二次可处理的
- 对辅助变量有闭式解
- 结合交替优化/凸求解器可迭代收敛到 KKT 点
3. 典型适用场景：通信优化中的 QTM
QTM 已成为通信领域解决非凸问题的"标配"技术，在以下场景尤为常见：
✔ 波束成形（Beamforming）
优化用户 SINR、最小化发射功率、最大化系统吞吐等。
✔ 智能反射面（IRS）
带有 IRS 相位控制的 MIMO/多用户系统中，IRS 和波束共同优化。
✔ MIMO 系统
多流、空分复用、干扰对策。
✔ MEC/资源分配
包含计算资源与无线资源共同优化的能效/延迟问题。
4. QTM 实际案例与仿真示例
下面给出 3 个经典场景与对应 QTM 求解框架和简化代码示例（MATLAB/伪代码）。
⭐ 案例 1：单用户 SINR 最大化
🧠 问题描述
最大化单用户 SINR：
maxw∣hHw∣2∣w∣2+σ2.\max_w\quad \frac{|h^H w|^2}{|w|^2+\sigma^2}.maxw∣w∣2+σ2∣hHw∣2.
✨ QTM 变换
引入辅助变量 ttt：
maxw,t2t,ℜ(hHw)−t2(∣w∣2+σ2).\max_{w,t}\quad 2 t, \Re(h^H w) - t^2(|w|^2+\sigma^2).w,tmax2t,ℜ(hHw)−t2(∣w∣2+σ2).
🔁 交替优化步骤
- 对 www:
w←argmaxw;2t,ℜ(hHw)−t2∣w∣2 w \leftarrow \arg\max_w; 2 t, \Re(h^H w) - t^2|w|^2 w←argwmax;2t,ℜ(hHw)−t2∣w∣2
这一步是二次凸问题。 - 对 (t):
t=ℜ(hHw)∣w∣2+σ2. t=\frac{\Re(h^H w)}{|w|^2+\sigma^2}.t=∣w∣2+σ2ℜ(hHw).
💻 MATLAB 伪代码
matlab
% Initialization
w = randn(N,1)+1j*randn(N,1);
t = 1;
for iter=1:maxIter
% w-update (closed form)
w = (t* h) / (t^2 + eps);
% t-update
t = real(h' * w) / (norm(w)^2 + sigma2);
% check convergence ...
end🔹 案例2、多用户 NOMA SINR 最大化（带功率分配）
问题：多用户 NOMA，提升最低 SINR
maxpminkgkpk∑i<kgkpi+σ2s.t. ∑kpk≤P \max_{p}\min_k \frac{g_k p_k}{\sum_{i<k}g_k p_i+\sigma^2} \quad\text{s.t. } \sum_k p_k \le P pmaxkmin∑i<kgkpi+σ2gkpks.t. k∑pk≤P
QTM 转换 对每个用户kkk引入 tkt_ktk：
maxp,t;mink(2tkgkpk−tk2(∑i<kgkpi+σ2))\max_{p,t}; \min_k \big(2t_k\sqrt{g_kp_k} - t_k^2(\sum_{i<k}g_kp_i+\sigma^2)\big)p,tmax;kmin(2tkgkpk −tk2(i<k∑gkpi+σ2))
迭代时固定 (ppp) 更新 (tkt_ktk)，然后固定 tkt_ktk 求 ppp。
⭐ 案例 3：能效（EE）最大化
🧠 问题描述
maxwR(w)P(w).\max_w\quad \frac{R(w)}{P(w)}.maxwP(w)R(w).
其中
- (R(w))：系统总速率
- (P(w))：发射功率/总功耗
✨ QTM 变换
引入标量 ttt
maxw,t2t,R(w)−t2P(w).\max_{w,t}\quad 2t,R(w) - t^2 P(w).w,tmax2t,R(w)−t2P(w).
每次迭代：
- 对 (w)：求解凸二次/凸优化子问题
- 对 (t)：闭式解 t=R(w)P(w)t=\frac{R(w)}{P(w)}t=P(w)R(w)
代表性期刊与经典参考文献
下面是 QTM 在通信/信号处理领域的核心论文与综述：
📌 Foundational Papers
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Shen, Z.-Q., & Yu, W.
Fractional Programming for Communication Systems --- Part I & II , IEEE Trans. on Wireless Communications, 2020.⭐ 系统介绍分式 & quadratic transform 技巧。
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Shen, C., Yu, W., & Yu, H.
The Quadratic Transform for Distributed Wireless Receiver Design, IEEE Trans. on Signal Processing, 2018.
📌 应用与扩展
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He, S., et al. , Joint Beamforming and IRS Phase Optimization Using QTM, IEEE Trans. on Communications, 2021.
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Yang, L., et al. , Energy Efficiency Optimization via QTM with MIMO/D2D, IEEE JSAC.
📌 相关算法对比
- SCA & MM 综述 ：Scutari, Razaviyayn, et al., Parallel and Distributed Methods for Nonconvex Optimization, IEEE Trans. on Signal Processing.
行业应用与工程价值
QTM 不仅是理论工具，在实际系统设计中也被广泛应用：
✔ 5G/6G 波束成形设计
提高覆盖、减小干扰、优化 SINR/吞吐。
✔ 智能反射面（IRS）优化
将 IRS 相位与发射波束联合优化。
✔ 多接入（NOMA）与 MIMO 系统
对干扰耦合项的高效优化，提高系统容量。
✔ 边缘计算（MEC）资源联合调度
将无线资源与计算资源共同优化，最大化 QoE/能效。
✔ 能效优化与绿色通信
在功耗受限 IoT/无线传感系统中应用 QTM 进行能效最大化。