优选算法【专题三：二分查找算法】

二分查找算法简介

1）二分查找算法的特点：细节最多，最容易写出死循环的算法但是掌握之后就会变成最简单的算法。

2）学习的侧重点：

1）算法原理

2）模板：不要死记硬背，要理解之后再记忆

有三个模板：

1、朴素的二分模板---- 简单模板--有局限性

2、查找左边界的二分模板----万能--细节

3、查找右边界的二分模板----万能--细节

1、二分查找

https://leetcode.cn/problems/binary-search/submissions/682494476/

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) 
    {
        int left = 0,right = nums.size() - 1;
        while(left <= right)
        {
            //求中间点的坐标
            //int mid = (left + right)/2;//不能用这种方法，因为数据量太大时，这样加法会溢出
            //因此，我们要用减法
            int mid = left + (right - left)/2;//防止溢出
            if(nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else if(nums[mid] > target) right = mid - 1;
            else return mid; 
        }
        return -1;//上面没找到就不会返回，就返回-1
    }
};

总结：要注意的细节---

2、34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

这个题需要确定区间的左端点和区间的右端点。

我们先来确定区间左端点。

利用二段性，分为两个区间，小于t和大于等于t

核心思想：

确定右端点：

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) 
    {
        //处理数组为空的情况--处理越界问题
        if(nums.size() == 0) return {-1,-1};

        int begin = 0;
        //1、二分左端点
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(nums[mid] < target) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        //经过循环之后，left和right就相遇了，我们需要先来判断一下这个相遇的位置，因为可能是没有目标值的
        if(nums[left] != target) return{-1,-1};//判断相遇位置的值是不是等于目标值，不等于就是没有
        else begin = left;//否则就是等于的，就需要标记左端点
        //2、二分有端点
        left = 0, right = nums.size() -1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1)/2;
            if(nums[mid] <= target) left = mid;
            else right = mid - 1;
        }
        return {begin, right};
    }
};

模板总结：

3、69.x 的平方根

解法一：暴力解法

从1开始给数平方，直到刚好找到比目标值大的数，那么这个数的前一个数就是要找到的值。

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int mySqrt(int x) 
    {
        if(x < 1) return 0;
        int left = 1,right = x;
        while(left < right)
        {
            long long mid = left+(right-left+1)/2; //用int的话两个数相乘就溢出了。
            if(mid*mid <= x) left = mid;
            else right = mid-1; //下面有-1，上面就有+1
        }
        return left;
    }
};

4、35.搜索插入位置

1）我们要找的是等于目标值的。2）我们要找到插入的位置，插入的位置是第一个大于目标值的

因此我们要找的是大于等于target---首先确定是大于等于t而不是小于等于t-----确定等于是属于哪边的，属于小于的一边就left不要移动超过mid（即left=mid**),属于大于的一边，right就移动不要查过mid（即right=mid) ------- 核心！！！**

所以就是

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) 
    {
        int left = 0, right = nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(nums[mid] < target) left = mid+1;
            else right = mid;
        }
        if (nums[right]< target) return right +1;
        return right;
    }
};

目标值比right位置的大，就是要在他的后面，即right+1，目标值比他小，就是要在这个位置（比这个位置前面的大）

能使用二分算法的时候，有二段性就可以用二分算法。

5、852.山脉数组的峰值索引

这个是用的减法

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) 
    {
        int left = 1,right=arr.size()-2;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1)/2;
            if(arr[mid] >= arr[mid-1]) left = mid;
            else right=mid-1;
        }
        return right;
        
    }
};

这个是用的加法

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) 
    {
        int left = 1,right=arr.size()-2;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(arr[mid + 1] >= arr[mid]) left = mid + 1;
            else right=mid;
        }
        return right;
        
    }
};

6、162.寻找峰值

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) 
    {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if(nums[mid] < nums[mid + 1]) left = mid + 1;
            else right = mid;
        }
        return right;
    }
};

7、153.寻找旋转数组的最小值

最后left和right指针相遇的时候，返回的值就是要的值，也就是通过中点找到的值。

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int findMin(vector<int>& nums) 
    {
        int left = 0,right = nums.size() - 1;
        int n = nums.size();
        while(left < right)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid] > nums[n-1]) left = mid +1;
            else right = mid;
        }
        return nums[right];
    }
};

8、找出0~n-1中缺失的数字

下标相等或不同--找的二段性