2025年3月GESP真题及题解(C++七级): 图上移动
题目描述
小 A 有一张包含 n n n 个结点与 m m m 条边的无向图，结点以 1 , 2 , ... , n 1, 2, \dots, n 1,2,...,n 标号。小 A 会从图上选择一个结点作为起点，每一步移动到某个与当前小 A 所在结点相邻的结点。对于每个结点 i i i （ 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n），小 A 想知道从结点 i i i 出发恰好移动 1 , 2 , ... , k 1, 2, \dots, k 1,2,...,k 步之后，小 A 可能会位于哪些结点。由于满足条件的结点可能有很多，你只需要求出这些结点的数量。
输入格式
第一行，三个正整数 n , m , k n, m, k n,m,k，分别表示无向图的结点数与边数，最多移动的步数。
接下来 m m m 行，每行两个正整数 u i , v i u_i, v_i ui,vi，表示图中的一条连接结点 u i u_i ui 与 v i v_i vi 的无向边。
输出格式
共 n n n 行，第 i i i 行 ( 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n) 包含 k k k 个整数，第 j j j 个整数 ( 1 ≤ j ≤ k 1 \leq j \leq k 1≤j≤k) 表示从结点 i i i 出发恰好移动 j j j 步之后可能位置的结点数量。
输入输出样例 1
输入 1
4 4 3
1 2
1 3
2 3
3 4输出 1
2 4 4
2 4 4
3 3 4
1 3 3说明/提示
对于 20 % 20\% 20% 的测试点，保证 k = 1 k = 1 k=1。
对于另外 20 % 20\% 20% 的测试点，保证 1 ≤ n ≤ 50 , 1 ≤ m ≤ 50 1 \leq n \leq 50, 1 \leq m \leq 50 1≤n≤50,1≤m≤50。
对于所有测试点，保证 1 ≤ n ≤ 500 , 1 ≤ m ≤ 500 , 1 ≤ k ≤ 20 , 1 ≤ u i , v i ≤ n 1 \leq n \leq 500, 1 \leq m \leq 500, 1 \leq k \leq 20, 1 \leq u_i, v_i \leq n 1≤n≤500,1≤m≤500,1≤k≤20,1≤ui,vi≤n。
思路分析
本题要求计算从每个结点出发，恰好移动 1 到 k 步后可能到达的不同结点数量。由于 k 较小（≤20），可以采用动态规划方法对每个起点单独计算。
对于每个起点 s：
- 定义状态
dp[j][v]表示从 s 出发恰好 j 步能否到达结点 v。 - 初始状态：
dp[0][s] = true，其余为 false。 - 状态转移：对于步数 j 从 1 到 k，遍历每条边 (u, v)，若
dp[j-1][u]为 true，则dp[j][v]置为 true；同理，若dp[j-1][v]为 true，则dp[j][u]置为 true。因为是无向图，每条边可以双向行走。 - 最终对于每个 j，统计
dp[j][v]中 true 的数量即为答案。
时间复杂度：共 n 个起点，每个起点进行 k 轮转移，每轮遍历 m 条边，总复杂度 O(n * k * m)，在题目数据范围（n,m ≤ 500, k ≤ 20）下完全可行。
代码实现
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 505; // 最大结点数
const int MAXK = 25; // 最大步数+5
const int MAXM = 505; // 最大边数
bool dp[MAXK][MAXN]; // dp[步数][结点]：从当前起点出发恰好j步能否到达该结点
pair<int, int> edges[MAXM]; // 存储所有边
int main() {
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
// 读入边
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
edges[i] = {u, v}; // 存为pair方便使用
}
// 对每个起点分别计算
for (int start = 1; start <= n; start++) {
// 初始化dp数组为false
memset(dp, 0, sizeof(dp));
// 0步时只能到达起点自身
dp[0][start] = true;
// 动态规划：计算恰好j步的可达性
for (int j = 1; j <= k; j++) {
// 遍历每条边进行转移
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u = edges[i].first, v = edges[i].second;
// 如果上一步能到达u，则这一步可以通过边(u,v)到达v
if (dp[j - 1][u]) {
dp[j][v] = true;
}
// 无向图，反向同理
if (dp[j - 1][v]) {
dp[j][u] = true;
}
}
}
// 输出结果：对于每个步数j，统计可达结点数量
for (int j = 1; j <= k; j++) {
int cnt = 0;
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (dp[j][v]) cnt++;
}
cout << cnt;
if (j < k) cout << " "; // 行内空格分隔
}
cout << endl; // 换行进入下一个起点
}
return 0;
}功能分析
-
输入处理：
- 读取结点数 n、边数 m 和最大步数 k。
- 存储 m 条无向边。
-
核心计算：
- 外层循环遍历每个起点 start（1 到 n）。
- 对每个起点，使用二维布尔数组 dp 记录可达性。
- 动态规划过程模拟了所有可能的移动路径（允许重复访问结点和边）。
- 通过遍历所有边进行状态转移，确保考虑所有可能的移动。
-
输出结果：
- 对每个起点，输出 k 个整数，分别表示移动 1 到 k 步后可能位置的数量。
-
算法特点：
- 利用 k 较小的条件，采用朴素的动态规划即可高效求解。
- 每个起点独立计算，逻辑清晰，易于实现。
- 正确处理无向边和自环（如果存在）的情况。
-
复杂度：
- 时间复杂度：O(n * k * m)，最大为 500 × 20 × 500 = 5 × 10^6，运行速度快。
- 空间复杂度：O(k * n + m)，主要用于存储 dp 数组和边列表。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
}