在高数中求极限是非常重要的一块，求解极限有三板斧：等价无穷小，泰勒公式，洛必达法则。而等价无穷小并不是什么时候都能用的，对于初学者来说一般的结论是：等价无穷小计算只能乘除用，加减不要用。但是实际做题中有些题目在加减时替换能得到正确答案，有些则不能，它什么时候是可以用于加减的？要正确的使用等价无穷小，就得先知道等价无穷小的本质
等价无穷小的本质
等价无穷小的本质就是简化版的泰勒公式！！
通俗解释一下可以用精度来理解，泰勒公式是一个精度很高的测量工具，它无限接近于实际的测量值，所以在任何情况下用它来测量，而等价无穷小是一个精度比较低的测量工具，在要求比较低的情况下它可以简单快捷的得出差不多的结果，但是如果要求高就会出错。
接下来详细介绍一下相关的概念，从数学角度理解等价无穷小的本质。
泰勒公式
泰勒公式本质上就是在一点附近用多项式去拟合函数。多项式的项数越多，泰勒公式也就越接近函数 ，从而可以将函数等价替换为泰勒公式。具体详细原理可以参考这一篇文章：https://smilecoc.blog.csdn.net/article/details/149493211
泰勒公式在 x = 0 x=0 x=0处展开的数学表达式一般形式为:
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) ) \begin{aligned} & f(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+ { \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)} )\end{aligned} f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x))
等价无穷小和泰勒展开式的联系
都是近似，等价无穷小量和泰勒展开的关系是什么呢？我们来看一下相同的函数对应的等价无穷小和泰勒公式：
e x − 1 ∼ x e^x-1\sim x ex−1∼x
而 e x − 1 e^x-1 ex−1的泰勒公式展开为： x + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! + R n ( x ) x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+R_n\left(x\right) x+2!x2+⋯+n!xn+Rn(x)
sin x ∼ x \sin x\sim x sinx∼x
而 s i n x sinx sinx的泰勒公式展开为： x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + R 2 n + 1 ( x ) x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2n+1}\left(x\right) x−3!x3+5!x5−⋯(2n+1)!x2n+1+R2n+1(x)
可以看到，等价无穷小，不过取了泰勒展开式的第一项罢了，所以等价无穷小就是精度较低的泰勒展开。所以能用等价无穷小量去做的题，用泰勒展开一定可以，但反过来未必。
等价无穷小如何使用
等价无穷小虽然是泰勒展开式的简化版，但是如果正确使用的话可以大大简化解题过程。而知道了等价无穷小的原理之后就可以解释一下之前提到的一般情况下使用等价无穷小的条件了：
为什么加减时一般不用等价无穷小量的替换
本质是因为加减可能会导致项的抵消，抵消后，根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似，但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项，对后续的近似无能为力。
来看这一个例题：
求如下极限： lim x → 0 sin x − tan x x 3 \lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{x}-\tan{x}}{x^3}} x→0limx3sinx−tanx
如果直接使用等价无穷小，解题过程如下，会得到错误的结论：
因为 sin x ∼ x , tan x ∼ x \sin x\sim x,\tan x\sim x sinx∼x,tanx∼x，所以有 lim x → 0 sin x − tan x x 3 = lim x → 0 x − x x 3 = 0 \lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{x}-\tan{x}}{x^3}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{x-x}{x^3}}=0 limx→0x3sinx−tanx=limx→0x3x−x=0
而要得到正确的结果，必须使用泰勒公式：
根据泰勒公式，有： sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sinx=x−3!x3+5!x5−⋯(2n+1)!x2n+1,
tan x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + . . . \tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+... tanx=x+31x3+152x5+...
由于分母只是 x x x 的3阶无穷小量，所以我们分子也只需取到 x x x 的3阶即可（3阶以后的无穷小量，除以 x 3 x^3 x3 ,还是无穷小量），即
lim x → 0 sin x − tan x x 3 = lim x → 0 ( x − x 3 3 ! ) − ( x + 1 3 x 3 ) x 3 = − 1 2 \lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{x}-\tan{x}}{x^3}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\left(x-\frac{x^3}{3!}\right)-\left(x+\frac{1}{3}x^3\right)}{x^3}}=-\frac{1}{2} x→0limx3sinx−tanx=x→0limx3(x−3!x3)−(x+31x3)=−21
从例题可以看出，等价无穷小在加减后就遇到了"精度不够用"的问题，在加减中 sin x , tan x \sin x,\tan x sinx,tanx的第一项消去了，但是分母的 x 3 x^3 x3要求用更高阶的无穷小再进行比较，也就是要"精度更高"，但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项，它才不管你的分母是 x x x的几阶无穷小量，消完就没，所以就是0。
而如果例题中的分母改为 x x x，这时候使用等价无穷小加减仍然可以得到正确的结果，因为这时候就只要求到 x x x的一阶无穷小，等价无穷小正好满足要求。或者相加减的两个函数的泰勒展开式的第一项（等价的无穷小量）不会被消去的时候，也可以在加减中使用等价无穷小替换。
为什么乘除时可以用等价无穷小的替换
因为乘除不会消去第一项近似，等价的那个无穷小量（即泰勒展开的第一项）总会在，在就意味着轮不到后面的高阶近似上场。而比较两个无穷小时主要是看大的部分（也就是泰勒展开中的低阶部分）
我们将上面的例子修改一下，然后求解：
lim x → 0 sin x ⋅ tan x x 4 = lim x → 0 ( x − x 3 6 ) ⋅ ( x + x 3 3 ) x 4 = lim x → 0 x 2 + k 1 x 3 + k 2 x 4 + o ( x 4 ) x 4 = ∞ + ∞ + k 2 + 0 = ∞ \lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\sin{x} \cdot \tan{x}}{x^4}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\cdot \left(x+\frac{x^3}{3}\right)}{x^4}} \\[10pt] = \lim\limits_{x\rightarrow0}{\frac{x^2+{k_1x}^3+k_2x^4+o\left(x^4\right)}{x^4}}=\infty+\infty+k_2+0=\infty x→0limx4sinx⋅tanx=x→0limx4(x−6x3)⋅(x+3x3)=x→0limx4x2+k1x3+k2x4+o(x4)=∞+∞+k2+0=∞
这个例子里虽然分母是 x 4 x^4 x4 ,但我管你，我只需看两个泰勒展开的第一项（等价无穷小量）乘积就可以了，因为对无穷小影响较大的就是低价无穷小的部分（也就是数值较大的，俗称抓大头），而等价无穷小和泰勒公式都包含大的部分，得到是 ∞ \infty ∞了。
参考文章：https://www.zhihu.com/question/49541771/answer/951022518
