抽象向量空间
我想重新探讨这个系列第一期视频中的一个看似简单的问题，向量是什么？比如说一个二维向量，从根本上说，它是平面内的一个箭头？而为了方便起见，我们用坐标来描述它。或者说，它是一个实数对？而
我们只是将它形象理解为平面内的一个箭头。又或者，这两种观点只是更深层次的东西的体现？一方面，将向量解释为一组数字给人感觉清晰明了。四维向量或者一百维向量看上去就像可以操作的真实具体的概念。
与之相反，四维空间之类的东西只是一个模糊的几何概念。但是另一方面，对于那些在实践中运用线性代数的人，尤其是熟悉基变换的人来说，他们通常感觉所处理的空间独立于坐标存在。而且坐标描述实际上
有些随意。因为它依赖于你所选择的基向量，线性代数中的核心话题，如行列式和特征向量等。他们似乎不受所选坐标系影响。行列式告诉你的是一个变换对面积的缩放比例。特征向量则是在变换中留在它所张成的
空间中的向量。这两者都是暗含于空间中的性质。你可以自由选取坐标系，这并不会改变他们最根本的值。但是如果向量根本上并不是由一组实数构成，他们的本质其实更具空间性。这不禁让人产生疑问，数学家
所说的空间或空间性是什么意思？为了进一步说说这是怎么回事，这期视频的大部分时间，我会讨论一种既不是箭头也不是一组数字，但是同样具有向量特性的东西。
比如函数，从某种意义上说，函数实际上只是另一种向量。类比两个向量相加的方法，我们也可以将两个函数f和g相加，从而获得一个新函数(f+g)，这种做法是合理的。你可能已经知道它的结果了，但是真的
把它叙述出来还是很拗口的，这个新函数在任意一点处的值，比如说在-4处的值，就是f和g在这一点处(即-4)的值的和。更一般的说，这个和函数在任意一点X处的值(f+g)(x)等于f(x)加上g(x)，这和向量对应坐标
相加非常相似。只不过在某种程度上说，它有无穷多个坐标要相加，类似的，函数与一个实数相乘也有合理的解释，只是把输出的值与那个数相乘。这再次和向量对应坐标数乘类似。只是感觉上有无穷多个坐标
要数乘。
因为对向量所能进行的操作不过相加和数乘两种，所以最初以空间中的箭头为背景考虑的线性代数的合理概念和解决问题的手段，应该能够原封不动的被我们取出来，然后应用于函数。举个例子，函数的线性变换
有一个完全合理的解释。这个变换接收一个函数，并把它变成另一个函数，从微积分中可以找到一个常见的例子------导数。它将一个函数变换到另一个函数，关于这点，有时你听到的是算子而不是变换，不过他们的
意思一样。你自然想问，一个函数变换是线性的是什么意思？相比于我在这个系列第三章视频中讨论的定义方法，线性的严格定义是相当抽象而符号繁重的。但是，抽象性带来的好处是我们能得到一般性的结论。
他不仅适用于箭头，也适用于函数。满足以下两条性质的变换是线性的，这两条性质通常被称为可加性和成比例。可加性意味着如果你把两个向量V和W相加，然后对他们的和应用变换。得到的结果和将变换后的
V与变换后的W相加一致。成比例是说，你将一个向量V与某个数相乘，然后应用变换，得到的结果和变换后的V与这个数相乘一致。你经常会听到的一种描述方法是线性变换保持向量加法运算和数乘运算。
我在前几期视频中讨论过的网格线保持平行且等距分布的概念。只是这两条性质在二维空间这一特殊情况下的体现。这两条性质的一个最重要的推论是，一个线性变换可以通过它对基向量的作用来完全描述，
这使得矩阵向量乘法成为可能。因为任一向量都能表达为基向量以某种方式进行线性组合，所以求一个向量变换后的结果实际上就是求出变换后的基向量以相同方式进行线性组合的结果.........