2024年3月GESP真题及题解(C++八级): 接竹竿
题目描述
小杨同学想用卡牌玩一种叫做"接竹竿"的游戏。
游戏规则是：每张牌上有一个点数 v v v，将给定的牌依次放入一列牌的末端。若放入之前这列牌中已有与这张牌点数相
同的牌，则小杨同学会将这张牌和点数相同的牌之间的所有牌全部取出队列（包括这两张牌本身）。
小杨同学现在有一个长度为 n n n 的卡牌序列 A A A，其中每张牌的点数为 A i A_i Ai（ 1 ≤ i ≤ n 1\le i\le n 1≤i≤n）。小杨同学有 q q q 次询问。第 i i i 次（ 1 ≤ i ≤ q 1\le i\le q 1≤i≤q）询问时，小杨同学会给出 l i , r i l_i,r_i li,ri 小杨同学想知道如果用下标在 [ l i , r i ] [l_i,r_i] [li,ri] 的所有卡牌按照下标顺序玩"接竹竿"的游戏，最后队列中剩余的牌数。
输入格式
一行包含一个正整数 T T T，表示测试数据组数。
对于每组测试数据，第一行包含一个正整数 n n n，表示卡牌序列 A A A 的长度。
第二行包含 n n n 个正整数 A 1 , A 2 , ... , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1,A2,...,An，表示卡牌的点数 A A A。
第三行包含一个正整数 q q q，表示询问次数。
接下来 q q q 行，每行两个正整数 l i , r i l_i,r_i li,ri 表示一组询问。
输出格式
对于每组数据，输出 q q q 行。第 i i i 行（ 1 ≤ i ≤ q 1\le i\le q 1≤i≤q）输出一个非负整数，表示第 i i i 次询问的答案。
输入输出样例 1
输入 1
1
6
1 2 2 3 1 3
4
1 3
1 6
1 5
5 6输出 1
1
1
0
2说明/提示
样例解释
对于第一次询问，小杨同学会按照 1 , 2 , 2 1,2,2 1,2,2 的顺序放置卡牌，在放置最后一张卡牌时，两张点数为 2 2 2 的卡牌会被收走，因此最后队列中只剩余一张点数为 1 1 1 的卡牌。
对于第二次询问，队列变化情况为：
{ } → { 1 } → { 1 , 2 } → { 1 , 2 , 2 } → { 1 } → { 1 , 3 } → { 1 , 3 , 1 } → { } → { 3 } \{\}\to\{1\}\to\{1,2\}\to\{1,2,2\}\to\{1\}\to\{1,3\}\to\{1,3,1\}\to\{\}\to\{3\} {}→{1}→{1,2}→{1,2,2}→{1}→{1,3}→{1,3,1}→{}→{3}。因此最后队列中只剩余一张点数为 3 3 3 的卡牌。
数据范围
| 子任务 | 分数 | T T T | n n n | q q q | max A i \max A_i maxAi | 特殊条件 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 1 1 | 30 30 30 | ≤ 5 \le 5 ≤5 | ≤ 100 \le100 ≤100 | ≤ 100 \le100 ≤100 | ≤ 13 \le13 ≤13 | |
| 2 2 2 | 30 30 30 | ≤ 5 \le 5 ≤5 | ≤ 1.5 × 10 4 \le 1.5\times10^4 ≤1.5×104 | ≤ 1.5 × 10 4 \le 1.5\times10^4 ≤1.5×104 | ≤ 13 \le13 ≤13 | 所有询问的右端点等于 n n n |
| 3 3 3 | 40 40 40 | ≤ 5 \le 5 ≤5 | ≤ 1.5 × 10 4 \le 1.5\times10^4 ≤1.5×104 | ≤ 1.5 × 10 4 \le 1.5\times10^4 ≤1.5×104 | ≤ 13 \le13 ≤13 |
对于全部数据，保证有 1 ≤ T ≤ 5 1\le T\le 5 1≤T≤5， 1 ≤ n ≤ 1.5 × 10 4 1\le n\le 1.5\times 10^4 1≤n≤1.5×104， 1 ≤ q ≤ 1.5 × 10 4 1\le q\le 1.5\times 10^4 1≤q≤1.5×104， 1 ≤ A i ≤ 13 1\le A_i\le 13 1≤Ai≤13。
思路分析
1. 算法思路
这个实现的核心思想是通过跳跃来模拟消除过程，而不是实际模拟栈的操作。关键点如下：
- nxt [ i ] [ 0 ] [i][0] [i][0]: 表示从位置i的牌开始，第一次遇到相同牌的位置
- nxt [ i ] [ j ] [i][j] [i][j] : 表示从位置i开始，经过 2 j 2^j 2j次消除（每次消除包括一对相同牌及其间的所有牌）后到达的位置
- 倍增思想: 通过预计算的跳跃表，可以快速跳过多次消除过程
2. 数据结构设计
a[N]: 存储卡牌序列nxt[N][30]: 倍增表，nxt [ i ] [ j ] [i][j] [i][j]表示从i开始经过2^j次跳跃后的位置p[20]: 记录每种点数（1-13）最近出现的位置
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int nxt[N][30], p[20]; // nxt[i][j]: 从位置i开始，经过2^j次跳跃后到达的位置
// pos[x]: 记录点数x最近出现的位置
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
int n;
cin >> n;
memset(p, 0, sizeof p); // 重置pos数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
// 初始化nxt数组，n+1表示超出边界
for (int j = 0; j <= 20; j++) nxt[i][j] = n + 1;
}
// 预处理：计算nxt[i][0] - 每个位置第一次跳跃的目标
// 从后往前遍历，这样可以找到每个数字下一次出现的位置
for (int i = n; i >= 1; i--) {
if (!p[a[i]]) {
// 当前数字第一次出现（从后往前看），没有下一个相同数字
nxt[i][0] = n + 1; // 设置为n+1表示无法跳跃
p[a[i]] = i; // 记录当前位置
} else {
// 当前数字之前出现过，下一个相同数字的位置是pos[a[i]]
nxt[i][0] = p[a[i]];
p[a[i]] = i; // 更新为当前位置
}
}
// 构建倍增表
for (int i = n; i >= 1; i--) {
for (int j = 1; j <= 20; j++) {
// nxt[i][j] = 从i开始，经过2^j次跳跃后的位置
// 等价于：先跳2^(j-1)次到位置x，再从x+1开始跳2^(j-1)次
if (nxt[i][j - 1] + 1 <= n)
nxt[i][j] = nxt[nxt[i][j - 1] + 1][j - 1];
}
}
// 处理查询
int q;
cin >> q;
while (q--) {
int l, r;
cin >> l >> r;
int c = l; // 当前处理位置
int ans = 0; // 最终剩余的牌数
// 模拟游戏过程
while (c <= r) {
// 阶段1：处理那些不会触发消除的牌
// 如果当前牌的下一个相同牌超出查询区间，那么这张牌会留在队列中
while (c <= r && nxt[c][0] > r) {
c++; // 移动到下一张牌
ans++; // 这张牌会留在队列中
}
if (c > r) break; // 处理完毕
// 阶段2：处理会触发消除的牌
// 使用倍增找到可以跳到的最远位置（在区间内）
for (int j = 20; j >= 0; j--) {
if (nxt[c][j] <= r) {
// 从当前位置ii跳到nxt[ii][j]
// 这表示处理了从ii到nxt[ii][j]的所有牌
c = nxt[c][j];
break;
}
}
c++; // 跳到下一张牌继续处理
}
cout << ans << "\n";
}
}
return 0;
}功能分析
(1) 预处理阶段
cpp
for (int i = n; i >= 1; i--) {
if (!p[a[i]]) {
nxt[i][0] = n + 1; // 没有下一个相同数字
p[a[i]] = i;
} else {
nxt[i][0] = p[a[i]]; // 下一个相同数字的位置
p[a[i]] = i;
}
}- 倒序遍历: 从后往前遍历可以方便地找到每个数字下一次出现的位置
- n+1表示边界: 使用n+1表示"无法跳跃"或"超出范围"
(2) 倍增表构建
cpp
for (int j = 1; j <= 20; j++) {
if (nxt[i][j - 1] + 1 <= n)
nxt[i][j] = nxt[nxt[i][j - 1] + 1][j - 1];
}- 递归关系 : n x t [ i ] [ j ] = n x t [ n x t [ i ] [ j − 1 ] + 1 ] [ j − 1 ] nxt[i][j] = nxt[nxt[i][j-1]+1][j-1] nxt[i][j]=nxt[nxt[i][j−1]+1][j−1]
- 含义 : 从i开始，先进行2 j − 1 ^{j-1} j−1次跳跃到达位置x，然后从x+1开始再进行2 j − 1 ^{j-1} j−1次跳跃
(3) 查询处理
cpp
while (c <= r) {
// 处理不会消除的牌
while (c <= r && nxt[c][0] > r) {
c++; ans++;
}
if (c > r) break;
// 使用倍增跳过消除的牌
for (int j = 20; j >= 0; j--) {
if (nxt[c][j] <= r) {
c = nxt[c][j];
break;
}
}
c++;
}- 不会消除的牌: 如果当前牌的下一个相同牌不在区间内，那么这张牌会保留
- 会消除的牌: 使用倍增找到可以跳到的最远位置，然后跳过这段区间
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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