408真题解析-2010-3-数据结构-线索二叉树

一真题2010-3

2010-03. 下列线索二叉树中（用虚线表示线索），符合后序线索树定义的是（）。

二题目要素解析

核心概念 ：后序线索二叉树

对二叉树进行后序遍历 后，将空的左指针（lchild）改为指向该节点的后序前驱 ，空的右指针（rchild）改为指向该节点的后序后继。
非空的指针仍保留原来的孩子指针含义。

遍历顺序 ：后序遍历顺序为 左子树 → 右子树 → 根节点。

线索特征：

叶子节点的 lchild 和 rchild 都为空，会被全部改为线索。
非叶子节点如果某一方向没有孩子，也会被加上线索。

三哔哔详解

四个选项的二叉树图是一样的，都是下图

复制代码

后序遍历序列 ：d → b → c → a

选项 D

节点 d 左指针为 Null（正确），右指针指向 b（d 的后继是 b，正确）。
节点 b 的左指针指向 d（b 的前驱是 d，正确），右指针指向 c（b 的后继是 c，正确）。
节点 c 的左指针指向 b（c 的前驱是 b，正确），右指针指向 a（c 的后继是 a，正确）。
节点 a 的左指针指向 c（a 的前驱是 c，正确），右指针为 Null（正确）。
所有空指针都正确指向了后序前驱或后继，完全符合定义。

既然D 符合，故排除其与选项。

四参考答案

参考答案 D

五考点精析

5.1 线索二叉树概念

线索二叉树 是对普通二叉树的一种存储优化结构：

将二叉树中空的左/右指针域 ，改为指向该节点在某种遍历序列中的前驱或后继；
这些新添加的指针称为线索（Thread），原指向孩子的指针称为指针（Link）。

📌 目的：

利用空指针空间，避免递归或栈实现遍历；

实现非递归、O(1) 空间的遍历（需配合标志位）。

5.2 线索二叉树基本性质与特征

5.2.1 节点结构

每个节点增加两个布尔标志位（通常为 ltag 和 rtag）：

字段	含义
`lchild`	左孩子指针或前驱线索
`rchild`	右孩子指针或后继线索
`ltag`	0：`lchild` 指向左孩子；1：`lchild` 指向前驱
`rtag`	0：`rchild` 指向右孩子；1：`rchild` 指向后继

💡 若题目图示中未标标志位 ，则通过实线/虚线区分：

实线 = 指针（孩子）；

虚线 = 线索（前驱/后继）。

5.2.2 线索化规则（通用）

遍历类型	左空指针 →	右空指针 →
前序线索化	前驱	后继
中序线索化	前驱	后继
后序线索化	前驱	后继

✅ 统一规律：

左空指针 → 前驱；

右空指针 → 后继；

区别仅在于**"前驱/后继"是哪种遍历下的顺序**。

5.2.3 空指针数量

n 个节点的二叉树有 n+1 个空指针；
线索化后，这些空指针全部被利用，形成双向链表式结构（按遍历顺序）。

5.3 三种线索化对比

类型	遍历顺序	特点	408 考频
前序线索树	根 → 左 → 右	- 根的前驱为空 - 最右叶节点的后继为空	★★
中序线索树	左 → 根 → 右	- 最常用 - 形成有序双向链表（若为二叉排序树）	★★★★
后序线索树	左 → 右 → 根	- 根的后继为空 - 遍历起点为最左叶或最右叶	★★★

⚠️ 难点：后序线索树中，无法从根直接找到遍历起点 ，且后继查找较复杂。

5.4 经典应用场景

1. 高效遍历

中序线索树可实现无需栈/递归的 O(n) 时间、O(1) 空间遍历；
适用于嵌入式系统或内存受限场景。

2. 二叉排序树优化

中序线索化的 BST，可快速找到前驱/后继，用于范围查询、第 k 小等操作。

3. 表达式树求值

前序/后序线索化便于表达式遍历。

5.5 中序线索化二叉树代码

✅ 节点定义

c 复制代码

// 线索二叉树节点结构
typedef struct ThreadNode {
    char data;                  // 数据域（可根据需要改为 int 等）
    struct ThreadNode *lchild, *rchild;  // 左、右指针
    int ltag, rtag;             // 标志位：0 表示指针，1 表示线索
} ThreadNode, *ThreadTree;

📌 标志位含义：

ltag == 0 → lchild 指向左孩子；

ltag == 1 → lchild 指向前驱；

rtag == 0 → rchild 指向右孩子；

rtag == 1 → rchild 指向后继。

✅ 中序线索化主函数

c 复制代码

// 全局变量 pre，用于记录刚刚访问过的节点（即当前节点的前驱）
ThreadNode *pre = NULL;

// 对以 p 为根的二叉树进行中序线索化
void InOrderThreading(ThreadTree &p) {
    if (p != NULL) {
        InThread(p);      // 执行线索化
        pre = NULL;       // 线索化完成后重置 pre（可选，避免影响后续操作）
    }
}

✅ 核心递归线索化函数（带详细注释）

c 复制代码

// 递归进行中序线索化
void InThread(ThreadTree p) {
    if (p == NULL) return;

    // 1. 递归线索化左子树
    InThread(p->lchild);

    // 2. 处理当前节点 p
    if (p->lchild == NULL) {
        // 若左孩子为空，则将 lchild 改为指向前驱（即 pre）
        p->ltag = 1;
        p->lchild = pre;   // 前驱是上一个访问的节点
    }

    if (pre != NULL && pre->rchild == NULL) {
        // 若前驱节点 pre 的右孩子为空，则将其 rchild 改为指向当前节点 p（即后继）
        pre->rtag = 1;
        pre->rchild = p;
    }

    // 3. 更新 pre 为当前节点（为下一次递归做准备）
    pre = p;

    // 4. 递归线索化右子树
    InThread(p->rchild);
}

✅ 使用示例

c 复制代码

int main() {
    ThreadTree root = /* 构建二叉树 */;
    
    // 初始化 pre 为 NULL（也可在 InOrderThreading 内部处理）
    pre = NULL;
    
    // 执行中序线索化
    InOrderThreading(root);

    // 此时 root 指向的树已变为中序线索二叉树
    return 0;
}

🔍 关键逻辑解析

步骤	说明
`InThread(p->lchild)`	先处理左子树（中序：左 → 根 → 右）
`p->lchild = pre`	当前节点左空 → 指向前驱（`pre` 是上一个被访问的节点）
`pre->rchild = p`	前驱节点右空 → 指向当前节点（即其后继）
`pre = p`	更新 `pre`，为下一个节点提供前驱信息

💡 为什么能建立双向线索？

当访问节点 A 时，pre 是 A 的前驱 B；

若 B 的右指针为空，则将其设为指向 A（B 的后继）；

同时，若 A 的左指针为空，则设为指向 B（A 的前驱）；

如此形成 双向链表式线索。

⚠️ 注意事项（408 考点）

pre 必须是全局变量或通过引用传递，否则递归中无法共享状态；
线索化不改变树的逻辑结构，仅利用空指针；
中序线索树的遍历起点 ：最左节点（不断沿 lchild 走，直到 ltag == 1 或为空）；
n 个节点的二叉树有 n+1 个空指针，线索化后全部变为线索。

✅ 中序线索树遍历（补充，常考）

c 复制代码

// 中序遍历线索二叉树（非递归，O(1) 空间）
void InOrderTraverse_Thr(ThreadTree T) {
    ThreadTree p = T;
    if (!p) return;

    // 找到中序遍历的第一个节点（最左节点）
    while (p->ltag == 0) {
        p = p->lchild;
    }

    // 遍历所有节点
    while (p) {
        visit(p);  // 访问当前节点

        if (p->rtag == 1) {
            // 有后继线索，直接跳转
            p = p->rchild;
        } else {
            // 无后继线索，进入右子树，并找其最左节点
            p = p->rchild;
            while (p && p->ltag == 0) {
                p = p->lchild;
            }
        }
    }
}

5. 易错点警示

错误认知	正确认知
"线索可以指向任意节点"	❌ 必须严格按遍历顺序指向前驱/后继
"所有线索树都能 O(1) 找到遍历起点"	❌ 后序线索树不能（需从根开始找最左/最右叶）
"线索化改变树的逻辑结构"	❌ 仅改变存储结构，逻辑不变
"虚线一定是指向后继"	❌ 左虚线 = 前驱，右虚线 = 后继

六考点跟踪

年份	题号	考查内容
2010	第3题	线索二叉树，后序遍历
2013	第5题	线索二叉树，后序遍历
2014	第4题	线索二叉树，中序遍历

说明：本文内容基于公开资料整理，参考了包括但不限于《数据结构》（严蔚敏）、《计算机操作系统》（汤小丹）、《计算机网络》（谢希仁）、《计算机组成原理》（唐朔飞）等国内高校经典教材，以及其他国际权威著作。同时，借鉴了王道、天勤、启航等机构出版的计算机专业考研辅导系列丛书 中的知识体系框架与典型题型分析思路。文中所有观点、例题解析及文字表述均为作者结合自身理解进行的归纳与重述，未直接复制任何出版物原文。内容仅用于学习交流，若有引用不当或疏漏之处，敬请指正。

408真题解析-2010-3-数据结构-线索二叉树

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选项 D

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5.1 线索二叉树概念

5.2 线索二叉树基本性质与特征

5.2.1 节点结构

5.2.2 线索化规则（通用）

5.2.3 空指针数量

5.3 三种线索化对比

5.4 经典应用场景

1. 高效遍历

2. 二叉排序树优化

3. 表达式树求值

5.5 中序线索化二叉树代码

✅ 节点定义

✅ 中序线索化主函数

✅ 核心递归线索化函数（带详细注释）

✅ 使用示例

🔍 关键逻辑解析

⚠️ 注意事项（408 考点）

✅ 中序线索树遍历（补充，常考）

5. 易错点警示

六 考点跟踪

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