本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 叉积 的学习笔记。在3B1B中叉积被赋予了全新的几何与代数视角，揭示了叉积背后的本质。
1、叉积的传统意义
1.1 定义
在三维空间中，给定两个向量 v⃗\vec{v}v 和 w⃗\vec{w}w ，它们的叉积是一个新的向量 v⃗×w⃗\vec{v} \times \vec{w}v ×w
v=v1v2v3,w=w1w2w3 v=\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}, w=\begin{bmatrix} w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} v=v1v2v3,w=w1w2w3
它们的叉积定义为：v⃗×w⃗=(v2w3−v3w2,v3w1−v1w3,v1w2−v2w1)\vec{v} \times \vec{w}=(v_2 w_3−v_3w_2,v_3w_1 −v_1w_3,v_1w_2−v_2w_1)v ×w =(v2w3−v3w2,v3w1−v1w3,v1w2−v2w1)
行列式表示：
v⃗=v1v2v3,w⃗=w1w2w3 \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix},\quad \vec{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} v = v1v2v3 ,w = w1w2w3
则
v⃗×w⃗=∣i^j^k^v1v2v3w1w2w3∣ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} v ×w = i^v1w1j^v2w2k^v3w3
1.2 几何意义
- 方向： 垂直于 vvv 和 www 所在的平面，遵循右手定则
- 模长：
∥v⃗×w⃗∥=∥v⃗∥∥w⃗∥sinθ \|\vec{v} \times \vec{w}\| = \|\vec{v}\| \|\vec{w}\| \sin\theta ∥v ×w ∥=∥v ∥∥w ∥sinθ
其中 θθθ是两向量夹角。模长等于以vvv 和 www 为邻边的平行四边形面积。
若 vvv 和 www 共线，则vvv × www = 0
2、在3B1B中 叉积的本质
两个向量 v⃗\vec{v}v 和 w⃗\vec{w}w ，衡量一个任意第三向量 u⃗\vec{u}u 相对于由 v⃗\vec{v}v 和 w⃗\vec{w}w 张成的平面的"朝向程度"。具体来说，可以定义一个函数：
f(u⃗)=以 u⃗,v⃗,w⃗ 为边的平行六面体的有向体积 f(\vec{u}) = \text{以 } \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \text{ 为边的平行六面体的有向体积} f(u )=以 u ,v ,w 为边的平行六面体的有向体积
可以表示为：
f(u⃗)=u⃗⋅(v⃗×w⃗) f(\vec{u}) = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) f(u )=u ⋅(v ×w )
f(u⃗)f(\vec{u})f(u ) 是一个关于 u⃗\vec{u}u 的线性函数。
在线性代数中，任何从 R3→R\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}R3→R 的线性函数，都可以表示为与某个固定向量的点积。
因此，存在一个唯一的向量 p⃗\vec{p}p ，使得：
f(u⃗)=u⃗⋅p⃗ f(\vec{u}) = \vec{u} \cdot \vec{p} f(u )=u ⋅p
而这个神秘的向量 p⃗\vec{p}p ，就是 v⃗×w⃗\vec{v} \times \vec{w}v ×w ！
通过上述推导，v⃗×w⃗\vec{v} \times \vec{w}v ×w 是这样一个向量：当用任意 u⃗\vec{u}u 去点乘它时，结果正好是以 u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}u ,v ,w 为边的平行六面体的有向体积。