题解：有效的正方形

题目分析

题目描述

给定二维空间中四个点的坐标 p1, p2, p3, p4（坐标无固定顺序），判断这四个点能否构成一个有效的正方形。有效正方形需满足核心条件：四条边长度相等，四个内角均为90度直角。

核心难点

输入的四个点无固定顺序，无法直接按"边的顺序"判断；
直接计算两点间距离会引入浮点数精度误差（如√2是无理数，开平方后无法精确表示）；
需排除特殊无效情况（如四点重合、三点共线、仅三条边相等但对角线不满足直角条件等）。

关键数学性质（正方形的充要条件）

对于无顺序的四个点，若能构成正方形，则其所有两两组合的距离（共 C(4,2)=6 组）满足：

最小距离不为0（排除重合点）；
6个距离中仅包含两种数值：
- 较小值（边长）出现4次（对应正方形的四条边）；
- 较大值（对角线）出现2次（对应正方形的两条对角线）；
对角线长度的平方 = 2 × 边长长度的平方（由勾股定理推导，直角三角形斜边平方等于两直角边平方和）。

解题思路

基于上述数学性质，核心思路是用距离平方替代实际距离（规避浮点数精度误差），通过统计6组两两距离平方的特征完成判断：

定义辅助函数，计算两点间距离的平方（避免开平方操作）；
遍历四个点的所有两两组合，计算6组距离平方并存储；
对距离平方数组排序，便于快速验证特征：
- 排序后前4个元素为"边长平方"，后2个为"对角线平方"；
- 验证核心条件：最小距离平方≠0、前4个值相等、后2个值相等、对角线平方=2×边长平方。

代码实现（带详细注释）

cpp 复制代码

#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

class Solution {
public:
    // 辅助函数：计算两点间距离的平方（避免浮点数精度误差）
    long long get_distance(vector<int>& p1, vector<int>& p2) {
        // 用long long避免int溢出（坐标差值的平方可能超出int范围）
        long long dx = p1[0] - p2[0]; // x轴坐标差值
        long long dy = p1[1] - p2[1]; // y轴坐标差值
        return dx * dx + dy * dy;     // 距离平方公式：(x1-x2)² + (y1-y2)²
    }

    bool validSquare(vector<int>& p1, vector<int>& p2, vector<int>& p3, vector<int>& p4) {
        // 将四个点存入数组，方便遍历所有两两组合
        vector<vector<int>> points = {p1, p2, p3, p4};
        // 存储6组两两距离的平方
        vector<long long> distance_squares;

        // 遍历所有两两组合（i<j避免重复计算），共C(4,2)=6组
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            for (int j = i + 1; j < 4; ++j) {
                distance_squares.push_back(get_distance(points[i], points[j]));
            }
        }

        // 排序后：前4个为边长平方，后2个为对角线平方
        sort(distance_squares.begin(), distance_squares.end());

        // 核心判断逻辑：逐一验证正方形的数学特征
        return distance_squares[0] != 0          // 条件1：无重合点（最小距离不为0）
               && distance_squares[0] == distance_squares[1]  // 条件2：前4个边长平方相等
               && distance_squares[1] == distance_squares[2]
               && distance_squares[2] == distance_squares[3]
               && distance_squares[4] == distance_squares[5]  // 条件3：两个对角线平方相等
               && 2 * distance_squares[0] == distance_squares[4]; // 条件4：对角线平方=2×边长平方
    }
};

代码关键解释

辅助函数 get_distance：
- 核心作用：计算两点间距离的平方，彻底避免开平方操作带来的浮点数精度问题；
- 数据类型选择：使用long long而非int，防止坐标差值较大时（如差值为1e4），平方运算超出int的取值范围导致溢出。
遍历两两组合：
- 采用i < j的双层循环，确保每个点对只计算一次，最终得到6组距离平方（对应4个点的所有两两组合），无重复、无遗漏。
排序与条件判断：
- 排序后数组的前4个元素对应正方形四条边的平方，后2个对应两条对角线的平方，通过连续的相等判断可快速验证"四边相等、对角线相等"；
- 最后验证"对角线平方=2×边长平方"，确保四个角为90度，排除"菱形（四边相等但非直角）"的无效情况。

复杂度分析

时间复杂度 ：O(1)。

四个点的两两组合固定为6组，计算距离平方的操作是常数级；排序6个元素的时间复杂度为常数（排序固定数量的元素无渐近复杂度），因此整体时间复杂度为O(1)。
空间复杂度 ：O(1)。

仅使用固定大小的数组存储4个点和6个距离平方，无动态扩容的空间开销，空间复杂度为常数级。

测试用例验证

输入点坐标	输出	说明
$0,0$ , $1,1$ , $1,0$ , $0,1$	true	标准正方形
$0,0$ , $0,0$ , $0,0$ , $0,0$	false	四点重合
$0,0$ , $1,2$ , $3,1$ , $2,-1$	false	菱形（边长相等但非直角）
$1,0$ , $-1,0$ , $0,1$ , $0,-1$	true	以原点为中心的正方形

总结

核心技巧：用距离平方替代实际距离，彻底规避浮点数精度误差，是解决几何距离判定问题的常用手段；
判定逻辑：通过排序后统计距离平方的分布特征，精准匹配正方形的数学性质，覆盖所有边界情况；
算法优势：时间/空间复杂度均为常数级，逻辑简洁、执行高效，是该问题的最优解法。