利用MATLAB计算梁单元刚度矩阵并组装成总体刚度矩阵

1. 梁单元刚度矩阵计算

梁单元刚度矩阵描述了单元在局部坐标系下的力学特性，其通用形式为：

其中 EEE为弹性模量，III为惯性矩，LLL为单元长度。

MATLAB实现代码：

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function k = beam_stiffness(E, I, L)
    k = (E*I/L^3) * [12, 6*L, -12, 6*L;
                    6*L, 4*L^2, -6*L, 2*L^2;
                    -12, -6*L, 12, -6*L;
                    6*L, 2*L^2, -6*L, 4*L^2];
end

2. 总体刚度矩阵组装

总体刚度矩阵通过叠加各单元刚度矩阵得到。假设结构有 N个节点，每个节点有3个自由度（ux, uy, θz），则总体刚度矩阵维度为 3N×3N。

组装步骤：

初始化全局矩阵 ：K = zeros(3*N, 3*N);
遍历每个单元 ：
- 确定单元节点全局编号（如节点 i和 j）。
- 计算单元刚度矩阵 ke。
- 将 ke的元素叠加到全局矩阵对应位置。

MATLAB实现代码：

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% 示例：两单元梁结构（节点1-2-3）
E = 210e9; % 弹性模量 (Pa)
I = 5e-6;  % 惯性矩 (m^4)
L1 = 2;    % 单元1长度
L2 = 3;    % 单元2长度

% 计算单元刚度矩阵
k1 = beam_stiffness(E, I, L1);
k2 = beam_stiffness(E, I, L2);

% 总体刚度矩阵组装
N_nodes = 3; % 总节点数
K = zeros(3*N_nodes, 3*N_nodes);

% 定义单元自由度映射
def_map = @(i, j) [3*i-2:3*i, 3*j-2:3*j];

% 组装单元1（节点1-2）
K(def_map(1,2), def_map(1,2)) = K(def_map(1,2), def_map(1,2)) + k1;

% 组装单元2（节点2-3）
K(def_map(2,3), def_map(2,3)) = K(def_map(2,3), def_map(2,3)) + k2;

disp('总体刚度矩阵:');
disp(K);

3. 边界条件处理

对固定节点（如节点1全约束），需修改全局刚度矩阵：

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% 固定节点1的所有自由度
fixed_dofs = [1,2,3]; % 节点1的3个自由度
free_dofs = setdiff(1:3*N_nodes, fixed_dofs);

% 矩阵缩聚
K_reduced = K(free_dofs, free_dofs);

4. 求解位移与支反力

施加荷载后求解位移：

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% 示例荷载（节点3受集中力）
F = zeros(3*N_nodes, 1);
F(3 * 3-2) = 1000; % 节点3的x方向力

% 求解位移
U = K_reduced \ F(free_dofs);

% 扩展位移结果到全节点
U_full = zeros(3*N_nodes, 1);
U_full(free_dofs) = U;

% 计算支反力
F_reactions = K * U_full - F;

5. 完整代码示例

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% 参数定义
E = 210e9; % 弹性模量 (Pa)
I = 5e-6;  % 惯性矩 (m^4)
nodes = [0,0; 2,0; 5,0]; % 节点坐标 (x,y)
elements = [1,2; 2,3];   % 单元连接关系

% 初始化全局刚度矩阵
N_nodes = size(nodes, 1);
K = zeros(3*N_nodes, 3*N_nodes);

% 遍历单元并组装
for e = 1:size(elements, 1)
    i = elements(e,1); j = elements(e,2);
    L = norm(nodes(j,:) - nodes(i,:));
    k_e = beam_stiffness(E, I, L);
    K(def_map(i,j), def_map(i,j)) = K(def_map(i,j), def_map(i,j)) + k_e;
end

% 边界条件（固定节点1）
fixed_dofs = [1,2,3];
free_dofs = setdiff(1:3*N_nodes, fixed_dofs);
K_reduced = K(free_dofs, free_dofs);

% 施加荷载（节点3受集中力）
F = zeros(3*N_nodes, 1);
F(3 * 3-2) = 1000; % 节点3的x方向力

% 求解位移
U = K_reduced \ F(free_dofs);
U_full = zeros(3*N_nodes, 1);
U_full(free_dofs) = U;

% 输出结果
disp('节点位移:');
disp(U_full);
disp('支反力:');
disp(K * U_full - F);

参考代码利用MATLAB计算梁单元刚度矩阵，并组装成总体刚度矩阵 www.youwenfan.com/contentcsq/54607.html

关键点说明

自由度映射：每个节点有3个自由度（x位移、y位移、转角），需正确映射到全局矩阵。
矩阵稀疏性 ：实际工程中建议使用稀疏矩阵存储（sparse函数）以提高效率。
单元方向：若梁单元方向与全局坐标系不一致，需通过坐标转换矩阵调整刚度矩阵。