图的相关知识点总结

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📊 一、图的基本概念

1. 图的定义

• 图由顶点集V 和边集E组成，记为 G=(V,E)。

• 顶点数 ∣V∣称为图的阶，边数记为 ∣E∣。

• 图比线性表（一对一）和树（一对多）更复杂，元素间是多对多关系。

2. 有向图与无向图

• 无向图：边无方向，可视为双向的有向图。

• 有向图：边有方向，需区分入度和出度。

3. 简单图与多重图

• 简单图：无自环（顶点到自身的边）和重边（重复边）。

• 多重图：允许自环或重边。

4. 稠密图与稀疏图

• 边数 e<nlogn时为稀疏图 ，反之为稠密图。

5. 顶点的度

• 无向图：度 = 入度 = 出度，即 deg(v)=indeg(v)=outdeg(v)。

• 有向图：度 = 入度 + 出度。

6. 路径与回路

• 路径：顶点序列 (vi​,vp1​,...,vj​)。

• 简单路径：顶点不重复。

• 回路：起点与终点相同的路径。

7. 路径长度

• 无权图：路径长度为边数。

• 带权图（网络）：路径长度为边权之和。

8. 子图与生成子图

• 子图：从原图中选取部分顶点和边。

• 生成子图：包含原图所有顶点的子图。

9. 连通图与连通分量

• 连通图：任意两点间有路径。

• 连通分量：无向图中的极大连通子图。

• 若边数 < n−1，则图必不连通。

10. 生成树

• 包含所有顶点的极小连通子图，边数为 n−1。

• 删除任一边会破坏连通性，添加任一边会形成环。

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🗂️ 二、图的存储与遍历

1. 存储方式

• 邻接矩阵：二维数组存储边权，空间复杂度 O(n2)，适合稠密图。

• 邻接表（vector数组/链式前向星）：存储每个顶点的邻接点，空间复杂度 O(n+m)，适合稀疏图。

2. 遍历算法

• DFS（深度优先搜索）：递归或栈实现，一条路径深入到底。

• BFS（广度优先搜索）：队列实现，按层遍历。

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🌳 三、最小生成树（MST）

1. Prim算法

• 贪心策略：从任意顶点开始，每次添加距离当前树最近的顶点。

• 适合稠密图，时间复杂度 O(n2)或 O(mlogn)（堆优化）。

2. Kruskal算法

• 贪心策略：按边权排序，每次选择不形成环的最小边。

• 适合稀疏图，时间复杂度 O(mlogm)，需用并查集判环。

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🔁 四、拓扑排序

• 适用条件：有向无环图（DAG）。

• AOV网：顶点表示活动，边表示依赖关系。

• 算法流程：

  1. 入度为0的顶点入队。

  2. 出队并删除其出边，更新邻接点入度。

  3. 重复直至队列空。

• 若未处理所有顶点，说明存在环。

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🛣️ 五、最短路径

1. Dijkstra算法

• 贪心策略：适用于非负权图。

• 每次选择未确定最短路径中距离起点最近的点，更新邻接点。

• 时间复杂度：O(n2)或 O(mlogn)（堆优化）。

2. Bellman-Ford算法

• 动态规划思想：松弛所有边 n−1轮。

• 可处理负权边，判断负环（第 n轮仍可松弛则存在负环）。

• 时间复杂度 O(nm)。

3. SPFA算法

• 队列优化BF算法：仅对可能松弛的点操作。

• 最坏时间复杂度 O(nm)，平均效率较高。

4. Floyd算法

• 动态规划：求任意两点间最短路径。

• 状态转移：fkij=min(fk−1ij,fk−1ik+fk−1kj)。

• 时间复杂度 O(n3)，适合稠密图。

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💡 核心总结

• 图的结构灵活，可建模复杂关系。

• 存储与遍历是基础，DFS/BFS需熟练掌握。

• 最小生成树 与最短路径是经典问题，需根据图特性选择算法。

• 拓扑排序 用于DAG的依赖解析，负环判断是关键难点。

• 实际应用中需结合问题规模、边权正负、稠密性等因素选择算法。