📊 一、图的基本概念
1. 图的定义
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图由顶点集V 和边集E组成，记为 G=(V,E)。
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顶点数 ∣V∣称为图的阶，边数记为 ∣E∣。
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图比线性表（一对一）和树（一对多）更复杂，元素间是多对多关系。
2. 有向图与无向图
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无向图：边无方向，可视为双向的有向图。
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有向图：边有方向，需区分入度和出度。
3. 简单图与多重图
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简单图：无自环（顶点到自身的边）和重边（重复边）。
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多重图：允许自环或重边。
4. 稠密图与稀疏图
- 边数 e<nlogn时为稀疏图 ，反之为稠密图。
5. 顶点的度
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无向图：度 = 入度 = 出度，即 deg(v)=indeg(v)=outdeg(v)。
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有向图：度 = 入度 + 出度。
6. 路径与回路
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路径：顶点序列 (vi,vp1,...,vj)。
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简单路径：顶点不重复。
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回路：起点与终点相同的路径。
7. 路径长度
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无权图：路径长度为边数。
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带权图（网络）：路径长度为边权之和。
8. 子图与生成子图
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子图：从原图中选取部分顶点和边。
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生成子图：包含原图所有顶点的子图。
9. 连通图与连通分量
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连通图：任意两点间有路径。
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连通分量：无向图中的极大连通子图。
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若边数 < n−1，则图必不连通。
10. 生成树
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包含所有顶点的极小连通子图，边数为 n−1。
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删除任一边会破坏连通性，添加任一边会形成环。
🗂️ 二、图的存储与遍历
1. 存储方式
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邻接矩阵：二维数组存储边权，空间复杂度 O(n2)，适合稠密图。
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邻接表（vector数组/链式前向星）：存储每个顶点的邻接点，空间复杂度 O(n+m)，适合稀疏图。
2. 遍历算法
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DFS（深度优先搜索）：递归或栈实现，一条路径深入到底。
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BFS（广度优先搜索）：队列实现，按层遍历。
🌳 三、最小生成树（MST）
1. Prim算法
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贪心策略：从任意顶点开始，每次添加距离当前树最近的顶点。
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适合稠密图，时间复杂度 O(n2)或 O(mlogn)（堆优化）。
2. Kruskal算法
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贪心策略：按边权排序，每次选择不形成环的最小边。
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适合稀疏图，时间复杂度 O(mlogm)，需用并查集判环。
🔁 四、拓扑排序
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适用条件：有向无环图（DAG）。
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AOV网：顶点表示活动，边表示依赖关系。
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算法流程：
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入度为0的顶点入队。
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出队并删除其出边，更新邻接点入度。
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重复直至队列空。
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若未处理所有顶点，说明存在环。
🛣️ 五、最短路径
1. Dijkstra算法
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贪心策略：适用于非负权图。
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每次选择未确定最短路径中距离起点最近的点，更新邻接点。
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时间复杂度：O(n2)或 O(mlogn)（堆优化）。
2. Bellman-Ford算法
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动态规划思想：松弛所有边 n−1轮。
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可处理负权边，判断负环（第 n轮仍可松弛则存在负环）。
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时间复杂度 O(nm)。
3. SPFA算法
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队列优化BF算法：仅对可能松弛的点操作。
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最坏时间复杂度 O(nm)，平均效率较高。
4. Floyd算法
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动态规划：求任意两点间最短路径。
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状态转移：f[k][i][j]=min(f[k−1][i][j],f[k−1][i][k]+f[k−1][k][j])。
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时间复杂度 O(n3)，适合稠密图。
💡 核心总结
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图的结构灵活，可建模复杂关系。
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存储与遍历是基础，DFS/BFS需熟练掌握。
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最小生成树 与最短路径是经典问题，需根据图特性选择算法。
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拓扑排序 用于DAG的依赖解析，负环判断是关键难点。
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实际应用中需结合问题规模、边权正负、稠密性等因素选择算法。