弧长参数化（也叫自然参数化 ）是曲线论中核心的参数化方式，将曲线的参数定义为从曲线某定点出发的弧长，记为参数 s。这种参数化消除了普通参数（如 t）的 "速率" 影响，让曲线的几何性质（如曲率、挠率）表达更简洁、更具几何意义，是 CAD/BIM 几何建模、运动轨迹分析、数值计算等领域的重要基础。
一、核心定义
1. 普通参数曲线的弧长
设空间曲线的普通参数方程 为 r(t)=(x(t),y(t),z(t))（平面曲线为 z(t)=0），t∈[a,b]，且 r′(t) 连续、非零（正则曲线），则从 t=t0 到 t=t 的弧长定义为：
s(t)=∫t0t∥r′(τ)∥dτ
其中 ∥r′(τ)∥=x′(τ)2+y′(τ)2+z′(τ)2 是曲线的切向量的模长 （也叫速率，对应参数 t 变化时的曲线移动速度）。
2. 弧长参数化的定义
若能将曲线表示为以弧长为参数的形式 r(s)，满足：
- 参数 s 是从曲线定点 r(0) 出发的弧长；
- 对任意 s1<s2，有 ∫s1s2∥r′(σ)∥dσ=s2−s1。
则称 r(s) 为曲线的弧长参数化方程 ，此时曲线为弧长参数化曲线（自然参数曲线）。
3. 核心性质（弧长参数的充要条件）
曲线 r(s) 以弧长 s 为参数的充要条件 是其切向量的模长为 1，即：
∥r′(s)∥=∥r˙(s)∥=1
（约定：弧长参数的导数用点号 ˙ 表示，普通参数用撇号 ′ 表示）
证明：由弧长定义，s(t)=∫t0t∥r′(τ)∥dτ，对 t 求导得 dtds=∥r′(t)∥。若 t=s（弧长参数），则 dsds=1=∥r′(s)∥，证毕。
这一性质是弧长参数化的核心，也是其几何意义的体现：切向量为单位向量，参数 s 的增量直接对应曲线的弧长增量。
二、弧长参数化的求解步骤
对任意正则普通参数曲线 r(t)，求解其弧长参数化的核心是求弧长函数的反函数，步骤如下（平面 / 空间曲线通用）：
步骤 1：验证曲线正则性
确保 r′(t)=0 对所有 t 成立，即切向量非零（否则弧长积分无意义，非正则点需单独处理）。
步骤 2：计算切向量的模长
求导得 r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t))，计算模长：
∥r′(t)∥=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2
步骤 3：计算弧长函数 s(t)
选取定点参数 t0（通常取 t0=0，对应弧长起点 s=0），计算定积分：
s(t)=∫t0t∥r′(τ)∥dτ
步骤 4：求反函数 t=t(s)
将弧长函数 s=s(t) 反解，得到 t 关于 s 的表达式（关键步骤，仅部分曲线能显式反解，无法显式反解时需用数值方法）。
步骤 5：代入原方程得到弧长参数化
将 t=t(s) 代入 r(t)，得到 r(s)=r(t(s))，即为弧长参数化方程。
特例：能显式弧长参数化的曲线
只有少数简单曲线能通过上述步骤得到显式的弧长参数化，常见的有：
- 直线；2. 圆 / 圆弧；3. 螺旋线；复杂曲线（如贝塞尔曲线、B 样条曲线、NURBS 曲线，CAD/BIM 核心曲线）无法显式弧长参数化 ，需用数值逼近（如牛顿迭代、分段线性逼近、样条插值）实现近似弧长参数化。
三、经典示例（显式求解）
示例 1：平面直线的弧长参数化
设直线过点 (x0,y0)，方向向量为单位向量 e=(a,b)（a2+b2=1），普通参数方程：
r(t)=(x0+at,y0+bt),t∈R
- 切向量：r′(t)=(a,b)，模长 ∥r′(t)∥=1；
- 弧长函数（取 t0=0）：s(t)=∫0t1dτ=t；
- 反函数：t=s；
- 弧长参数化：r(s)=(x0+as,y0+bs)。