20260130树上差分总结

数列差分

定义c[i]=a[i]-a[i-1]，特殊的c[1]=a[1]，c[n+1]=-a[n]。

常用性质

c[1]+...+c[n+1]的和为0。
c[i]求前缀和会得出原始数组。
把原数组从 l 到 r 都加val，那么差分数组相当于c[l]+=val，c[r+1]-=val。

树上差分

点差分

设将树上两点A，B两点的简单路径上的点都加val。

将A到B的路径拆为A到LCA和B到LCA。
将A到LCA的路径看作一个数列，区间加val等价于c[A]+=val，c[fa[LCA]]-=val。
同理，c[B]+=val，c[LCA]-=val。

边差分

相当于把边权放到连接的儿子节点上，那么就转换成c[A]+=val，c[B]+=val，c[LCA]-=val*2。

典型例题

P3128 [USACO15DEC] Max Flow P

板板板。

首先把LCA预处理出来，然后点差分，最后用一次dfs前缀和，求最大值输出完事。

cpp 复制代码

int ans;
void dfs1(int x,int fa){
	for(int i=0;i<E[x].size();i++){
		int v=E[x][i];
		if(v==fa)continue;
		dfs1(v,x);
		c[x]+=c[v];
	}
	ans=max(ans,c[x]);
}
int main(){
	while(k--){
		int x,y;//输入要树上差分的两个结点
		cin>>x>>y;
		int lca=LCA(x,y);//求出LCA
		c[x]++;//差分
		c[y]++;
		c[lca]--;
		c[fc[0][lca]]--;
	}
	dfs1(1,0);//前缀和
	cout<<ans;
	return 0;
}

P3258 [JLOI2014] 松鼠的新家

典型的一道树上差分的题，首先把LCA预处理出来，然后在a数组里找到每个两两相邻的点作树上差分，差分完求前缀和，最后因为枚举相邻点时中间节点会多放一个，且最后一个节点已经到了厨房会多放一个，所以前缀和完了后这几个节点都要减1。

cpp 复制代码

void dfs1(int x,int fa){//将差分数组前缀和，得出原本的数组 
	for(int i=0;i<E[x].size();i++){
		int v=E[x][i];
		if(v==fa)continue;
		dfs1(v,x);
		c[x]+=c[v];
	}
}
int main(){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		int x=a[i-1],y=a[i];//将每两个相邻的点做一次树上差分
		int lca=LCA(x,y);
		c[x]++;
		c[y]++;
		c[lca]--;//点差分
		c[fc[0][lca]]--;
	}
	dfs1(1,0);
	for(int i=2;i<=n;i++){//减1大法
		c[a[i]]--;
	}
}

U143800 暗之连锁

题意：Duck 是人类内心的黑暗的产物，今古外中的勇者们都试图打倒它。

放错了：给定n个点的树有n-1条主要边，还有m条附加边，要求删除1条主要边和1条附加边，使得不连通，求方案数。

对于一条主要边(树边)，若其不在环上，则第二条边随便删，共m种方法。
一条主要边恰好在一条环上，则第二条边选择唯一，贡献一种方法。
否则一条主要边在两条环以上删一条不够，贡献为0。

那么问题就转化成统计主要边在多少个环上，对于一条附加边(x,y)，添加后会在树上x到y的主要边路径形成环，那么问题又变成了路径覆盖问题，考虑边差分。

cpp 复制代码

void dfs1(int x,int fa){
	for(int i=0;i<E[x].size();i++){
		int v=E[x][i];
		if(v==fa)continue;
		dfs1(v,x);
		c[x]+=c[v];
	}
}
int main(){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		int lca=LCA(x,y);
		c[x]++;
		c[y]++;
		c[lca]-=2;//边差分
	}
	dfs1(1,0);//前缀和
	int ans=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){//边差分，不算根节点
		if(c[i]==0){//没在任一环上
			ans+=m;
		}
		if(c[i]==1){//恰好在一环上
			ans++;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}