文章目录
- [1. 一维前缀和（DP34）](#1. 一维前缀和（DP34）)
- [2. 二维前缀和（DP35）](#2. 二维前缀和（DP35）)
- [3. 寻找数组的中心下标（LC724）](#3. 寻找数组的中心下标（LC724）)
- [4. 除自身以外数组的乘积（LC238）](#4. 除自身以外数组的乘积（LC238）)
- [5. 和为K的子数组（LC560）](#5. 和为K的子数组（LC560）)
前缀和可以快速计算数组内某一连续区间的和，时间复杂度O(1)，是简化版的动态规划
1. 一维前缀和（DP34）
题目描述
解题思路
- 预处理前缀和数组（
dp[]）dp[i]表示从1到i所有元素的和，dp[i] = dp[i-1] + nums[i]
- 利用
dp[]数组返回结果[l,r]对应的和就是dp[r] - dp[l-1]
代码实现
java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
//读取数据
int n = in.nextInt();
int m = in.nextInt();
int[] arr = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++)
arr[i] = in.nextInt();
//主逻辑
long[] dp = new long[n + 1];
for(int i = 1;i <= n;i++)
dp[i] = dp[i-1]+arr[i];
for(int i = 0 ; i < m ; i++){
int l = in.nextInt();
int r = in.nextInt();
System.out.println(dp[r]-dp[l-1]);
}
}
}2. 二维前缀和（DP35）
题目描述
解题思路
- 预处理二维数组
dp[][]dp[i][j]表示arr[i][j]前所有元素之和。dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]+ arr[i][j] - dp[i-i][j-1]
- 利用前缀和数组返回结果：(x1,y1)(x2,y2)之间元素之和为 dp[x2][y2] - dp[x2][y1 - 1] - dp[x1 -1 ][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1]
代码实现
java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
//输入
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt();
int m = in.nextInt();
int q = in.nextInt();
int[][] arr = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++ ) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
arr[i][j] = in.nextInt();
}
}
//前缀和
long[][] dp = new long[n + 1][m + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++ ) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] + arr[i][j] - dp[i - 1][j - 1];
}
}
//查询
for(int i =0;i<q;i++){
int x1 = in.nextInt();
int y1 = in.nextInt();
int x2 = in.nextInt();
int y2 = in.nextInt();
long result = dp[x2][y2]-dp[x2][y1-1]-dp[x1-1][y2]+dp[x1-1][y1-1];
System.out.println(result);
}
}
}3. 寻找数组的中心下标（LC724）
题目描述
解题思路
- 预处理两个数组：
f[i]表示i之前所有元素的和，不包括i。f[i] = f[i-1]+nums[i-1]g[i]表示i之后所有元素的和，不包括i。g[i] = g[i+1]+nums[i+1]
- 枚举所有中心下标，判断
f[i]==g[i]
注意：
- 初始化：为了防止越界，
f[0]，g[0]要置为0，Java初始化的数组全部为0，这一步省略。 - 填表顺序：
f[i]从左向右；g[i]从右向左
代码实现
java
public int pivotIndex(int[] nums) {
int n = nums.length;
int[] f = new int[n];
int[] g = new int[n];
for(int i = 1;i<n;i++)
f[i] = f[i-1] + nums[i-1];
for(int i = n - 2;i >= 0;i--)
g[i] = g[i+1] + nums[i+1];
for(int i = 0;i < n;i++)
if(f[i]==g[i])
return i;
return -1;
}4. 除自身以外数组的乘积（LC238）
题目描述
解题思路
- 与上题思想类似，把和改为乘积
f[i]表示i之前所有元素的积，不包括i。f[i] = f[i-1]*nums[i-1]g[i]表示i之后所有元素的积，不包括i。g[i] = g[i+1]*nums[i+1]
- 依次放入数组中，
ret[i] = f[i]*g[i]
注意： - 初始化：为了防止越界，
f[0]，g[0]要手动置为1。 - 填表顺序：
f[i]从左向右；g[i]从右向左
代码实现
java
public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
int n = nums.length;
int[] f = new int[n];
int[] g = new int[n];
int[] ret = new int[n];
f[0] = g[n-1] = 1;
for(int i = 1;i < n;i++)
f[i] = f[i-1]*nums[i-1];
for(int i = n - 2;i >= 0;i--)
g[i] = g[i+1]*nums[i+1];
for(int i = 0;i<n;i++)
ret[i] = f[i]*g[i];
return ret;
}5. 和为K的子数组（LC560）
题目描述
解题思路
在以i为结尾的所有子数组中，找到和为K的子数组：
- 在
[0，i - 1]区间内，右区间和为K，那么左区间的和就是sum[i] - k. - 借助哈希表存储前缀和以及出现的次数，
细节问题：
- 前缀和加入哈希表的时机：不可以先计算所有的前缀和，再加入哈希表。结合以
i结尾的子数组思想，在计算i位置之前，哈希表应该存i之前的前缀和以及出现次数。 - 不需要创建前缀和数组，利用变量
sum来存储即可。 - 如果0到
i位置整个前缀和为K，会漏掉这种情况。需要把<0,1>存在哈希表中，表示前缀和为0出现了1一次。
注意： 这道题不可以用双指针来解，因为元素存在负数，不具有单调性，双指针可能漏掉结果。
代码实现
java
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
int sum = 0;
int ret = 0;
HashMap<Integer,Integer> hash = new HashMap<>();
hash.put(0,1);
for(int x : nums){
sum += x;
//统计结果
ret += hash.getOrDefault(sum - k,0);
//把当前的sum放入hash表中
hash.put(sum,hash.getOrDefault(sum,0)+1);
}
return ret;
}