主旋参数定义
1.主旋轴（单位向量，3个参数） 和一个转动角度
2.主旋轴由一个方向单位向量构成，有3个参数，在N系和B系投影上有相同的分量。？？？
PRV与DCM的关系
e 是C的特征向量，特征值为1
PRV特性
注意，分母 会存在奇点 0 180 °
主旋转参数
1 e 旋转轴
2 旋转角度
4组主旋转参数，从DCM到主旋转参数，有一个短角度有一个长角
（见上）
欧拉参数（四元数）的定义
四元数
将PRV映射到EP
EP 与DCM的关系
在这里插入图片描述
问题： β0 可能为0 ，会造成奇异点
用以下方法：
欧拉参数加法
微分运动学方程
很多人喜欢用四元数做线性估计
小节
- 定义与构成等价性：在姿态表示中，欧拉参数与单位四元数通常指代同一概念。坐标构成：由四个参数组成 β=β0,β1,β2,β3T\boldsymbol{\beta} = \\beta_0, \\beta_1, \\beta_2, \\beta_3^Tβ=β0,β1,β2,β3T。标量部分 (β0\beta_0β0)：β0=cos(ϕ/2)\beta_0 = \cos(\phi/2)β0=cos(ϕ/2)。描述旋转的大小。矢量部分 (ϵ\boldsymbol{\epsilon}ϵ)：β1,2,3=e^sin(ϕ/2)\beta_{1,2,3} = \hat{e} \sin(\phi/2)β1,2,3=e^sin(ϕ/2)。描述旋转轴及其分量。
- 重要特性非唯一性（双倍覆盖）：同一姿态可以用 qqq 或 −q-q−q 表示。几何意义：一组代表优弧旋转（长路径），另一组代表劣弧旋转（短路径）。无奇异性：与欧拉角不同，四元数在任何姿态下都没有奇异点（不会出现死锁）。约束条件：必须满足单位范数约束：β02+β12+β22+β32=1\beta_0^2 + \beta_1^2 + \beta_2^2 + \beta_3^2 = 1β02+β12+β22+β32=13. 工程与控制应用归一化（Normalization）：在数值积分（如 RK4 算法）过程中，由于舍入误差，四元数的模长会偏离 1。策略：通常在每个积分步结束时，手动将矢量除以其范数，使其重新回到超曲面上。
- 反绕问题（Unwinding Problem）：如果控制律只驱动矢量部分 ϵ→0\boldsymbol{\epsilon} \to 0ϵ→0，而不检查 β0\beta_0β0 的正负，航天器可能会为了回到原点而多转一圈（走长路径）。解决方法：监测 β0\beta_0β0。若 β0<0\beta_0 < 0β0<0，则翻转所有参数符号以切换到短路径描述。
- 运动学方程微分方程：β˙=12B(β)ω\dot{\boldsymbol{\beta}} = \frac{1}{2} B(\\boldsymbol{\\beta}) \boldsymbol{\omega}β˙=21B(β)ω。矩阵特性：通过在 3x1 矩阵前补 0 构造出的 4x4 矩阵具有正交性，便于数学求逆和变换。