图论：最小生成树，二分图详细模板及讲解

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序言

来讲一下最小生成树和二分图他们的模板，因为这也不算难就比较简略
目录

序言

🐲最小生成树---Prim算法

🐲最小生成树---Kruskal算法

🐲二分图

🐲染色法

🐲匈牙利算法--最大匹配

最小生成树---Prim算法

这个一般适合稠密图，时间复杂度O(n^2),还有个堆优化版本的Prim算法，那不经常用，我也不会，一般就用Kruskal算法代替了，所以只讲朴素版的Prim

我们先看一下模板题，注意到有重边，我们只找要最小值就行，用邻边矩阵来存

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<string.h> 
using namespace std;
 
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
 
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];//记录从第一个点到 节点 j 的距离
bool st[N];

int prim(){
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	
	int res = 0;
	for(int i = 0; i < n; i ++){
		int t = -1;//当前离源点最近的点
		//找到t
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
		     	t = j;
			}
			//如果i不是第一轮，dist[t]如果还是最大值
			if(i && dist[t] == INF) return INF;
			
				if(i) res += dist[t];
				
			for(int j = 1; j <= n; j ++){
				dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
			}
			
			st[t] = true; 
	 
	}
	return res;
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	
	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	
	while(m --){
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
		
	} 
	
	int t = prim();
	if(t == INF) puts("impossible");
	else printf("%d\n", t);
	
}

最小生成树---Kruskal算法

这个算法的思路很清晰，很容易就懂了，因为我们知道最小生成树不能有环，所有我们可以利用并查集，每当遇到一个边，然后之后就判断两个节点是否是一个集合，不是的话就把这俩节点归为一个集合，是的话就不把这个放进去，用这个方法，那我们就需要把所有边直接存起来，然后从小到大排序，
bash 复制代码
#include<iostream>
#include<string.h> 
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int p[N];

struct Edge{
	int a, b, w;
	bool operator< (const Edge &W)const{
		return w < W.w;
	}
}edges[N];

int find(int x){
	if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	
	for(int i= 0; i < m; i++){
		int a, b, w;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
		edges[i] = {a, b, w};
	}
	
	sort(edges, edges + m);
	
	for(int i = 1; i <=n; i++){
		p[i] = i;
	}
	int res = 0, cnt = 0;
	
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
		
		a = find(a), b = find(b);
		
		if(a != b){
			res += w;
			cnt ++;
		}
	}
	if(cnt < n - 1) puts("impossible");
	else printf("%d\n", res);
}

二分图

二分图 （Bipartite Graph），也叫二部图，是指这样一个图：

可以将图中的所有顶点分成两个不相交的集合 U 和 V
使得图中的每一条边都连接一个 U 中的顶点和一个 V 中的顶点
同一集合内的顶点之间没有边相连

简单来说，二分图就是可以用两种颜色给所有顶点染色，使得相邻顶点颜色不同

染色法

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 1e5 +10, M =2e5 + 10;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b){
	e[idx] = b;
	ne[idx] = h[a];
	h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u, int c){
	color[u] = c;
	
	for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
		int j = e[i];
		//如果当前没有染过颜色 
		if(!color[j]){
			if(!dfs(j, 3 - c)) return false;
		}
		else if(color[j] == c) return false;
	} 
	return true; 
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	
	memset(h, -1, sizeof h);
	
	while(m --){
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		add(a, b);
		add(b, a);
	}
	
	bool flag = true;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		if(!color[i]){
			if(!dfs(i, 1)){
				flag = false;
				break;
			}
		}
	}
	
	if(flag) puts("Yes");
	else puts("No");
}

匈牙利算法--最大匹配

这个话说思路很清晰的，我们就是如果一个节点需要匹配的点以及被匹配了，我们就去看这个被匹配的点所匹配的点是不是能换一个匹配

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N]; 

void add(int a, int b){
	e[idx] = b;
	ne[idx] = h[a];
	h[a] = idx ++;
} 

bool find(int x){
	for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){
		int j = e[i];
		if(!st[j]){
			st[j] = true;
			if(match[j] == 0 || find(match[j])){
				match[j] = x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int main(){
	scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
	
	memset(h, -1, sizeof h);
	
	while(m --){
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		add(a, b);
	}
	
	int res = 0;
	for(int i = 1; i <= n1; i++){
		memset(st, false, sizeof st);
		if(find(i)) res ++;
	}
	printf("%d", res);
	return 0;
	
}