2022信奥赛C++提高组csp-s复赛真题及题解：假期计划
题目描述
小熊的地图上有 n n n 个点，其中编号为 1 1 1 的是它的家、编号为 2 , 3 , ... , n 2, 3, \ldots, n 2,3,...,n 的都是景点。部分点对之间有双向直达的公交线路。如果点 x x x 与 z 1 z_1 z1、 z 1 z_1 z1 与 z 2 z_2 z2、......、 z k − 1 z_{k - 1} zk−1 与 z k z_k zk、 z k z_k zk 与 y y y 之间均有直达的线路，那么我们称 x x x 与 y y y 之间的行程可转车 k k k 次通达；特别地，如果点 x x x 与 y y y 之间有直达的线路，则称可转车 0 0 0 次通达。
很快就要放假了，小熊计划从家出发去 4 4 4 个不同 的景点游玩，完成 5 5 5 段行程后回家：家 → \to → 景点 A → \to → 景点 B → \to → 景点 C → \to → 景点 D → \to → 家且每段行程最多转车 k k k 次。转车时经过的点没有任何限制，既可以是家、也可以是景点，还可以重复经过相同的点。例如，在景点 A → \to → 景点 B 的这段行程中，转车时经过的点可以是家、也可以是景点 C，还可以是景点 D → \to → 家这段行程转车时经过的点。
假设每个景点都有一个分数，请帮小熊规划一个行程，使得小熊访问的四个不同景点的分数之和最大。
输入格式
第一行包含三个整数 n , m , k n, m, k n,m,k，分别表示地图上点的个数、双向直达的点对数量、每段行程最多的转车次数。
第二行包含 n − 1 n - 1 n−1 个正整数，分别表示编号为 2 , 3 , ... , n 2, 3, \ldots, n 2,3,...,n 的景点的分数。
接下来 m m m 行，每行包含两个正整数 x , y x, y x,y，表示点 x x x 和 y y y 之间有道路直接相连，保证 1 ≤ x , y ≤ n 1 \le x, y \le n 1≤x,y≤n，且没有重边，自环。
输出格式
输出一个正整数，表示小熊经过的 4 4 4 个不同景点的分数之和的最大值。
输入输出样例 1
输入 1
8 8 1
9 7 1 8 2 3 6
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 1输出 1
27输入输出样例 2
输入 2
7 9 0
1 1 1 2 3 4
1 2
2 3
3 4
1 5
1 6
1 7
5 4
6 4
7 4输出 2
7说明/提示
【样例解释 #1】
当计划的行程为 1 → 2 → 3 → 5 → 7 → 1 1 \to 2 \to 3 \to 5 \to 7 \to 1 1→2→3→5→7→1 时， 4 4 4 个景点的分数之和为 9 + 7 + 8 + 3 = 27 9 + 7 + 8 + 3 = 27 9+7+8+3=27，可以证明其为最大值。
行程 1 → 3 → 5 → 7 → 8 → 1 1 \to 3 \to 5 \to 7 \to 8 \to 1 1→3→5→7→8→1 的景点分数之和为 24 24 24、行程 1 → 3 → 2 → 8 → 7 → 1 1 \to 3 \to 2 \to 8 \to 7 \to 1 1→3→2→8→7→1 的景点分数之和为 25 25 25。它们都符合要求，但分数之和不是最大的。
行程 1 → 2 → 3 → 5 → 8 → 1 1 \to 2 \to 3 \to 5 \to 8 \to 1 1→2→3→5→8→1 的景点分数之和为 30 30 30，但其中 5 → 8 5 \to 8 5→8 至少需要转车 2 2 2 次，因此不符合最多转车 k = 1 k = 1 k=1 次的要求。
行程 1 → 2 → 3 → 2 → 3 → 1 1 \to 2 \to 3 \to 2 \to 3 \to 1 1→2→3→2→3→1 的景点分数之和为 32 32 32，但游玩的并非 4 4 4 个不同的景点，因此也不符合要求。
【数据范围】
对于所有数据，保证 5 ≤ n ≤ 2500 5 \le n \le 2500 5≤n≤2500， 1 ≤ m ≤ 10000 1 \le m \le 10000 1≤m≤10000， 0 ≤ k ≤ 100 0 \le k \le 100 0≤k≤100，所有景点的分数 1 ≤ s i ≤ 10 18 1 \le s_i \le {10}^{18} 1≤si≤1018。保证至少存在一组符合要求的行程。
| 测试点编号 | n ≤ n \le n≤ | m ≤ m \le m≤ | k ≤ k \le k≤ |
|---|---|---|---|
| 1 ∼ 3 1 \sim 3 1∼3 | 10 10 10 | 20 20 20 | 0 0 0 |
| 4 ∼ 5 4 \sim 5 4∼5 | 10 10 10 | 20 20 20 | 5 5 5 |
| 6 ∼ 8 6 \sim 8 6∼8 | 20 20 20 | 50 50 50 | 100 100 100 |
| 9 ∼ 11 9 \sim 11 9∼11 | 300 300 300 | 1000 1000 1000 | 0 0 0 |
| 12 ∼ 14 12 \sim 14 12∼14 | 300 300 300 | 1000 1000 1000 | 100 100 100 |
| 15 ∼ 17 15 \sim 17 15∼17 | 2500 2500 2500 | 10000 10000 10000 | 0 0 0 |
| 18 ∼ 20 18 \sim 20 18∼20 | 2500 2500 2500 | 10000 10000 10000 | 100 100 100 |
思路分析
-
图建模与距离预处理：
- 使用邻接表存储无向图，通过BFS计算任意两点间的最短距离（边数）。
- 由于n≤2500，对每个点做一次BFS，总复杂度O(n(n+m))。
-
候选集预处理：
- 对于每个景点b，找出所有可能的前驱a（满足1→a和a→b的距离均≤k+1），保留分数最大的3个。
- 对于每个景点c，找出所有可能的后继d（满足c→d和d→1的距离均≤k+1），保留分数最大的3个。
- 保留3个是为避免后续组合时因景点重复而失效。
-
枚举与组合验证：
- 枚举中间两个景点b和c（需满足b→c距离≤k+1）。
- 对于每组(b,c)，枚举b的前驱a和c的后继d（最多9种组合），检查四个景点是否互不相同。
- 计算分数和并更新最大值。
-
时间复杂度：
- BFS预处理：O(n(n+m)) ≈ 2500×12500 = 3.1×10⁷。
- 候选集预处理：O(n²) ≈ 6.25×10⁶。
- 枚举组合：O(n²×9) ≈ 2500×2500×9 = 5.6×10⁷。
- 总复杂度在可接受范围内，能够通过所有测试点。
-
正确性保证：
- 所有行程要求（每段转车≤k次、景点不同）均被严格检查。
- 通过预处理候选集和限制候选数量，在保证正确性的同时大幅降低枚举量。
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2505;
const int INF = 1e9;
int n, m, k;
ll s[N]; // 景点分数，s[1]无用
vector<int> g[N]; // 邻接表
int d[N][N]; // 最短距离（边数）
vector<int> pre[N]; // pre[b]：b的可能前驱a（分数最大的3个）
vector<int> suf[N]; // suf[c]：c的可能后继d（分数最大的3个）
// BFS求start到所有点的最短距离
void bfs(int start) {
for (int i = 1; i <= n; i++) d[start][i] = INF;
d[start][start] = 0;
queue<int> q;
q.push(start);
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for (int v : g[u]) {
if (d[start][v] > d[start][u] + 1) {
d[start][v] = d[start][u] + 1;
q.push(v);
}
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 2; i <= n; i++) cin >> s[i];
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
// 1. BFS预处理所有点对最短路
for (int i = 1; i <= n; i++) bfs(i);
// 2. 预处理每个b的候选a（分数最大的3个）
for (int b = 2; b <= n; b++) {
vector<pair<ll, int>> tmp; // (分数, 景点编号)
for (int a = 2; a <= n; a++) {
if (a == b) continue;
// 1->a 和 a->b 均需在k+1步内
if (d[1][a] <= k + 1 && d[a][b] <= k + 1)
tmp.emplace_back(s[a], a);
}
// 按分数降序排序，取前3个
sort(tmp.begin(), tmp.end(), [](auto &x, auto &y) {
return x.first > y.first;
});
for (int i = 0; i < min(3, (int)tmp.size()); i++)
pre[b].push_back(tmp[i].second);
}
// 3. 预处理每个c的候选d（分数最大的3个）
for (int c = 2; c <= n; c++) {
vector<pair<ll, int>> tmp;
for (int d_ = 2; d_ <= n; d_++) {
if (d_ == c) continue;
// c->d 和 d->1 均需在k+1步内
if (d[c][d_] <= k + 1 && d[d_][1] <= k + 1)
tmp.emplace_back(s[d_], d_);
}
sort(tmp.begin(), tmp.end(), [](auto &x, auto &y) {
return x.first > y.first;
});
for (int i = 0; i < min(3, (int)tmp.size()); i++)
suf[c].push_back(tmp[i].second);
}
// 4. 枚举b和c，并组合a和d
ll ans = 0;
for (int b = 2; b <= n; b++) {
for (int c = 2; c <= n; c++) {
if (b == c || d[b][c] > k + 1) continue;
// 枚举候选a和d（最多3*3=9种组合）
for (int a : pre[b]) {
for (int d_ : suf[c]) {
// 确保四个景点互不相同
if (a != b && a != c && a != d_ && b != c && b != d_ && c != d_)
ans = max(ans, s[a] + s[b] + s[c] + s[d_]);
}
}
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
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using namespace std;
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