本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 基变换 的学习笔记。
1、基向量
参考 线性代数-3Blue1Brown《线性代数的本质》线性组合、张成空间与基（3）
基向量是描述向量空间的标尺，我们最熟悉的"标准基"，就是二维平面里的 i ^ \hat{i} i^和 j ^ \hat{j} j^，三维空间里的 i ^ \hat{i} i^、 j ^ \hat{j} j^、 k ^ \hat{k} k^。比如一个向量 v ^ = [ 3 2 ] \hat{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} v^=[32]，本质上是"3倍 i ^ \hat{i} i^ + 2倍 j ^ \hat{j} j^"的线性组合------从原点出发，沿着 i ^ \hat{i} i^方向走3个单位，再沿着 j ^ \hat{j} j^方向走2个单位，到达向量的终点。
标尺不止一个，比如重量单位可用磅和千克。
你可以定义自己的基： b i ^ = [ 1 1 ] \hat{b_i}= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} bi^=[11]和 b j ^ = [ 1 − 1 ] \hat{b_j}= \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} bj^=[1−1]，在你的坐标系里，同一个向量就发生了变换。
任何线性无关且能张成整个空间的向量组，都能当基。
2、基变换
基变换的核心任务，就是解决"不同标尺之间的换算"问题：已知一个向量在旧基下的坐标，如何算出它在新基下的坐标？反之亦然。
要实现坐标转换，关键是找到 变换矩阵P。P是把旧基"变换"成新基的线性变换。
下面举个例子来说明，在二维实数空间 R 2 \mathbb{R}^2 R2。
-
旧基（标准基） ：
e 1 = [ 1 0 ] , e 2 = [ 0 1 ] \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} e1=[10],e2=[01] -
新基 （自定义的一组线性无关向量）：
v 1 = [ 2 1 ] , v 2 = [ − 1 1 ] \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} v1=[21],v2=[−11] -
一个向量 x \mathbf{x} x，它在标准基下的坐标是：
x old = [ 3 2 ] , 即： x = 3 e 1 + 2 e 2 = [ 3 2 ] \mathbf{x}_{\text{old}} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} , \quad 即：\mathbf{x} = 3\mathbf{e}_1 + 2\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} xold=[32],即：x=3e1+2e2=[32]
现在计算 这个向量在新基 v 1 , v 2 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 v1,v2 下的坐标：
第1步 构造基变换矩阵 P P P
将新基向量作为列，组成矩阵 P P P：
P = [ 2 − 1 1 1 ] P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} P=[21−11]
转换公式： x old = P ⋅ [ x ] new \mathbf{x}{\text{old}} = P \cdot [\mathbf{x}]{\text{new}} xold=P⋅[x]new
第2步 求新基下的坐标 [ x ] new [\mathbf{x}]_{\text{new}} [x]new
已知 x old = [ 3 2 ] \mathbf{x}{\text{old}} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} xold=[32]，所以： x new = P − 1 [ 3 2 ] \mathbf{x}{\text{new}} = P^{-1} \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} xnew=P−1[32]
P是"旧基转新基"的变换，那"新基转旧基"就是它的逆操作------逆矩阵
计算 P − 1 P^{-1} P−1
行列式： det ( P ) = 2 ∗ 1 − ( − 1 ∗ 1 ) = 2 + 1 = 3 \det(P) = 2*1 - (-1*1) = 2 + 1 = 3 det(P)=2∗1−(−1∗1)=2+1=3
参考 线性代数-3Blue1Brown《线性代数的本质》行列式（7）
逆矩阵：
P − 1 = 1 3 [ 1 1 − 1 2 ] P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix}1 & 1 \\-1 & 2\end{bmatrix} P−1=31[1−112]
对于一个 2×2 矩阵 A = [ a b c d ] A = \begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix} A=[acbd]
逆矩阵 A − 1 = 1 det ( A ) [ d − b − c a ] 逆矩阵 A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} 逆矩阵A−1=det(A)1[d−c−ba]其中行列式 det ( A ) = a d − b c \det(A) = ad - bc det(A)=ad−bc。
相乘得坐标：
x new = 1 3 [ 1 1 − 1 2 ] [ 3 2 ] = 1 3 [ 5 1 ] = [ 5 3 1 3 ] \mathbf{x}_{\text{new}} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix} xnew=31[1−112][32]=31[51]=[3531]
说明
- 在标准基 ： x = [ 3 2 ] \mathbf{x} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} x=[32]
- 在新基 { v 1 , v 2 } \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} {v1,v2} ： x = 5 3 v 1 + 1 3 v 2 \mathbf{x} = \frac{5}{3} \mathbf{v}_1 + \frac{1}{3} \mathbf{v}_2 x=35v1+31v2
验证：
5 3 [ 2 1 ] + 1 3 [ − 1 1 ] = [ 10 3 − 1 3 5 3 + 1 3 ] = [ 3 2 ] \frac{5}{3} \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + \frac{1}{3} \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{10}{3} - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} + \frac{1}{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} 35[21]+31[−11]=[310−3135+31]=[32]