AT_tkppc3_d 巨大チェスボード 题解

AT_tkppc3_d 巨大チェスボード 题解

题意简述

给定 H 行 W 列的不规则棋盘：

• 格子 (i,j)(i,j)(i,j) 颜色为国际象棋样式，(1,1)(1,1)(1,1) 为黑色，相邻格子颜色不同。
• 第 i 行高度为 aiaiai，第 j 列宽度为 bjbjbj，格子 (i,j)(i,j)(i,j) 面积 = ai×bjai \times bjai×bj。
• Q 次询问矩形 (px,py)(px,py)(px,py) 到 (qx,qy)(qx,qy)(qx,qy)，求：黑格总面积 − 白格总面积。

数据范围：H,W,Q≤105H,W,Q \leq 10^5H,W,Q≤105，ai,bi≤104ai,bi \leq 10^4ai,bi≤104，要求 O(H+W+Q)O(H+W+Q)O(H+W+Q) 算法。

核心思路

1. 贡献符号化

黑格贡献 +aibj+aibj+aibj，白格贡献 −aibj-aibj−aibj，可统一表示为：
val(i,j)=(−1)i+j⋅ai⋅bjval(i,j) = (-1)^{i+j} \cdot ai \cdot bjval(i,j)=(−1)i+j⋅ai⋅bj

2. 二维和拆分为一维乘积

∑i=pxqx∑j=pyqy(−1)i+jaibj=(∑i=pxqx(−1)iai)⋅(∑j=pyqy(−1)jbj)\sum_{i=px}^{qx}\sum_{j=py}^{qy} (-1)^{i+j}aibj = \left(\sum_{i=px}^{qx} (-1)^i ai\right) \cdot \left(\sum_{j=py}^{qy} (-1)^j bj\right)∑i=pxqx∑j=pyqy(−1)i+jaibj=(∑i=pxqx(−1)iai)⋅(∑j=pyqy(−1)jbj)

3. 前缀和预处理

定义交替前缀和：

• sa\[i\] = 前 i 行的交替和：奇数行 +ai+ai+ai，偶数行 −ai-ai−ai
• sb\[i\] = 前 i 列的交替和：奇数列 +bi+bi+bi，偶数列 −bi-bi−bi

区间 L,RL,RL,R 和：
sumA=saR−saL−1sumA = saR - saL-1sumA=saR−saL−1
sumB=sbR−sbL−1sumB = sbR - sbL-1sumB=sbR−sbL−1

最终答案 = sumA×sumBsumA \times sumBsumA×sumB

算法流程

1. 读入 H,W,QH, W, QH,W,Q
2. 预处理 aaa 数组，计算 sasasa 前缀和
3. 预处理 bbb 数组，计算 sbsbsb 前缀和
4. 对每个询问：
   • 计算行区间 px,qxpx,qxpx,qx 的 sumAsumAsumA
   • 计算列区间 py,qypy,qypy,qy 的 sumBsumBsumB
   • 输出 sumA×sumBsumA \times sumBsumA×sumB

复杂度分析

• 预处理：O(H+W)O(H + W)O(H+W)
• 单次查询：O(1)O(1)O(1)
• 总复杂度：O(H+W+Q)O(H + W + Q)O(H+W+Q)，可通过 10510^5105 规模数据

样例1解释

输入中：
a=7,35,5a = 7,35,5a=7,35,5，计算得：
sa1=7sa1=7sa1=7，sa2=7−35=−28sa2=7-35=-28sa2=7−35=−28，sa3=−28+5=−23sa3=-28+5=-23sa3=−28+5=−23

b=14,9,50b = 14,9,50b=14,9,50，计算得：
sb1=14sb1=14sb1=14，sb2=14−9=5sb2=14-9=5sb2=14−9=5，sb3=5+50=55sb3=5+50=55sb3=5+50=55

询问1：(1,1)(1,1)(1,1) 到 (2,2)(2,2)(2,2)
sumA=sa2−sa0=−28sumA = sa2-sa0 = -28sumA=sa2−sa0=−28，sumB=sb2−sb0=5sumB = sb2-sb0 = 5sumB=sb2−sb0=5 → ans=−28×5=−140ans = -28 \times 5 = -140ans=−28×5=−140

询问2：(1,1)(1,1)(1,1) 到 (3,2)(3,2)(3,2)
sumA=sa3−sa0=−23sumA = sa3-sa0 = -23sumA=sa3−sa0=−23，sumB=5sumB = 5sumB=5 → ans=−23×5=−115ans = -23 \times 5 = -115ans=−23×5=−115

与样例输出完全一致。

完整 C++ 代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e5+10;
ll sa[M],sb[M],a[M],b[M];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int H,W,Q;
    cin>>H>>W>>Q;
    for(int i=1;i<=H;++i){
        cin>>a[i];
        sa[i]=sa[i-1]+(i%2?a[i]:-a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=W;++i){
        cin>>b[i];
        sb[i]=sb[i-1]+(i%2?b[i]:-b[i]);
    }
    while(Q--){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        ll A=sa[x2]-sa[x1-1];
        ll B=sb[y2]-sb[y1-1];
        cout<<A*B<<'\n';
    }
    return 0;
}