2023年信奥赛C++提高组csp-s初赛真题及答案解析（阅读程序第2题）
第 2 题
cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long solve1(int n) {
vector<bool> p(n + 1, true);
vector<long long> f(n + 1, 0), g(n + 1, 0);
f[1] = 1;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (p[i]) {
vector<int> d;
for (int k = i; k <= n; k *= i) d.push_back(k);
reverse(d.begin(), d.end());
for (int k : d) {
for (int j = k; j <= n; j += k) {
if (p[j]) {
p[j] = false;
f[j] = i;
g[j] = k;
}
}
}
}
}
for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
if (p[i]) {
f[i] = i;
g[i] = i;
}
}
long long sum = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
f[i] = f[i / g[i]] * (g[i] * f[i] - 1) / (f[i] - 1);
sum += f[i];
}
return sum;
}
long long solve2(int n) {
long long sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum += i * (n / i);
}
return sum;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
cout << solve1(n) << endl;
cout << solve2(n) << endl;
return 0;
}假设输入的 n是不超过 1000000 的自然数，完成下面的判断题和单选题:
判断题
-
将第 15行删去，输出不变。（）
A. 正确 B. 错误
-
当输入为
10时，输出的第一行大于第二行。（）A. 正确 B. 错误
-
（2 分） 当输入为
1000时，输出的第一行与第二行相等。（）A. 正确 B. 错误
单选题
-
solve1(n)的时间复杂度为（）。A. O(nlog 2 ^2 2n) B. O(n) C. O(nlogn) D. O(nloglogn)
-
solve2(n)的时间复杂度为（）。A. O(n 2 ^2 2) B. O(n) C. O(nlogn) D. O(n n ) \sqrt{n}) n ))
-
当输入为
5时，输出的第二行为（）。A.
20B.21C.22D.23
代码分析
solve1(n)通过筛法标记每个数的最小质因数及其最高幂次，再利用公式递推计算除数之和 σ ( i ) \sigma(i) σ(i)，最后求和。solve2(n)直接计算 ∑ i = 1 n i × ⌊ n / i ⌋ \sum_{i=1}^n i \times \lfloor n/i \rfloor ∑i=1ni×⌊n/i⌋，该和式等价于 ∑ k = 1 n σ ( k ) \sum_{k=1}^n \sigma(k) ∑k=1nσ(k)。- 两函数计算结果相同，时间复杂度分别为 O ( n log log n ) O(n \log \log n) O(nloglogn) 和 O ( n ) O(n) O(n)。
判断题答案
-
B. 错误
删去第15行（
reverse(d.begin(), d.end());）后，d中i的幂次变为从小到大排列，会导致g[j]被错误地赋值为较小的幂次，进而使得后续计算的f[i]（即除数之和）错误，输出改变。 -
B. 错误
solve1(n)和solve2(n)均计算 1 1 1 到 n n n 所有数的除数之和 ∑ k = 1 n σ ( k ) \sum_{k=1}^n \sigma(k) ∑k=1nσ(k)，因此两行输出相等。当输入为10时，第一行等于第二行。 -
A. 正确
同理，当输入为
1000时，两行输出相等。
单选题答案
-
D. O(nloglogn)
solve1(n)的第一部分类似于筛法，仅处理 ≤ n \leq \sqrt{n} ≤n 的质数及其幂次，遍历倍数的总次数约为 n ∑ p ≤ n 1 / p = O ( n log log n ) n \sum_{p \leq \sqrt{n}} 1/p = O(n \log \log n) n∑p≤n 1/p=O(nloglogn)，其余部分为 O ( n ) O(n) O(n)，故总时间复杂度为 O ( n log log n ) O(n \log \log n) O(nloglogn)。 -
B. O(n)
solve2(n)通过单层循环计算，循环次数为 n n n，每次操作 O ( 1 ) O(1) O(1)，故时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。 -
B. 21
当输入为
5时，solve2(5)计算过程为：
1 × ⌊ 5 / 1 ⌋ + 2 × ⌊ 5 / 2 ⌋ + 3 × ⌊ 5 / 3 ⌋ + 4 × ⌊ 5 / 4 ⌋ + 5 × ⌊ 5 / 5 ⌋ = 5 + 4 + 3 + 4 + 5 = 21 1 \times \lfloor 5/1 \rfloor + 2 \times \lfloor 5/2 \rfloor + 3 \times \lfloor 5/3 \rfloor + 4 \times \lfloor 5/4 \rfloor + 5 \times \lfloor 5/5 \rfloor = 5 + 4 + 3 + 4 + 5 = 21 1×⌊5/1⌋+2×⌊5/2⌋+3×⌊5/3⌋+4×⌊5/4⌋+5×⌊5/5⌋=5+4+3+4+5=21。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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return 0;
}