接上集：
本文参考Kian Sen Ang and I. D. Robertson, "Analysis and design of impedance-transforming planar Marchand baluns ," in IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 49, no. 2, pp. 402-406, Feb. 2001, doi: 10.1109/22.903108.
keywords: {Impedance matching;Couplers;Coupling circuits;Diodes;Microstrip;Frequency;Microwave integrated circuits;MMICs;Monolithic integrated circuits;Wideband},详细推导一下下公式，仅供学习使用
图 1. 作为两个相同耦合器的对称Marchand巴伦框图。
有趣的是，当所有端口都端接相同阻抗（例如50Ω），即阻抗变换比为1时，所需的耦合系数是-4.8 dB，而不是-3 dB。根据(5)式，使用通常假设的-3 dB耦合器6将导致中心频率处的插入损耗和输出隔离为-3.5 dB，输入和输出回波损耗为-9.5 dB。当满足(7)式时，(5)式给出的巴伦S矩阵简化为：
Sbalun=0j2−j2j21212−j21212.(8) S_{\text{balun}}=\begin{bmatrix}0&\frac{j}{\sqrt{2}}&-\frac{j}{\sqrt{2}}\\\frac{j}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{j}{\sqrt{2}}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}.\quad{(8)} Sbalun= 02 j−2 j2 j2121−2 j2121 .(8)
这是一个无耗使用图1所示结构巴伦可达到的最佳S矩阵。它在输入端匹配，传输系数为-3 dB且相位相反。
一、理想巴伦的S矩阵
为了实现完美的输出端口匹配和隔离，需要在输出端口之间添加某种形式的电阻网络，就像威尔金森功分器那样。将使用Y参数来推导所需的电阻网络。具有完美输出匹配和隔离的巴伦的S矩阵形式为：
Sbalun,ideal=0j/2−j/2j/200−j/200.（9）S_{\text{balun,ideal}} = \begin{bmatrix} 0 & j/\sqrt{2} & -j/\sqrt{2} \\ j/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ -j/\sqrt{2} & 0 & 0 \end{bmatrix}.\quad（9）Sbalun,ideal= 0j/2 −j/2 j/2 00−j/2 00 .（9）
该矩阵满足以下特性：
>- 输入端口匹配（S11=0S_{11}=0S11=0）；
>- 输出端口匹配（S22=S33=0S_{22}=S_{33}=0S22=S33=0）；
>- 输出端口间隔离（S23=S32=0S_{23}=S_{32}=0S23=S32=0）；
>- 传输系数幅值为1/21/\sqrt{2}1/2 （-3dB），且相位相反（S21=j/2S_{21}=j/\sqrt{2}S21=j/2 ，S31=−j/2S_{31}=-j/\sqrt{2}S31=−j/2 ）
二、从理想S矩阵到Y矩阵的转换
已知端口参考阻抗矩阵为：
ZR=diag(Z0,Z1,Z1).Z_R= \operatorname{diag}(Z_0, Z_1, Z_1).ZR=diag(Z0,Z1,Z1).
散射矩阵SSS与导纳矩阵YYY的转换关系为：
2.1散射矩阵SSS与导纳矩阵YYY的转换关系推导
2.1.1归一化波的定义
对于一个NNN端口网络，每个端口iii有一个实数参考阻抗ZRiZ_{Ri}ZRi。定义归一化入射波aia_iai和反射波bib_ibi：
ai=Vi+ZRiIi2ZRi,bi=Vi−ZRiIi2ZRia_i=\frac{V_i+Z_{Ri}I_i}{2\sqrt{Z_{Ri}}},\quad b_i=\frac{V_i-Z_{Ri}I_i}{2\sqrt{Z_{Ri}}}ai=2ZRi Vi+ZRiIi,bi=2ZRi Vi−ZRiIi
其中ViV_iVi是端口电压，IiI_iIi是流入端口的电流（电流方向为流入网络）。写成矩阵形式：
a=12ZR−1/2(V+ZRI),b=12ZR−1/2(V−ZRI)\mathbf{a}=\frac{1}{2}Z_R^{-1/2}(\mathbf{V}+Z_R\mathbf{I}),\quad\mathbf{b}=\frac{1}{2}Z_R^{-1/2}(\mathbf{V}-Z_R\mathbf{I})a=21ZR−1/2(V+ZRI),b=21ZR−1/2(V−ZRI)
这里ZR=diag(ZR1,ZR2,...,ZRN)Z_R=\operatorname{diag}(Z_{R1},Z_{R2},\dots,Z_{RN})ZR=diag(ZR1,ZR2,...,ZRN)是对角参考阻抗矩阵，
ZR−1/2=diag(1/ZR1,1/ZR2,...,1/ZRN)Z_R^{-1/2}=\operatorname{diag}(1/\sqrt{Z_{R1}},1/\sqrt{Z_{R2}},\dots,1/\sqrt{Z_{RN}})ZR−1/2=diag(1/ZR1 ,1/ZR2 ,...,1/ZRN )。
2.1.2散射矩阵SSS的定义
散射矩阵SSS定义为：
b=Sa\mathbf{b}=S\mathbf{a}b=Sa
2.1.3电压和电流与波的关系
从波的定义反解电压和电流：
V=ZR1/2(a+b),I=ZR−1/2(a−b)\mathbf{V}=Z_R^{1/2}(\mathbf{a}+\mathbf{b}),\quad\mathbf{I}=Z_R^{-1/2}(\mathbf{a}-\mathbf{b})V=ZR1/2(a+b),I=ZR−1/2(a−b)
其中ZR1/2=diag(ZR1,ZR2,...,ZRN)Z_R^{1/2}=\operatorname{diag}(\sqrt{Z_{R1}},\sqrt{Z_{R2}},\dots,\sqrt{Z_{RN}})ZR1/2=diag(ZR1 ,ZR2 ,...,ZRN )。
导纳矩阵YYY定义为：
I=YV\mathbf{I}=Y\mathbf{V}I=YV
将b=Sa\mathbf{b}=S\mathbf{a}b=Sa代入电压和电流表达式：
V=ZR1/2(I+S)a\mathbf{V}=Z_R^{1/2}(I+S)\mathbf{a}V=ZR1/2(I+S)a
I=ZR−1/2(I−S)a\mathbf{I}=Z_R^{-1/2}(I-S)\mathbf{a}I=ZR−1/2(I−S)a
从电压表达式解出a\mathbf{a}a（假设I+SI+SI+S可逆）：
a=(I+S)−1ZR−1/2V\mathbf{a}=(I+S)^{-1}Z_R^{-1/2}\mathbf{V}a=(I+S)−1ZR−1/2V
代入电流表达式：
I=ZR−1/2(I−S)(I+S)−1ZR−1/2V\mathbf{I}=Z_R^{-1/2}(I-S)(I+S)^{-1}Z_R^{-1/2}\mathbf{V}I=ZR−1/2(I−S)(I+S)−1ZR−1/2V
因此：
Y=ZR−1/2(I−S)(I+S)−1ZR−1/2Y=Z_R^{-1/2}(I-S)(I+S)^{-1}Z_R^{-1/2}Y=ZR−1/2(I−S)(I+S)−1ZR−1/2
在讨论的Marchand巴伦中，端口1的参考阻抗为Z0Z_0Z0，端口2和3的参考阻抗为Z1Z_1Z1，所以：
ZR=diag(Z0,Z1,Z1),ZR−1/2=diag(1/Z0,1/Z1,1/Z1)Z_R=\operatorname{diag}(Z_0,Z_1,Z_1),\quad Z_R^{-1/2}=\operatorname{diag}(1/\sqrt{Z_0},1/\sqrt{Z_1},1/\sqrt{Z_1})ZR=diag(Z0,Z1,Z1),ZR−1/2=diag(1/Z0 ,1/Z1 ,1/Z1 )
2.2计算
2.2.1计算I±SI \pm SI±S：
I−S=1−j/2j/2−j/210j/201,I+S=1j/2−j/2j/210−j/201.I - S = \begin{bmatrix} 1 & -j/\sqrt{2} & j/\sqrt{2} \\ -j/\sqrt{2} & 1 & 0 \\ j/\sqrt{2} & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad I + S = \begin{bmatrix} 1 & j/\sqrt{2} & -j/\sqrt{2} \\ j/\sqrt{2} & 1 & 0 \\ -j/\sqrt{2} & 0 & 1 \end{bmatrix}.I−S= 1−j/2 j/2 −j/2 10j/2 01 ,I+S= 1j/2 −j/2 j/2 10−j/2 01 .
2.2.2 求(I+S)−1(I+S)^{-1}(I+S)−1：
通过伴随矩阵法或分块求逆，得到：
(I+S)−1=1/2−j/(22)j/(22)−j/(22)3/41/4j/(22)1/43/4.(I+S)^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & -j/(2\sqrt{2}) & j/(2\sqrt{2}) \\ -j/(2\sqrt{2}) & 3/4 & 1/4 \\ j/(2\sqrt{2}) & 1/4 & 3/4 \end{bmatrix}.(I+S)−1= 1/2−j/(22 )j/(22 )−j/(22 )3/41/4j/(22 )1/43/4 .
2.2.3 计算(I−S)(I+S)−1(I-S)(I+S)^{-1}(I−S)(I+S)−1：
(I−S)(I+S)−1=0−j/2j/2−j/21/21/2j/21/21/2.(I-S)(I+S)^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -j/\sqrt{2} & j/\sqrt{2} \\ -j/\sqrt{2} & 1/2 & 1/2 \\ j/\sqrt{2} & 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}.(I−S)(I+S)−1= 0−j/2 j/2 −j/2 1/21/2j/2 1/21/2 .
2.2.4左乘和右乘ZR−1/2Z_R^{-1/2}ZR−1/2：
Yij=1Zi(I−S)(I+S)−1ij1Zj,Y_{ij} = \frac{1}{\sqrt{Z_i}} \left(I-S)(I+S)\^{-1}\\right_{ij} \frac{1}{\sqrt{Z_j}},Yij=Zi 1(I−S)(I+S)−1ijZj 1,
代入后得到公式(10)：
Ybalun=0−j/2Z0Z1j/2Z0Z1−j/2Z0Z11/(2Z1)1/(2Z1)j/2Z0Z11/(2Z1)1/(2Z1).Y_{\text{balun}} = \begin{bmatrix} 0 & -j/\sqrt{2Z_0 Z_1} & j/\sqrt{2Z_0 Z_1} \\ -j/\sqrt{2Z_0 Z_1} & 1/(2Z_1) & 1/(2Z_1) \\ j/\sqrt{2Z_0 Z_1} & 1/(2Z_1) & 1/(2Z_1) \end{bmatrix}.Ybalun= 0−j/2Z0Z1 j/2Z0Z1 −j/2Z0Z1 1/(2Z1)1/(2Z1)j/2Z0Z1 1/(2Z1)1/(2Z1) .
三、Marchand巴伦S矩阵到Y矩阵的转换
公式(8)给出了最佳耦合系数下Marchand巴伦的S矩阵：
Sbalun=0j/2−j/2j/21/21/2−j/21/21/2.S_{\text{balun}} = \begin{bmatrix} 0 & j/\sqrt{2} & -j/\sqrt{2} \\ j/\sqrt{2} & 1/2 & 1/2 \\ -j/\sqrt{2} & 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}.Sbalun= 0j/2 −j/2 j/2 1/21/2−j/2 1/21/2 .
类似2.2的过程使用相同的转换公式：
3.1 计算I±SI \pm SI±S：
I−S=1−j/2j/2−j/21/2−1/2j/2−1/21/2,I+S=1j/2−j/2j/23/21/2−j/21/23/2.I - S = \begin{bmatrix} 1 & -j/\sqrt{2} & j/\sqrt{2} \\ -j/\sqrt{2} & 1/2 & -1/2 \\ j/\sqrt{2} & -1/2 & 1/2 \end{bmatrix}, \quad I + S = \begin{bmatrix} 1 & j/\sqrt{2} & -j/\sqrt{2} \\ j/\sqrt{2} & 3/2 & 1/2 \\ -j/\sqrt{2} & 1/2 & 3/2 \end{bmatrix}.I−S= 1−j/2 j/2 −j/2 1/2−1/2j/2 −1/21/2 ,I+S= 1j/2 −j/2 j/2 3/21/2−j/2 1/23/2 .
3.2 求(I+S)−1(I+S)^{-1}(I+S)−1：
(I+S)−1=1/2−j/(22)j/(22)−j/(22)1/20j/(22)01/2.(I+S)^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & -j/(2\sqrt{2}) & j/(2\sqrt{2}) \\ -j/(2\sqrt{2}) & 1/2 & 0 \\ j/(2\sqrt{2}) & 0 & 1/2 \end{bmatrix}.(I+S)−1= 1/2−j/(22 )j/(22 )−j/(22 )1/20j/(22 )01/2 .
3.3 计算(I−S)(I+S)−1(I-S)(I+S)^{-1}(I−S)(I+S)−1：
(I−S)(I+S)−1=0−j/2j/2−j/200j/200.(I-S)(I+S)^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -j/\sqrt{2} & j/\sqrt{2} \\ -j/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ j/\sqrt{2} & 0 & 0 \end{bmatrix}.(I−S)(I+S)−1= 0−j/2 j/2 −j/2 00j/2 00 .
3.4 左乘和右乘ZR−1/2Z_R^{-1/2}ZR−1/2，得到公式(11)：
Ybalun=0−j/2Z0Z1j/2Z0Z1−j/2Z0Z100j/2Z0Z100.（11）Y_{\text{balun}} = \begin{bmatrix} 0 & -j/\sqrt{2Z_0 Z_1} & j/\sqrt{2Z_0 Z_1} \\ -j/\sqrt{2Z_0 Z_1} & 0 & 0 \\ j/\sqrt{2Z_0 Z_1} & 0 & 0 \end{bmatrix}.\quad（11）Ybalun= 0−j/2Z0Z1 j/2Z0Z1 −j/2Z0Z1 00j/2Z0Z1 00 .（11）
公式(9)是理想巴伦的S参数描述；公式(10)和(11)分别对应理想巴伦和实际Marchand巴伦的导纳矩阵。通过比较两者，**发现Marchand巴伦在输出端口缺少对地导纳和互导纳，因此需并联一个电阻网络（公式(12)）以实现完美匹配和隔离。**比较(10)式和(11)式，可以推断出电阻网络的Y矩阵形式为：
YR=12Z11111.(12) Y{R}=\frac{1}{2Z{1}}\left\\begin{array}{ll}1 \& 1\\\\ 1 \& 1\\end{array}\\right.\qquad(12) YR=2Z111111.(12)
该网络可以通过一个相位反转器和一个阻值为2Z12Z_{1}2Z1的电阻串联来实现。这个电阻网络也可以直观地推导出来。两个输出之间的信号路径是通过两个耦合器的耦合端口，如(8)式所示，其衰减为-6 dB且相移为零。因此，通过添加另一条具有-6 dB衰减和180°相移的信号路径，可以实现输出之间信号路径的完美抵消。
图2. 通过在Marchand巴伦上添加电阻网络来实现具有隔离输出的完美匹配巴伦。
图2显示了带有电阻网络的完美匹配巴伦的示意图。相位反转器通过简单的半波长传输线实现。为了保持输出端口之间的对称性，电阻被分成两个阻值为Z1Z_{1}Z1的电阻，分别位于传输线的两端。电阻网络的性能在中心频率处与传输线特性阻抗ZRZ_{R}ZR无关。但是，ZRZ_{R}ZR应尽可能设置得高，以确保原始巴伦的工作带宽不会显著减小。还应注意，所提出的电阻网络也可以应用于其他无耗巴伦结构，以实现输出匹配和隔离。此外，电阻网络中的相位反转器也可以使用其他宽带结构实现13。