C语言之合唱队形——动态规划

题目描述

n 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 n−k 位同学出列，使得剩下的 k 位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设 k 位同学从左到右依次编号为 1,2, ... ,k，他们的身高分别为 t1,t2, ... ,tk，则他们的身高满足 t1<⋯<ti>ti+1> ... >tk(1≤i≤k)。

你的任务是，已知所有 n 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式

共二行。

第一行是一个整数 n（2≤n≤100），表示同学的总数。

第二行有 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ti（130≤ti≤230）是第 i 位同学的身高（厘米）。

输出格式

一个整数，最少需要几位同学出列。

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输入
8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出
4
说明/提示
对于 50% 的数据，保证有 n≤20。
对于全部的数据，保证有 n≤100。

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#include <stdio.h>
#include <string.h>  // 为了 memset

int a[105];//用于存储输入的同学身高数
int b[105];//表示以i结尾的最长上升子序列长度是b[i]
int c[105];//表示以i结尾的最长下降子序列长度是c[i]

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    // 初始化数组为0
    memset(b, 0, sizeof(b));
    memset(c, 0, sizeof(c));
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    
    // 计算最长上升子序列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        b[i] = 1;  // 初始化为1（自己）
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (a[i] > a[j] && b[j] + 1 > b[i]) {//如果定义的最高的人比前面的那个人更高，也就是满足判断条件，而且之前的人数加上这个人之后总人数比之前的大，那人数就进行替换。
            //这个替换刚好使不满足题意的人去掉，因为总人数取的还是之前的。
                b[i] = b[j] + 1;
            }
        }
    }
    
    // 计算最长下降子序列（从右向左的上升子序列）
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        c[i] = 1;  // 初始化为1
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            if (a[i] > a[j] && c[j] + 1 > c[i]) {
                c[i] = c[j] + 1;
            }
        }
    }
    
    // 找最大合唱队形长度
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (b[i] + c[i] > ans) {
            ans = b[i] + c[i];
        }
    }
    
    // 输出最少出列人数
    printf("%d\n", n - (ans - 1));
    
    return 0;
}

一.整体思路：

因为要求最少出列同学，所以间接说明在合唱队形中的人数越多越好。又要求中间必须是最高的，所以要从第一个人开始遍历，看看是否满足题意且上升序列的时候人数是最多的，下降序列的时候人数也是最多的。而既要遍历，又要人数最多，肯定是要进行最大值的替换。

动规五部曲：最重要的是递推公式

1.dp数组含义及下标含义

dp $i$ 刚好可以表示成以i为最高的人时，上升序列或下降序列的人数。根据分析，就要定义两个数组来表示。即上述b $i$ 和c $i$ 。

2.递推公式

利用已经计算好的子问题（b[j]）来解决当前问题（b[i]）。而刚计算好的b $i$ 又可以作为下一次的b $j$ 来计算。

if (a $i$ > a $j$ && b $j$ + 1 > b $i$ ) {

b $i$ = b $j$ + 1;

}

怎么想到的递推公式呢？

我们要求的是：以i结尾的最长上升子序列长度

自然想法：

一个以i结尾的上升子序列=某个以j结尾的上升子序列+a $i$ 。注意，前面的某个以j结尾的上升子序列，不一定是i-1=j，因为我们要取的是最大人数，所以肯定要选一个最合适的上升子序列，这个可能是任意一个。
要求：a $j$ < a $i$ （这样才能接上）
长度 = 那个子序列的长度 + 1

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b[i] = max( b[j] + 1 )  对于所有 j < i 且 a[j] < a[i]

为什么这样想？

我们不知道哪个 j 最好，所以要枚举所有可能的 j
对每个可能的 j，计算 b[j] + 1
取最大值就是答案

先假设最坏情况：b $i$ = 1（只有自己）
然后尝试改进：对每个 j，看看能不能让 b $i$ 变大
- 如果能接在 j 后面（a $i$ > a $j$ ）
- 而且接上后比当前记录的长度更长（b $j$ + 1 > b $i$ ）
- 就更新记录

3.dp数组如何进行初始化

那就只能根据实际意义来写了。因为我们要算的是人数是否是最大的，当i表示的那个人不符合题意时，肯定这个队列中只有这一个人，因为其他人都不符合题意都被去掉了，所以可以将每一次便利的时候都初始化为1，反正是最小的最大值，不会影响后面的判断。

4.遍历顺序

很好理解。我就不分析了。

5。打印dp数组

三.解析代码：主要是上升序列代码和下降序列代码

if (a $i$ > a $j$ && b $j$ + 1 > b $i$ ) {

b $i$ = b $j$ + 1;

}

因为我们之前计算的b $j$ 都是符合题意的，都满足if语句条件，就是在计算当i=1,2,3时计算出来的真实的值，所以不需要再进行判断，所以在后面就可以直接利用。但是要不要计算加1取决于前面的条件

b $j$ + 1 > b $i$

含义：如果把 i 接在 j 后面，得到的长度比当前记录的长度更长

b[j]：以 j 结尾的最长上升子序列长度
b[j] + 1：把 i 接在 j 后面得到的新长度
b[i]：当前记录的以 i 结尾的最长长度

举个例子：

假设身高数组：

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186 186 150 200 160 130 197 220

i=1 (186)：左边没人 → b $1$ = 1
i=2 (186)：左边 186，a $1$ =186 不小于 186 → b $2$ = 1
i=3 (150)：左边都比 150 大 → b $3$ = 1

i=4 (200)：
- j=1: 186<200 → b $1$ +1=2因为满足条件判断，所以要将之前的总数加上这个符合题意的人数。
- j=2: 186<200 → b $2$ +1=2这些都是根据上述计算出来的b\[\]，再来计算的
- j=3: 150<200 → b $3$ +1=2
- 最大=2 → b $4$ =2

i=5 (160)：
- j=1: 186>160 ❌
- j=2: 186>160 ❌
- j=3: 150<160 → b $3$ +1=2
- j=4: 200>160 ❌
- 最大=2 → b $5$ =2

i=6 (130)：
- 所有左边都大于130 → b $6$ =1

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