2021年信奥赛C++提高组csp-s初赛真题及答案解析（阅读程序第2题）

第2题

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01 #include <algorithm>
02 #include <iostream>
03 using namespace std;
04 
05 int n, a[1005];
06 
07 struct Node
08 {
09    int h, j, m, w;
10 
11    Node(const int _h, const int _j, const int _m, const int _w):
12   	 h(_h), j(_j), m(_m), w(_w)
13    {	}
14 
15    Node operator+(const Node &o) const
16    {
17    	return Node(
18    		max(h, w + o.h),
19    		max(max(j, o.j), m + o.h),
20   		 max(m + o.w, o.m),
21   		 w + o.w);
22    }
23 };  
24 
25 Node solve1(int h, int m)
26 {
27     if (h > m)
28     		return Node(-1, -1, -1, -1);
29     if (h == m)
30     		return Node(max(a[h], 0), max(a[h], 0), max(a[h], 0), a[h]);
31     int j = (h + m) >> 1;
32     		return solve1(h, j) + solve1(j + 1, m);
33 }
34 
35 int solve2(int h, int m)
36 {
37     if (h > m)
38     		return -1;
39     if (h == m)
40     		return max(a[h], 0);
41     int j = (h + m) >> 1;
42     int wh = 0, wm = 0;
43     int wht = 0, wmt = 0;
44     for (int i = j; i >= h; i--){
45     		wht += a[i];
46     		wh = max(wh, wht);
47     }		
48     for (int i = j + 1; i <= m; i++){
49     		wmt += a[i];
50     		wm = max(wm, wmt);
51     }
52     return max(max(solve2(h, j), solve2(j + 1, m)), wh + wm);
53 }
54 
55 int main()
56 {
57     cin >> n;
58     for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
59     cout << solve1(1, n).j << endl;
60     cout << solve2(1, n) << endl;
61     return 0;
62 }

假设输入的所有数的绝对值都不超过 1000 ，完成下面的判断题和单选题：

判断题

程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。（）

A. 正确 B. 错误
第 28 行与第 38 行分别有可能执行两次及以上。（）

A. 正确 B. 错误
当输入为 5 -10 11 -9 5 -7 时，输出的第二行为 7。( )

A. 正确 B. 错误

单选题

solve1(1, n) 的时间复杂度为（）。
A. O(log⁡n)
B. O(n)
C. O(nlog⁡n)
D. O( n 2 n^2 n2)
solve2(1, n) 的时间复杂度为（）。
A. O(log⁡n)
B. O(n)
C. O(nlog⁡n)
D. O( n 2 n^2 n2)
当输入为 10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4 时，输出的第一行为（）。
A. 13
B. 17
C. 24
D. 12

题目代码分析

程序包含两个分治函数 solve1 和 solve2，均用于求解允许空子段的最大子段和（即当所有元素为负时结果为 0）。

solve1 采用经典的分治合并法，结构体 Node 存储区间的四个关键信息：前缀最大和（h） 、区间最大子段和（j） 、后缀最大和（m） 、区间总和（w） 。合并操作 operator+ 可在 O(1) 内完成。
solve2 同样分治，但合并时通过两个循环分别求左半部分的最大后缀和 与右半部分的最大前缀和，合并代价与区间长度成正比。

判断题答案及解析

程序总是会正常执行并输出两行两个相等的数。
- 当 (n \ge 1) 时，两函数均递归计算最大子段和，结果相等且非负。
- 当 (n = 0) 时，solve1(1,0) 执行第 28 行返回 Node(-1,-1,-1,-1)，.j = -1；solve2(1,0) 执行第 38 行返回 -1。输出均为 -1，仍相等。
- 程序无崩溃风险，递归深度仅 (\log n)，数组范围安全。故总是输出两个相等的数 。
  答案：A
第 28 行与第 38 行分别有可能执行两次及以上。
- 递归过程中，划分区间 j = (h+m)>>1 保证左右子区间均非空（当 h < m 时，j ≥ h 且 j < m）。因此内部递归不会出现 h > m 的情况。
- 仅当初始调用 h > m（如 n = 0）时，各执行一次 。不可能执行两次或以上。
  答案：B
当输入为 5 -10 11 -9 5 -7 时，输出的第二行为 7。
- 数组：-10, 11, -9, 5, -7。
- 最大子段和显然是单独元素 11（或 11 -9 +5 = 7 更小），故结果应为 11。
- 第二行是 solve2 的输出，应为 11，而非 7。
  答案：B

单选题答案及解析

solve1(1, n) 的时间复杂度
- 递归式 (T(n) = 2T(n/2) + O(1))，合并操作为常数时间。由主定理，时间复杂度为 O(n) 。
  答案：B
solve2(1, n) 的时间复杂度
- 递归式 (T(n) = 2T(n/2) + O(n))（两个循环各扫描半个区间），由主定理，时间复杂度为 O(n log n) 。
  答案：C
当输入为 10 -3 2 10 0 -8 9 -4 -5 9 4 时，输出的第一行
- 数组：-3, 2, 10, 0, -8, 9, -4, -5, 9, 4。
- 枚举连续子段，最大和为 2 + 10 + 0 -8 + 9 -4 -5 + 9 + 4 = 17（下标 2~10）。
- solve1(1,n).j 即此最大子段和，结果为 17 。
  答案：B

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}