什么是动态规划（DP）？（C++版）

动态规划基本概念

动态规划是一种解决复杂问题的优化技术，通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来避免重复计算。适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划实现步骤

问题分析 明确问题的状态定义，确定状态转移方程，识别边界条件。例如在斐波那契数列中，状态定义为dp[i]表示第i项的值，状态转移方程为dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。

初始化DP表 根据问题需求创建一维或二维数组存储中间结果。初始化边界条件，如斐波那契数列中dp[0] = 0和dp[1] = 1。

填充DP表 按顺序或逆序填充DP表，确保在计算当前状态时所需的前驱状态已被计算。例如斐波那契数列从i=2开始迭代至目标值。

提取结果 DP表的最后一个元素或特定位置通常为最终解。例如斐波那契数列返回dp[n]。

经典问题示例

斐波那契数列

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int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    int dp[n+1];
    dp[0] = 0; dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

最长公共子序列（LCS）

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int lcs(string X, string Y) {
    int m = X.length(), n = Y.length();
    int dp[m+1][n+1];
    for (int i = 0; i <= m; ++i) {
        for (int j = 0; j <= n; ++j) {
            if (i == 0 || j == 0) dp[i][j] = 0;
            else if (X[i-1] == Y[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[m][n];
}

优化技巧

空间优化 对于某些问题，可通过滚动数组或压缩状态减少空间复杂度。例如斐波那契数列只需保存前两个状态：

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int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    int prev = 0, curr = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int next = prev + curr;
        prev = curr;
        curr = next;
    }
    return curr;
}

备忘录法 自顶向下递归配合缓存已计算结果，避免重复计算：

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unordered_map<int, int> memo;
int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo.find(n) != memo.end()) return memo[n];
    return memo[n] = fib(n-1) + fib(n-2);
}

常见应用场景

背包问题（01背包、完全背包）
矩阵链乘法
最短路径问题（Floyd-Warshall算法）
字符串编辑距离
股票买卖问题

通过系统性地分解问题、存储中间结果和构建状态转移方程，动态规划能高效解决许多优化问题。