Climbing Stairs 基本动态规划：一维--力扣101算法题解笔记

7.2Climbing Stairs 基本动态规划：一维

基本动态规划概念了解

这里我们引用一下维基百科的描述："动态规划（Dynamic Programming, DP）在查找有很多

重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问

题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划

保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间......动态规划只能应用于有最优子结

构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解（对有些问题这个要求并不能完

全满足，故有时需要引入一定的近似）。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。"

通俗一点来讲，动态规划和其它遍历算法（如深度优先搜索）都是将原问题拆成多个子问题

然后求解，它们之间最本质的区别是，动态规划保存子问题的解，避免重复计算。解决动态规

划问题的关键是找到状态转移方程，这样我们可以通过计算和储存子问题的解来求解最终问题。

同时，我们也可以对动态规划进行空间压缩，起到节省空间消耗的效果。这一技巧笔者将在

之后的题目中介绍。

在一些情况下，动态规划可以看成是带有状态记录（memoization）的优先搜索。状态记录的

意思为，如果一个子问题在优先搜索时已经计算过一次，我们可以把它的结果储存下来，之后遇

到该子问题的时候可以直接返回储存的结果。动态规划是自下而上的，即先解决子问题，再解

决父问题；而用带有状态记录的优先搜索是自上而下的，即从父问题搜索到子问题，若重复搜索

到同一个子问题则进行状态记录，防止重复计算。如果题目需求的是最终状态，那么使用动态搜

索比较方便；如果题目需要输出所有的路径，那么使用带有状态记录的优先搜索会比较方便。

题目描述

给定第n节台阶，每次可以走一步或走两步，求一共有多少种方式可以走完这些台阶。

输入输出样例

Input ：3

Output：3

在这个样例中，一共有三种方法走完这三节台阶，每次走一步；先走一步，再走两步；先走两步，再走一步

题解

这个题难度还可以，就是一个十分经典的斐波那契数列题。定义一个数组dp。dp $i$ 表示走到第i节的方法数。因为我们每次可以走一步或者两步。所以第i节可以从第i-1或i-2节到达。换句话说，走到第i节的方法数即为走到第i-1节的方法数加上走到第i-2节的方法数。这样我们就得到了状态转移方程dp【i】 = dp【i-1】+dp【i-2】

发现了吗？dp【i】只和dp【i-1】和dp【i-2】有关。那就只用两个变量dp【i-1】和dp【i-2】来存储，是不是又降低了空间复杂度。

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2)  return n;
    int pre2 = 1, pre1 = 2, cur;
    for (int i = 2; i < n; ++i) {
        cur = pre1 + pre2;
        pre2 = pre1;
        pre1 = cur;
    }
    return cur;
}

int main() {
    int n = 3;
    cout << climbStairs(n) << endl;
    return 0;
}