文章目录
- 线索栏
- 笔记栏
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- [1. 补码的定义与解释](#1. 补码的定义与解释)
- [2. 补码的表示范围与唯一性](#2. 补码的表示范围与唯一性)
- [3. 关键数值与位模式（图2-14总结）](#3. 关键数值与位模式（图2-14总结）)
- [4. C语言实现与可移植性](#4. C语言实现与可移植性)
- [5. 旁注精要](#5. 旁注精要)
- 6.练习题
- 总结栏
线索栏
- 补码编码的数学定义是什么？公式 B 2 T w B2T_w B2Tw如何解释？
- 在补码中，最高有效位（符号位）的权重是多少？它如何决定数值的正负？
- 给定一个位向量，如何手动计算其补码值？（请以 [1011]为例）
- w位补码能表示的范围是多少？ T M i n w TMin_w TMinw和 T M a x w TMax_w TMaxw的位模式与数值是什么？为什么范围是不对称的？
- 函数 B 2 T w B2T_w B2Tw是否也是双射？其反函数是什么？
- 对于不同的字长（w=8,16, 32, 64），关键的数值（UMax, TMin, TMax, -1, 0）是多少？它们的十六进制和二进制模式有何规律？
- （旁注）为什么需要 stdint.h中的 intN_t类型？如何正确打印这些类型的值？
- （旁注）除了补码，有符号数还有哪两种表示方法？它们的定义和主要缺点是什么？
笔记栏
1. 补码的定义与解释
1）数学定义
对于位向量 x ⃗ = [ x w − 1 , x w − 2 , . . . , x 0 ] \vec{x}=[x_{w−1},x_{w−2},...,x_0] x =[xw−1,xw−2,...,x0]，其表示的补码值为： B 2 T w ( x ⃗ ) ≐ − x w − 1 ⋅ 2 w − 1 + i = ∑ i = 0 w − 2 x i ⋅ 2 i B2T_w (\vec{x})\doteq−x_{w−1} \cdot2^{w−1}+i=\sum_{i=0}^{w-2} x_{i} \cdot2i B2Tw(x )≐−xw−1⋅2w−1+i=i=0∑w−2xi⋅2i
2）核心思想
最高有效位（MSB） x w − 1 x_{w−1} xw−1作为符号位，权重为 − 2 w − 1 −2^{w−1} −2w−1（负权重）。其余位权重为正，与无符号编码相同。
（1）符号位 = 0：值为非负（0∼ 2 w − 1 2^{w−1} 2w−1−1）。
（2）符号位 = 1：值为负（ − 2 w − 1 −2^w−1 −2w−1∼−1）。
3）计算示例（w=4）
B 2 T 4 B2T_4 B2T4([0001]) = 0*(-8) + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 1
B 2 T 4 B2T_4 B2T4([0101]) = 0*(-8) + 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 5
B 2 T 4 B2T_4 B2T4([1011]) = 1*(-8) + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = -5
B 2 T 4 B2T_4 B2T4([1111]) = 1*(-8) + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = -1
2. 补码的表示范围与唯一性
1）取值范围
（1）最小值 T M i n w TMin_w TMinw：位模式 [10...0]，值为 − 2 w − 1 −2^{w−1} −2w−1。
（2）最大值 T M a x w TMax_w TMaxw：位模式 [01...1]，值为 2 w − 1 2^{w−1} 2w−1−1。
（3）示例 (w=4)： T M i n 4 TMin_4 TMin4 = -8([1000]), T M a x 4 TMax_4 TMax4 = 7([0111])。
2）不对称性
∣ T M i n w TMin_w TMinw∣=∣ T M a x w TMax_w TMaxw∣+1。因为0占用了非负数的一个编码，导致负数比正数多一个。
3）唯一性（双射）
函数 B 2 T w B2T_w B2Tw 是位模式到区间 [ T M i n w TMin_w TMinw, T M a x w TMax_w TMaxw]的一一映射。其反函数记为 T 2 B w T2B_w T2Bw 。
3. 关键数值与位模式（图2-14总结）
（1）TMin和 TMax的十六进制模式互补：TMin是最高位为1，其余为0；TMax是最高位为0，其余为1。
（2）-1 的位模式是全1，这与无符号数的最大值 UMax相同。这为类型转换埋下伏笔。
（3）UMax = 2 * TMax + 1。
4. C语言实现与可移植性
（1）几乎通用：几乎所有机器都用补码表示有符号整数。
（2）可移植性警告：C标准不强制要求补码。要编写最大可移植的代码，应仅依赖 <limits.h>定义的常量（如 INT_MAX），而非假设特定范围或表示。
（3）典型假设：多数程序假设补码和典型取值范围，这在实际中可广泛移植。
5. 旁注精要
1）确定大小的整数类型（<stdint.h>）
（1）类型：intN_t（有符号）, uintN_t（无符号），N通常为8, 16, 32, 64。
（2）用途：确保精确位宽，对网络协议、二进制文件格式等至关重要。
（3）打印：使用宏（如 PRId32, PRIu64）生成正确的 printf格式串，保证跨编译环境正确。
2）Java的规定
强制使用补码，且各整数类型位宽严格固定（如 byte为8位）。
3）其他有符号表示法
（1）反码：符号位权重为 − ( 2 w − 1 − 1 ) −(2^{w−1}−1) −(2w−1−1)。缺点：存在 +0([00...0]) 和 -0([11...1])。
（2）原码：最高位仅表示符号（0正1负），其余位表示绝对值。缺点：同样存在 +0和 -0。现代机器基本不用，但浮点数阶码部分使用。
6.练习题
练习题2.17
练习将十六进制数字解释为无符号数和补码数，并手动计算其十进制值。核心是理解同一串位，在不同解释（上下文）下，值不同。
练习题2.18
进一步练习根据补码编码公式 B 2 T w B2T_w B2Tw，将十六进制机器代码值转换为程序员可读的十进制值。这是理解机器级代码的基础。
总结栏
本节深入探讨了计算机表示有符号整数的标准方式------补码编码。
- 核心公式： B 2 T w ( x ) = − x w − 1 ∗ 2 w − 1 + Σ x i ∗ 2 i B2T_w(x) = -x_{w-1} * 2^{w-1} + Σ x_i *2^i B2Tw(x)=−xw−1∗2w−1+Σxi∗2i。其精髓在于赋予最高有效位负权重（ − 2 w − 1 -2^{w-1} −2w−1），从而统一了正负数的表示。
- 关键范围：
（1） T M i n w = − 2 w − 1 TMin_w = -2^{w-1} TMinw=−2w−1（模式：1后跟w-1个0）
（2） T M a x w = 2 w − 1 − 1 TMax_w = 2^{w-1} - 1 TMaxw=2w−1−1 （模式：0后跟w-1个1）
（3） 范围不对称（|TMin| =|TMax| + 1），这是由0的表示唯一性导致的。 - 重要模式：-1 表示为全1，0表示为全0。TMin和TMax的位模式互为"互补"。
- 唯一性：补码编码也是双射，保证了数值和位模式的一一对应。
- 编程实践：虽然补码无处不在，但C标准未强制规定，编写可移植代码应使用 <limits.h>和 <stdint.h>。Java则明确强制使用固定位宽的补码。
理解补码是理解整数运算、溢出和类型转换的基础。其设计巧妙之处在于，使用相同的加法器电路即可处理无符号数和有符号数（补码）的加法。