【题解】类欧几里得算法

题面

求，要求级别的时间解决。

通常。

洛谷模版链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5170

解析

（1）当或

可以理解为个先单独处理，分别从每个中拿出所有，也单独处理。

再将个剩下的和加起来。

（2）当且

设，代表循环内下取整可以取到的最大整数。

上面这句话的意思：当时，所有的都会被计入 1。

也就是说一个的，会被计入次，求出的值和原式相同。

分析 Iverson 括号的内部条件，

这样我们就得到了和有关的约束，原式变为：

将求和下标平移，将原式变成符合函数的形式：

（1）当或

（2）当且

，

这两种变换使参数变为，与欧几里得算法的辗转相除结构一致，从而保证的时间复杂度。

派生形式

函数的推导

（1）当或

（2）当且

设，代表循环内下取整可以取到的最大整数。

设，则原式为：

又因为：

所以，原式为：

函数的推导

（1）当或

设，，，，则有：

所以原式为：

（2）当且

因为，则原式为：

，设：

将求和下标平移，将原式变成符合函数的形式：

代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL P = 998244353;
LL i2 = 499122177, i6 = 166374059;   // 逆元

struct node {
    LL f, g, h;
};

node dfs(LL a, LL b, LL c, LL n) {
    if (n < 0) return {0, 0, 0};
    node res;
    LL qa = a / c, qb = b / c, ra = a % c, rb = b % c;
    if (a == 0) {
        res.f = (n + 1) * qb % P;
        res.g = n * (n + 1) % P * i2 % P * qb % P;
        res.h = (n + 1) * qb % P * qb % P;
    }
    else if (a >= c || b >= c){
        node no = dfs(ra, rb, c, n);
        res.f = (no.f + n * (n + 1) % P * i2 % P * qa % P + (n + 1) * qb % P) % P;
        res.g = (no.g + n * (n + 1) % P * (2 * n + 1) % P * i6 % P * qa % P
            + n * (n + 1) % P * i2 % P * qb % P) % P;
        res.h = (no.h + 2 * qa % P * no.g % P + 2 * qb % P * no.f % P +
            n * (n + 1) % P * (2 * n + 1) % P * i6 % P * qa % P * qa % P +
            n * (n + 1) % P * qa % P * qb % P + (n + 1) * qb % P * qb % P) % P;
    }
    else if (n == 0) {
		res.f = qb;
		res.g = 0;
		res.h = qb * qb % P;
	}
    else {
        LL m = (a * n + b) / c;
        node no = dfs(c, c - b - 1, a, m - 1);
        res.f = ((n * m % P - no.f) % P + P) % P;  
        LL term1 = m % P * n % P * (n + 1) % P * i2 % P;
        LL term2 = (no.f + no.h) % P * i2 % P;
        res.g = (term1 - term2 + P) % P;
        res.h = (n % P * m % P * (m + 1) % P
            - (2 * no.g) % P 
            - (2 * no.f) % P 
            - res.f + 4 * P) % P;
    }
    return res;
}

int main () {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int T;
    cin >> T;
    while (T --) {
        LL a, b, c, n;
        cin >> n >> a >> b >> c;
        node ans = dfs(a, b, c, n);
        cout << ans.f << " " << ans.h << " " << ans.g << "\n";
    }

    return 0;
}