一、题目解析
评分标准分为三个阶段：
阶段一（1~2赛季）：排名法
评委的排名 + 粉丝的排名 = 选手最终的 排名，而选手最终的排名越高，意味着表现越差，越应该被淘汰；
阶段二（3~27赛季）：百分比法
评委评分的百分比 + 粉丝评分的百分比 = 选手最终得分百分比 ，选手得分百分比越低，说明选手表现越差，越应该被淘汰；
阶段三（28~34赛季）：回归排名法+评委裁决制度
先按照阶段一的方法确定出排名最低的两位选手，然后评委裁决谁被淘汰。
二、第一问思路总结以及公式推导
往常的预测类问题都是已知一堆的和
，然后根据
去预测未知的
。但是，这道题是我们已知评委打分和淘汰结果，需要去估计粉丝的票数。相当于是已知一部分的
和所有的
，让我们预测另一部分
，而这种问题在数学上是"约束逆问题"。
"约束逆问题"的解的特征是：具有非唯一性，存在多组粉丝票数均满足约束
那么，我们可以利用淘汰约束缩小可行解的空间，同时引入正则化约束，最终通过Bayes方法量化确定性。（由于从一个点解预测为一个区域解，是唯一解，而Bayes方法能够量化区域解（最小的可行解空间））
将逆问题视为优化问题，求解可行解空间。
1.百分比法------对应的数据是连续数据
设定选手i的裁判得分百分比为，观众得分百分比为
，合并得分百分比为
，那么，我们可以得到
其中，，
那么，
可以看出，合并得分百分比是一个零和博弈的结构（可以理解为1号选手得分比例上升了，那么其他所有选手的得分百分比就下降了）
（1）我们构造一下约束条件：
1）淘汰约束：本周分数最低的选手淘汰出局
即，即
2）所有选手投票比例和为1：
3）非负性：
4）正则化边界：
令，取
根据正则化以及上述条件可知，V的可行域为 （n - 1）维的多面体
接下来，我们来构造目标函数：
（2）构造目标函数，主要依据启发性原则。
1）温和性原则：粉丝投票不能过于极端，要相对均匀，采用最大熵的原理，也就是说选择不确定性最大、最平坦的分布。
为了量化，可以找一个比较均匀的分布作为惩罚项。
2）相关性原理：认为粉丝投票与评委投票正相关，利用此原则作为软引导，优化目标函数
3）多样性原则：允许粉丝的偏好与评委不同，引入差异化项
最终，我们设计出的目标函数为：
即
其中，越大，解就越趋向于粉丝票数与评委成正相关；
越大，就越趋向于差异化。
根据可以看出，最终的问题是一个凸二次优化问题。
2.排名法------对应的数据是离散数据
设定第i名选手的最终排名为，评委打分排名为
，观众打分排名为
，那么有
同理，我们定义淘汰约束：
由于排名是离散的，其可行解是一个排序，而且粉丝排名数可能是
当以后显然使用穷举法不再合适。那么，我们采用如下策略：
1）当n < 8时，采用穷举法
2）当n 8时，采用蒙特卡洛模拟求解
3.最终，结合两种方法，使用Bayes模型进行量化不确定性
（1）问题形式化
我们有一个参数向量，代表
个选手的"真实实力"或"内在质量"。观测数据
包括：
-
粉丝投票结果
-
专家评分或其他约束条件
（2）贝叶斯框架建立
1）Likelihood
假设观测数据 在给定参数
下的分布为：
其中 是预测函数。在你提出的模型中，如果我们认为目标函数
反映数据拟合程度，可以将其负指数作为似然：
这里 控制数据拟合的精度。
2）后验分布
根据贝叶斯定理：
将似然和先验代入：
其中 控制先验强度。
（3）具体模型推导
1）完整目标函数形式
我们可以将其重新组织为：
其中：
-
-
-
2）先验分布选择
-
非负约束 ：
-
正则化边界 ：
-
独立性假设 ：
使用：
其中 是指示函数。
3）后验分布计算
后验分布为：
其中：
-
-
这是一个带有线性约束的指数族分布。
（4）不确定性量化方法
1）后验均值和协方差（解析近似）
如果忽略截断约束，后验近似为多元正态分布：
其中：
95%置信椭圆 ：
对于参数，边际分布为
，其
% 置信区间为：
其中对应 95% 置信水平。
2）考虑约束的采样方法（MCMC）
当约束重要时，使用马尔可夫链蒙特卡洛：
a） Metropolis-Hastings 算法
-
初始化
-
对于
-
从提议分布
-
计算接受概率：
-
以概率 接受
，否则
b）Gibbs 采样（如果条件分布可求）
对于每个 ，从其全条件分布采样：
（5）不确定性度量
1）后验汇总统计量
从后验样本 计算：
-
点估计：
-
后验均值：
-
后验中位数：各分量中位数
-
MAP估计：
-
-
不确定性度量：
-
标准差：
-
95%可信区间：
-
后验相关系数矩阵：
-
2）排名不确定性
由于应用涉及排名，可以计算：
-
排名概率矩阵
表示选手
-
预期排名分布 ：
对于每个选手
-
排名熵：
其中