【数论 等差数列】P9183 [USACO23OPEN] FEB B|普及+

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理

P9183 [USACO23OPEN] FEB B

题目描述

贝西和埃尔希正在密谋最终推翻他们的主人------农夫约翰！他们通过 N N N 条短信进行计划。他们的对话可以用一个长度为 N N N 的字符串 S S S 来表示。

其中 S i S_i Si 是字母 B或 E，这意味着第 i i i 条消息分别由贝西或埃尔希发送的。

然而，农夫约翰听说了这个消息，并试图拦截他们的谈话。因此，字符串 S S S 的一些字母是 F，这意味着农夫约翰混淆了信息，发件人未知（贝西、埃尔希都有可能）。
注：约翰没有发送信息！他只是在干扰奶牛间的通话！

未混淆对话的兴奋程度是一只奶牛重复发送信息的次数 。也就是说，子串 BB或 EE在 S S S 中出现的次数。你想找到原始信息的兴奋程度，但你不知道约翰的信息中哪一条实际上是贝西或埃尔希的。在所有可能的情况下，从小到大输出所有可能的兴奋程度。

输入格式

第一行：一个整数 N N N（通话长度）。

第二行：一个字符串 S S S（通话内容）。

输出格式

第一行：输出一个整数 K K K，为不同 兴奋程度的可能数量。

随后 K K K 行：每行一个整数，为每种兴奋程度。注意按照从小到大的顺序输出。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
BEEF

输出 #1

2
1
2

输入输出样例 #2

输入 #2

9
FEBFEBFEB

输出 #2

2
2
3

输入输出样例 #3

输入 #3

10
BFFFFFEBFE

输出 #3

3
2
4
6

说明/提示

1 ≤ N ≤ 2 × 10 5 1 \le N \le 2 \times 10^5 1≤N≤2×105。

• 测试点 4~8： N ≤ 10 N \le 10 N≤10
• 测试点 9~20：无额外限制。

P9183 [USACO23OPEN] FEB B

令m个F混淆前是s。如果s[0]=s[m - 1]，则s的幸福度可能为 f 1 = m − 1 , m − 3 ⋯ f1={m-1,m-3 \cdots } f1=m−1,m−3⋯,最小值为0或1;如果 s [ 0 ] ≠ s [ m − 1 ] , 则 s 的幸福度可以为 f 2 = m − 2 , m − 4 ⋯ s[0]\neq s[m - 1], 则s的幸福度可以为f2 = { m - 2, m - 4 \cdots } s[0]=s[m−1],则s的幸福度可以为f2=m−2,m−4⋯,最小值为0或1。

两者是等差数量，公差-2。最小值大于等于0。s前面的字符为ch1,后面的字符为ch2。
c h 1 ≠ c h 2 ch1 \neq ch2 ch1=ch2，如果s[0]=s[m - 1]，则s[0] 和ch1，s[m - 1] 和ch2必定一个相等，一个不等。即f1+1，最大值m, 最小值1或2。

如果 s [ 0 ] ≠ s [ m − 1 ] s[0]\neq s[m - 1] s[0]=s[m−1]，则s[0] 和ch1，s[m - 1] 和ch2都相等，或都不等。即f2+0,f2+2。即最大值m，最小值0或1。

** 结论一**： c h 1 ≠ c h 2 ch1 \neq ch2 ch1=ch2,幸福度的可能值为 0 或 1 s i m m ，公差为 2 0或1 sim m，公差为2 0或1simm，公差为2。m为1，无需特殊处理。

如果ch1等于ch2：如果s[0]=s[m - 1],则s[0] 和ch1，s[m - 1] 和ch2都相等，或都不等。f1+0和f1+2。最大值m+1，最小值0或1。

如果 s [ 0 ] ≠ s [ m − 1 ] s[0]\neq s[m - 1] s[0]=s[m−1],则s[0] 和ch1，s[m - 1] 和ch2必定一个相等，一个不等。即j2+1。最大值m-1，最小值1或2。

** 结论二**：最大值m+1，最小值0或1，公差2.

** 结论三**：如果ch1,ch2都不存在，即整个字符串就是s。最大值m-1，最小值0，公差1。

** 性质一**：如果t的幸福度是x1，将t的A、B互换幸福度不变。
结论四 ： 如果ch1和ch2有一个不存在，即s是整个字符串的前缀或后缀。结论三的结果+0，或+1。即 0 s i m m ，公差 1 0 sim m，公差1 0simm，公差1。

一个公差为K的等差数量，最小值为i1,最大值为a1。一个公差为K的等差数列，最小值为i2,最大值为a2。

两者相加可能值构成的等差数列，公差为K，最小值i1+i2,最大值a1+a2。

一个公差为2的等差数量，最小值为i1,最大值为a1。一个公差为1的等差数列，最小值为i3,最大值为a3。

如果i3等于a3（常数)，则相加可能得结果仍然是公差为2的等差数量，最小值i1+i3,最大值a1+i3。

如果i3不等于a3，则结果的公差为1，最小值i1+i3，最大值a1+a3。
i 1 + i 3 , i 1 + ( i 3 + 1 ) , ( i 1 + 2 ) + i 3 , ( i 1 + 2 ) + ( i 3 + 1 ) ⋯ + a 1 + i 3 , a 1 + （ i 3 + 1 ) , a 1 + （ i 3 + 2 ) ⋯ {i1+i3,i1+(i3+1),(i1+2)+i3,(i1+2)+(i3+1)\cdots }+ {a1+i3,a1+（i3+1),a1+（i3+2)\cdots } i1+i3,i1+(i3+1),(i1+2)+i3,(i1+2)+(i3+1)⋯+a1+i3,a1+（i3+1),a1+（i3+2)⋯

先处理公差2的，再处理公差1（前缀、后缀), 最后处理常数（初始幸福度) 这样要么公差相等，要么公差为2,1。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class CCreatePrime {
public:
	CCreatePrime(int iMax) :m_isPrime(iMax + 1, true)
	{
		m_isPrime[0] = m_isPrime[1] = false;
		for (int i = 2; i <= iMax; i++)
		{
			if (m_isPrime[i])
			{
				m_vPrime.emplace_back(i);
			}
			for (const auto& n : m_vPrime)
			{
				if ((long long)n * i > iMax) { break; }
				m_isPrime[n * i] = false;
				if (0 == i % n) { break; }
			}
		}
	}
	vector<int> m_vPrime;
	vector<bool> m_isPrime;
};

template<class T = int>
class CDiscretize //离散化
{
public:
	CDiscretize(vector<T> nums)
	{
		sort(nums.begin(), nums.end());
		nums.erase(std::unique(nums.begin(), nums.end()), nums.end());
		m_nums = nums;
		for (int i = 0; i < nums.size(); i++)
		{
			m_mValueToIndex[nums[i]] = i;
		}
	}
	int operator[](const T value)const
	{
		auto it = m_mValueToIndex.find(value);
		if (m_mValueToIndex.end() == it)
		{
			return -1;
		}
		return it->second;
	}
	int size()const
	{
		return m_mValueToIndex.size();
	}
	vector<T> m_nums;
protected:
	unordered_map<T, int> m_mValueToIndex;
};

template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
	{

	}
	C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this /= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(T2 n)const
	{
		C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	T1 ToInt()const
	{
		return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
	}
private:
	T1 m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	vector<int> Ans(const string& s) {
		const int N = s.size();
		int mi2 = 0, ma2 = 0;
		int mi1 = 0, ma1 = 0;
		int x0 = 0;
		for (int i = 1; i < N; i++) {
			if (s[i] != s[i - 1]) { continue; }
			x0 += ('F' != s[i]);
		}
		vector<pair<int, int>> beginLen;
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			if ('F' != s[i]) { continue; }
			if (beginLen.size() && (beginLen.back().first + beginLen.back().second == i)) {
				beginLen.back().second++;
			}
			else {
				beginLen.emplace_back(i, 1);
			}
		}
		for (const auto& [left, len] : beginLen) {
			const int r = left + len - 1;
			const bool b1 = (0 != left);
			const bool b2 = (N != r + 1);
			if (b1 && b2) {
				if (s[left - 1] == s[r + 1]) {
					ma2 += (len + 1);
					mi2 += (len + 1) % 2;
				}
				else {
					ma2 += len;
					mi2 += len % 2;
				}
			}
			else if ((!b1) && (!b2)) {
				ma1 += (len - 1);
			}
			else {
				ma1 += len;
			}
		}
		mi1 += x0; ma1 += x0;
		vector<int> ans;
		if (mi1 == ma1) {
			for (int i = mi2; i <= ma2; i += 2) {
				ans.emplace_back(i + mi1);
			}
		}
		else {
			for (int i = mi1 + mi2; i <= ma1 + ma2; i++) {
				ans.emplace_back(i);
			}
		}
		return ans;
	}
};


int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	
	int N;
	cin >> N ;
	string s;
	cin >> s;
#ifdef _DEBUG		
		//printf("N=%d", N);
		//Out(que, ",que=");
		//Out(a, ",a=");
		//Out(B, "B=");
		//Out(que, "que=");
		//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
		auto res = Solution().Ans(s);
		cout << res.size() << "\n";
		for (const auto& i : res) {
			cout << i << "\n";
		}
	return 0;
}

单元测试

	string s;
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			s = "BBEE";
			auto res = Solution().Ans(s);
			AssertEx({ 2 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod02)
		{
			s = "BBF";
			auto res = Solution().Ans(s);
			AssertEx({ 1,2 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod03)
		{
			s = "BEEF";
			auto res = Solution().Ans(s);
			AssertEx({ 1,2 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod04)
		{
			s = "FEBFEBFEB";
			auto res = Solution().Ans(s);
			AssertEx({ 2,3 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod05)
		{
			s = "BFFFFFEBFE";
			auto res = Solution().Ans(s);
			AssertEx({ 2,4,6 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod06)
		{
			s = "FFF";
			auto res = Solution().Ans(s);
			AssertEx({0, 1,2 }, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。