DS进阶：红黑树

Hello大家好！很高兴与大家见面！给生活添点快乐，开始今天的编程之路。

我的博客: <但愿.

我的专栏: C语言、题目精讲、算法与数据结构、C++

欢迎点赞，关注

前言

一红黑树的概念

二红黑树的规则

2.1红黑树的规则

2.2红黑树的规则的作用

三红黑树的实现

3.1红黑树的结构

3.2红黑树的插入

3.2.1红黑树插入规则

3.2.2红黑树插入之后怎么保证4条规则成立

3.2.3红黑树插入的代码

3.3红黑树的查找

3.4红黑树的验证

3.4.1每条规则的检查方法

3.4.2红黑树的验证代码实现

3.5红⿊树的删除

3.6红黑树的整体代码

四红黑树的性能分析

五 AVL和红黑树性能比较

前言

前面我们讲了AVL树，AVL树是一颗通过旋转来控制平衡因子的高度平衡的搜索二叉树，但是由于其高度差不能>=2，也就意味着其插入效率可能由于要经过很多的旋转调整平衡从而导致效率大大降低，但从另一方面想由于其高度差<2所以在查找功能方面又比较高效，所以AVL树是一个相对极端的树。为了解决这一问题找到一种插入查找功能的相对不错的结构而发明了红黑树。

一红黑树的概念

红⿊树底层是⼀棵⼆叉搜索树，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊或者⿊⾊(前面的AVL树是通过平衡因子控制，而红黑树是通过颜色来控制，牢牢记住AVL始终要记得更新平衡因子而红黑树始终要更新其颜色)。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束， 红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍 ，因⽽是接近平衡的。
那怎么保证 红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍 的呢？这时候就要引入红黑树的规则了：

二红黑树的规则

2.1红黑树的规则

每个结点不是红⾊就是⿊⾊

根结点是⿊⾊的

如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是⿊⾊的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点。

对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点
注意这里计算红黑树中每条路径中黑色节点的个数时，每条路径一定要数到空节点结束(不然很容易出错)。这里有一种更好的方法，我们把空节点当作黑节点(每条路径结束一定时空节点，也就是虚拟的给每条路径增加了一个黑节点并不影响是否为红黑树)这一方法在《算法导论》等书籍上有即(NIL)节点。

路径的数法

2.2红黑树的规则的作用

通过上面四条规则就能保证红⿊树中没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，这时候就又一个问题在插入一个节点后是保证红⿊树中没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，还是4条规则呢？记住这里是保证4条规则因为保证4条规则就一定保证了红⿊树中没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍；但是只保证红⿊树中没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍这个基本特征，也可能不满足红黑树的4条规则。

三红黑树的实现

3.1红黑树的结构

cpp 复制代码

//定义节点颜色
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

//定义节点结构
// red black
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;//AVL树是平衡因子这里换成颜色

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}
};

//定义红黑树的结构
template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;

private:
Node* _root = nullptr;
};

3.2红黑树的插入

红黑树的底层也是一颗搜索二叉树，所以其插入思路和AVL树大差不差，只是AVL是通过控制平衡因子来调节平衡的，而红黑树是通过控制节点的颜色来控制红黑树。

3.2.1红黑树插入规则

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊，插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则。
2. 如果是空树插⼊，新增结点是⿊⾊结点。如果是⾮空树插⼊，新增结点必须红⾊结点，因为⾮空树插⼊，新增⿊⾊结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的。
3. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点(如果插入的节点是黑节点就只有一条路径增加了一个黑色节点，违法了规则4并且此时就很难维护了，所以这里插入的新节点是红节点），如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束
4. ⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。进⼀步分析，c是红⾊，p为红，g必为⿊，这三个颜⾊都固定了，关键的变化看u的情况，需要根据u分情况分别处理。
说明：下图中假设我们把新增结点标识为c (cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为
g(grandfather)，p的兄弟标识为u（uncle）

3.2.2红黑树插入之后怎么保证4条规则成立

下面我们的cur的u(叔叔节点)进行分别讨论：

【图解】

3.2.3红黑树插入的代码

cpp 复制代码

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
        //如果为空树自己插入，并将节点颜色初始化为黑色
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
        //不是空树找到插入位置插入一个红节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		// 新插入红色节点
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

        //如果p为黑色自己结束，所以这里进入循环的条件是p存在并且p的颜色是红色
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
            //先讨论p是g的左节点，p是有的右节点处理方法一样只是旋转方向可能不同
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;//定义叔叔节点

				// 1、u存在且为红->将p和u变成黑丝，g变成红色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else  // 2、u不存在或者u存在且为黑
				{
                     //如果c,p,g在同一条直线上进行单旋+变色，哪种单旋画c,p,g,u关系图即可知道
					if (cur == parent->_left)
					{
						//     g
						//  p     u
						//c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else//如果c,p,g不在同一条直线上进行双旋+变色哪种双旋画c,p,g,u关系图即可知道
					{
						//     g
						//  p     u
						//     c

						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
			else // (parent == grandfather->_right)
			{
			
				Node* uncle = grandfather->_left;

				// 1、u存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else  // 2、u不存在或者u存在且为黑
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						//     g
						//  u    p 
						//         c
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//     g
						//  u     p
						//     c

						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
					
			}
		}

         //将跟节点变成红色
		_root->_col = BLACK;

		return true;
	}

private:
void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppnode;
		}
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppnode;
		}
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

3.3红黑树的查找

这里和搜索二叉树的查找逻辑一样。

cpp 复制代码

Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return nullptr;
	}

3.4红黑树的验证

这里我们验证4条规则因为保证4条规则就一定保证了红⿊树中没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍；但是只保证红⿊树中没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍这个基本特征，也可能不满足红黑树的4条规则。

3.4.1每条规则的检查方法

规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。

规则2直接检查根即可

规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。

规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(⿊⾊结点数量)，前序遍历遇到⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的⿊⾊结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值，依次⽐较即可。

3.4.2红黑树的验证代码实现

cpp 复制代码

bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
            //将这条路径中黑色节点的个数和参考值进行比较
			if (blackNum != refNum)
			{
				cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blackNum;//求条路径中黑色节点的个数
		}
          
         //递归检查左右子树即可
		return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}

	bool IsBalanceTree()
	{
        //空树也是红黑树
		if (_root == nullptr)
			return true;
        //规则1，根节点是红色就变色红黑树
		if (_root->_col == RED)
			return false;

		// 参考值-计算一条路径中黑色节点的个数，这里计算最两边的更方便
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0, refNum);
	}

3.5红⿊树的删除

红⿊树的删除本章节不做讲解(不是很重要，但是思路挺好可以去了解了解），有兴趣的同学可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》中讲解。

3.6红黑树的整体代码

cpp 复制代码

//定义节点颜色
enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

//定义节点结构
// red black
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因子可以看到
	pair<K, V> _kv;
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	Colour _col;//AVL树是平衡因子这里换成颜色

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _col(RED)
	{}
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
        //如果为空树自己插入，并将节点颜色初始化为黑色
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
        //不是空树找到插入位置插入一个红节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		// 新插入红色节点
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;

		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

        //如果p为黑色自己结束，所以这里进入循环的条件是p存在并且p的颜色是红色
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
            //先讨论p是g的左节点，p是有的右节点处理方法一样只是旋转方向可能不同
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;//定义叔叔节点

				// 1、u存在且为红->将p和u变成黑丝，g变成红色
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else  // 2、u不存在或者u存在且为黑
				{
                     //如果c,p,g在同一条直线上进行单旋+变色，哪种单旋画c,p,g,u关系图即可知道
					if (cur == parent->_left)
					{
						//     g
						//  p     u
						//c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else//如果c,p,g不在同一条直线上进行双旋+变色哪种双旋画c,p,g,u关系图即可知道
					{
						//     g
						//  p     u
						//     c

						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
			else // (parent == grandfather->_right)
			{
			
				Node* uncle = grandfather->_left;

				// 1、u存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					// 变色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					//继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else  // 2、u不存在或者u存在且为黑
				{
					if (cur == parent->_right)
					{
						//     g
						//  u    p 
						//         c
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//     g
						//  u     p
						//     c

						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);

						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
					
			}
		}

         //将跟节点变成红色
		_root->_col = BLACK;

		return true;
	}
    
    //红黑树的排序
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 前序遍历走到空时，意味着一条路径走完了
            //将这条路径中黑色节点的个数和参考值进行比较
			if (blackNum != refNum)
			{
				cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

		// 检查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不一定存在，反过来检查父亲就方便多了
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
		{
			++blackNum;//求条路径中黑色节点的个数
		}
          
         //递归检查左右子树即可
		return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}

	bool IsBalanceTree()
	{
        //空树也是红黑树
		if (_root == nullptr)
			return true;
        //规则1，根节点是红色就变色红黑树
		if (_root->_col == RED)
			return false;

		// 参考值-计算一条路径中黑色节点的个数，这里计算最两边的更方便
		int refNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				++refNum;
			}
			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0, refNum);
	}

    //求高度
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

    //求节点个数
	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}
   
    //查找
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return nullptr;
	}

private:
	int _Size(Node* root)
	{
		return root == nullptr ? 0 :
			_Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppnode;
		}
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppnode;
		}
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

四红黑树的性能分析

假设N是红⿊树树中结点数量，h最短路径的⻓度，那么 , 由此推出h大约等于log(N)，也就是意味着红⿊树增删查改最坏也就是⾛最⻓路径2*log(N),那么时间复杂度还是Olog(N)。

五 AVL和红黑树性能比较

本篇文章就到此结束，欢迎大家订阅我的专栏，欢迎大家指正，希望有所能帮到读者更好了解C++STL知识，觉得有帮助的还请三联支持一下~后续会不断更新算法与数据结构相关知识，我们下期再见。

DS进阶：红黑树

Hello大家好！ 很高兴与大家见面！ 给生活添点快乐，开始今天的编程之路。

前言

一 红黑树的概念

二 红黑树的规则

2.1红黑树的规则

2.2红黑树的规则的作用

三 红黑树的实现

3.1红黑树的结构

3.2红黑树的插入

3.2.1红黑树插入规则

3.2.2红黑树插入之后怎么保证4条规则成立

3.2.3红黑树插入的代码

3.3红黑树的查找

3.4红黑树的验证

3.4.1每条规则的检查方法

3.4.2红黑树的验证代码实现

3.5红⿊树的删除

3.6红黑树的整体代码

四 红黑树的性能分析

五 AVL和红黑树性能比较

Hello大家好！很高兴与大家见面！给生活添点快乐，开始今天的编程之路。

一红黑树的概念

二红黑树的规则

三红黑树的实现

四红黑树的性能分析