【算法】模运算的技巧

同余定理

如果 a - b 可以被 p 整除，那么 a % p = b % p。反之亦成立。

负数模正数的结果和修正

在 C++ 或 java 中，一个负数模上一个正数的结果是负数，正数模上正数的结果是正数。现在修正为不管是正数还是负数模上正数的结果都是正数。即：当计算时存在减法时，结果可能是负数，如果需要补正，就需要"模加模"的技巧：

（（a - b）%p + p）% p ，即 （（a - b）%p + p）% p 等于 （a - b）%p 的绝对值。

只有加法和乘法时

计算的过程如果只有加法和乘法，并且要对最终结果取模，那么中间过程可以随便取模（位置、次数随意，可以处处取模）。在编程中的意义是可以防止中间结果溢出。

#include <stdio.h>

int main() {
   
    printf("%d\n", (1 + 2 + 3 * 4 + 5 + 6 + 7 + 8 * 9 + 10 + 11 * 12 + 13 + 15) % 5); // 输出 0

    // 在任意位置取模
    printf("%d\n", (1 + 2%5 + 3 * 4 + 5 + 6%5 + 7 + 8 * 9 + 10%5 + 11 * 12 + 13 + 15) % 5); // 输出 0

    return 0;
}

存在除法时

计算的过程如果存在除法，并且要对最终结果取模，那么中间过程如果随便取模，会造成结果错误。解决方法是求逆元。