一、反三角函数
1. 四大反三角函数性质总表
| 函数 | 定义域 | 值域（主值区间） | 单调性 | 奇偶性 |
|---|---|---|---|---|
| y=arcsinxy = \arcsin xy=arcsinx | [−1,1][-1, 1][−1,1] | [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right][−2π,2π] | 单调递增 | 奇函数 |
| y=arccosxy = \arccos xy=arccosx | [−1,1][-1, 1][−1,1] | [0,π][0, \pi][0,π] | 单调递减 | 非奇非偶 |
| y=arctanxy = \arctan xy=arctanx | R\mathbb{R}R | (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)(−2π,2π) | 单调递增 | 奇函数 |
| y=arccot xy = \text{arccot} \, xy=arccotx | R\mathbb{R}R | (0,π)(0, \pi)(0,π) | 单调递减 | 非奇非偶 |
2. 重要恒等式
arcsinx+arccosx=π2,x∈[−1,1]\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1, 1]arcsinx+arccosx=2π,x∈[−1,1]
arctanx+arccot x=π2,x∈R\arctan x + \text{arccot} \, x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}arctanx+arccotx=2π,x∈R
arctanx+arctan1x={π2,x>0−π2,x<0\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \begin{cases} \dfrac{\pi}{2}, & x > 0 \\ -\dfrac{\pi}{2}, & x < 0 \end{cases}arctanx+arctanx1=⎩ ⎨ ⎧2π,−2π,x>0x<0
3. 完美区间（主值区间）
| 三角函数 | 完美区间 | 反三角化简条件 |
|---|---|---|
| sinx\sin xsinx | [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right][−2π,2π] | arcsin(sinx)=x\arcsin(\sin x) = xarcsin(sinx)=x |
| cosx\cos xcosx | [0,π][0, \pi][0,π] | arccos(cosx)=x\arccos(\cos x) = xarccos(cosx)=x |
| tanx\tan xtanx | (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)(−2π,2π) | arctan(tanx)=x\arctan(\tan x) = xarctan(tanx)=x |
核心原则：
- 反三角在内部 ：sin(arcsinx)=x\sin(\arcsin x) = xsin(arcsinx)=x（x∈[−1,1]x \in [-1, 1]x∈[−1,1] 时恒成立）
- 反三角在外部 ：arcsin(sinx)=x\arcsin(\sin x) = xarcsin(sinx)=x（仅当 xxx 在完美区间内成立）
4. 经典例题
例1：复合函数化简
题目： 已知 y=arccos(cosx)y = \arccos(\cos x)y=arccos(cosx)，x∈[−π2,π2]x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]x∈[−2π,2π]，求 yyy 的表达式。
解：
当 x∈[0,π2]x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]x∈[0,2π] 时：
y=arccos(cosx)=xy = \arccos(\cos x) = xy=arccos(cosx)=x
当 x∈[−π2,0)x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, 0\right)x∈[−2π,0) 时，利用 cosx=cos(−x)\cos x = \cos(-x)cosx=cos(−x)：
y=arccos(cosx)=arccos(cos(−x))=−xy = \arccos(\cos x) = \arccos(\cos(-x)) = -xy=arccos(cosx)=arccos(cos(−x))=−x
综上：
y=∣x∣,x∈[−π2,π2]y = |x|, \quad x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]y=∣x∣,x∈[−2π,2π]
例2：反三角函数代数化简
题目： 设 t=arcsinxt = \arcsin xt=arcsinx，化简下列各式（x∈(−1,1)x \in (-1, 1)x∈(−1,1)）。
| 式子 | 化简结果 | 说明 |
|---|---|---|
| sint\sin tsint | xxx | 定义直接得出 |
| cost\cos tcost | 1−x2\sqrt{1 - x^2}1−x2 | t∈(−π2,π2)t \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)t∈(−2π,2π)，cost>0\cos t > 0cost>0 |
| tant\tan ttant | x1−x2\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}1−x2 x | x≠±1x \neq \pm 1x=±1 |
| cott\cot tcott | 1−x2x\dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x}x1−x2 | x≠0x \neq 0x=0 |
例3：二倍角化简
题目： 化简 sin(2arcsinx)\sin(2\arcsin x)sin(2arcsinx)
解： 令 t=arcsinxt = \arcsin xt=arcsinx，则：
sin(2arcsinx)=sin2t=2sintcost=2x1−x2\sin(2\arcsin x) = \sin 2t = 2\sin t \cos t = 2x\sqrt{1 - x^2}sin(2arcsinx)=sin2t=2sintcost=2x1−x2
常见变式汇总：
| 式子 | 化简结果 |
|---|---|
| sin(2arcsinx)\sin(2\arcsin x)sin(2arcsinx) | 2x1−x22x\sqrt{1 - x^2}2x1−x2 |
| cos(2arcsinx)\cos(2\arcsin x)cos(2arcsinx) | 1−2x21 - 2x^21−2x2 |
| sin(2arccosx)\sin(2\arccos x)sin(2arccosx) | 2x1−x22x\sqrt{1 - x^2}2x1−x2 |
| cos(2arccosx)\cos(2\arccos x)cos(2arccosx) | 2x2−12x^2 - 12x2−1 |
例4：已知三角函数值求角度
题目： 已知 tanx=−2\tan x = -2tanx=−2
(1) 若 x∈(−π2,π2)x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)x∈(−2π,2π)，求 xxx
(2) 若 x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi)x∈[0,2π)，求 xxx
解：
(1) xxx 在完美区间内，直接反解：
x=arctan(−2)=−arctan2x = \arctan(-2) = -\arctan 2x=arctan(−2)=−arctan2
(2) tanx=−2<0\tan x = -2 < 0tanx=−2<0，xxx 在第二或第四象限：
- 第二象限：x=π−arctan2x = \pi - \arctan 2x=π−arctan2
- 第四象限：x=2π−arctan2x = 2\pi - \arctan 2x=2π−arctan2
5. 极限性质
| 函数 | x→+∞x \to +\inftyx→+∞ | x→−∞x \to -\inftyx→−∞ |
|---|---|---|
| arctanx\arctan xarctanx | π2\dfrac{\pi}{2}2π | −π2-\dfrac{\pi}{2}−2π |
| arccot x\text{arccot} \, xarccotx | 000 | π\piπ |
二、取整函数
1. 定义与性质
定义： ⌊x⌋\lfloor x \rfloor⌊x⌋ 表示不超过 xxx 的最大整数。
示例：
⌊2.3⌋=2,⌊π⌋=3,⌊−2.5⌋=−3,⌊−π⌋=−4\lfloor 2.3 \rfloor = 2, \quad \lfloor \pi \rfloor = 3, \quad \lfloor -2.5 \rfloor = -3, \quad \lfloor -\pi \rfloor = -4⌊2.3⌋=2,⌊π⌋=3,⌊−2.5⌋=−3,⌊−π⌋=−4
核心不等式：
⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1
等价形式：
x−1<⌊x⌋≤xx - 1 < \lfloor x \rfloor \leq xx−1<⌊x⌋≤x
2. 图像特征
- 阶梯状图像
- 在每个整数点处跳跃
- 区间 [n,n+1)[n, n+1)[n,n+1) 上函数值为 nnn（nnn 为整数）
- 左端点实心，右端点空心
3. 典型应用
例1：夹逼准则求极限
题目： 求 limx→+∞⌊x⌋x\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\lfloor x \rfloor}{x}x→+∞limx⌊x⌋
解：
由 ⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1⌊x⌋≤x<⌊x⌋+1 得：
x−1x<⌊x⌋x≤1\frac{x - 1}{x} < \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \leq 1xx−1<x⌊x⌋≤1
即：
1−1x<⌊x⌋x≤11 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \leq 11−x1<x⌊x⌋≤1
由夹逼准则：
limx→+∞⌊x⌋x=1\lim_{x \to +\infty} \frac{\lfloor x \rfloor}{x} = 1x→+∞limx⌊x⌋=1
例2：积分中的取整函数
题目： 计算 ∫02⌊x2+1⌋ dx\displaystyle \int_0^{\sqrt{2}} \lfloor x^2 + 1 \rfloor \, dx∫02 ⌊x2+1⌋dx
解：
- x∈[0,1)x \in [0, 1)x∈[0,1) 时，⌊x2+1⌋=1\lfloor x^2 + 1 \rfloor = 1⌊x2+1⌋=1
- x∈[1,2)x \in [1, \sqrt{2})x∈[1,2 ) 时，⌊x2+1⌋=2\lfloor x^2 + 1 \rfloor = 2⌊x2+1⌋=2
∫02⌊x2+1⌋ dx=∫011 dx+∫122 dx=22−1\int_0^{\sqrt{2}} \lfloor x^2 + 1 \rfloor \, dx = \int_0^1 1 \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} 2 \, dx = 2\sqrt{2} - 1∫02 ⌊x2+1⌋dx=∫011dx+∫12 2dx=22 −1
三、最值函数
1. 定义与公式
max{f(x),g(x)}={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)<g(x)\max\{f(x), g(x)\} = \begin{cases} f(x), & f(x) \geq g(x) \\ g(x), & f(x) < g(x) \end{cases}max{f(x),g(x)}={f(x),g(x),f(x)≥g(x)f(x)<g(x)
min{f(x),g(x)}={f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)\min\{f(x), g(x)\} = \begin{cases} f(x), & f(x) \leq g(x) \\ g(x), & f(x) > g(x) \end{cases}min{f(x),g(x)}={f(x),g(x),f(x)≤g(x)f(x)>g(x)
2. 重要结论
- 最大值公式 ：
max{a,b}=a+b+∣a−b∣2 \max\{a, b\} = \frac{a + b + |a - b|}{2} max{a,b}=2a+b+∣a−b∣ - 最小值公式 ：
min{a,b}=a+b−∣a−b∣2 \min\{a, b\} = \frac{a + b - |a - b|}{2} min{a,b}=2a+b−∣a−b∣ - 和的关系 ：
max{a,b}+min{a,b}=a+b \max\{a, b\} + \min\{a, b\} = a + b max{a,b}+min{a,b}=a+b - 积的关系 ：
max{a,b}⋅min{a,b}=ab \max\{a, b\} \cdot \min\{a, b\} = ab max{a,b}⋅min{a,b}=ab
3. 不等式转化
| 原式 | 等价形式 |
|---|---|
| max{f,g}≤a\max\{f, g\} \leq amax{f,g}≤a | f≤af \leq af≤a 且 g≤ag \leq ag≤a |
| max{f,g}≥a\max\{f, g\} \geq amax{f,g}≥a | f≥af \geq af≥a 或 g≥ag \geq ag≥a |
| min{f,g}≤a\min\{f, g\} \leq amin{f,g}≤a | f≤af \leq af≤a 或 g≤ag \leq ag≤a |
| min{f,g}≥a\min\{f, g\} \geq amin{f,g}≥a | f≥af \geq af≥a 且 g≥ag \geq ag≥a |
记忆口诀： 最大小于"且"，最小大于"且"；其余都是"或"。
4. 典型例题
例1：解最值不等式
题目： 解不等式 max{∣x−1∣,∣x+1∣}<2\max\{|x - 1|, |x + 1|\} < 2max{∣x−1∣,∣x+1∣}<2
解： 等价于：
{∣x−1∣<2∣x+1∣<2 ⟹ {−1<x<3−3<x<1\begin{cases} |x - 1| < 2 \\ |x + 1| < 2 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 < x < 3 \\ -3 < x < 1 \end{cases}{∣x−1∣<2∣x+1∣<2⟹{−1<x<3−3<x<1
取交集：x∈(−1,1)x \in (-1, 1)x∈(−1,1)
例2：参数范围问题
题目： 若 a≤xi≤ba \leq x_i \leq ba≤xi≤b 对 i=1,2,...,ni = 1, 2, \dots, ni=1,2,...,n 恒成立，求 a,ba, ba,b 的范围。
解：
a≤min{x1,x2,...,xn},b≥max{x1,x2,...,xn}a \leq \min\{x_1, x_2, \dots, x_n\}, \quad b \geq \max\{x_1, x_2, \dots, x_n\}a≤min{x1,x2,...,xn},b≥max{x1,x2,...,xn}
四、重要不等式汇总
1. 绝对值不等式
∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
取等条件：
- 右边取等：a,ba, ba,b 同号
- 左边取等：a,ba, ba,b 异号
2. 均值不等式
二元形式：
a+b2≥ab,a,b≥0\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}, \quad a, b \geq 02a+b≥ab ,a,b≥0
完整链条：
调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均\text{调和平均} \leq \text{几何平均} \leq \text{算术平均} \leq \text{平方平均}调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均
取等条件： 所有元素相等
3. 柯西不等式
离散形式（二元）：
(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2
离散形式（nnn 元）：
(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)≥(∑i=1naibi)2\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \geq \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2(i=1∑nai2)(i=1∑nbi2)≥(i=1∑naibi)2
连续形式（积分）：
(∫abf2(x)dx)(∫abg2(x)dx)≥(∫abf(x)g(x)dx)2\left(\int_a^b f^2(x)dx\right)\left(\int_a^b g^2(x)dx\right) \geq \left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2(∫abf2(x)dx)(∫abg2(x)dx)≥(∫abf(x)g(x)dx)2
取等条件： a1b1=a2b2=⋯=anbn\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}b1a1=b2a2=⋯=bnan
4. 常用放缩不等式
- ∣sinx∣≤∣x∣|\sin x| \leq |x|∣sinx∣≤∣x∣ （适用于 x∈Rx \in Rx∈R）
- ∣sinx∣≤1|\sin x| \leq 1∣sinx∣≤1 （适用于 x∈Rx \in Rx∈R）
- ∣cosx∣≤1|\cos x| \leq 1∣cosx∣≤1 （适用于 x∈Rx \in Rx∈R）
- ∣arctanx∣<π2|\arctan x| < \frac{\pi}{2}∣arctanx∣<2π （适用于 x∈Rx \in Rx∈R）
- ex≥1+xe^x \geq 1 + xex≥1+x （适用于 x∈Rx \in Rx∈R）
- ln(1+x)≤x\ln(1 + x) \leq xln(1+x)≤x （适用于 x>−1x > -1x>−1）
5. 有界性证明技巧
题目： 已知 ∣f(x)−f(x0)∣<a|f(x) - f(x_0)| < a∣f(x)−f(x0)∣<a，证明 f(x)f(x)f(x) 有界。
证明：
∣f(x)∣=∣f(x)−f(x0)+f(x0)∣≤∣f(x)−f(x0)∣+∣f(x0)∣<a+∣f(x0)∣|f(x)| = |f(x) - f(x_0) + f(x_0)| \leq |f(x) - f(x_0)| + |f(x_0)| < a + |f(x_0)|∣f(x)∣=∣f(x)−f(x0)+f(x0)∣≤∣f(x)−f(x0)∣+∣f(x0)∣<a+∣f(x0)∣
取 M=a+∣f(x0)∣M = a + |f(x_0)|M=a+∣f(x0)∣，则 ∣f(x)∣<M|f(x)| < M∣f(x)∣<M，故 f(x)f(x)f(x) 有界。
五、易错点提醒
| 易错点 | 正确理解 |
|---|---|
| arccos(cosx)=x\arccos(\cos x) = xarccos(cosx)=x | 仅当 x∈[0,π]x \in [0, \pi]x∈[0,π] 时成立 |
| ⌊−2.5⌋\lfloor -2.5 \rfloor⌊−2.5⌋ | 等于 −3-3−3，不是 −2-2−2 |
| x2\sqrt{x^2}x2 | 等于 $ |
| ln(x2)\ln(x^2)ln(x2) | 等于 $2\ln |
| max{f,g}≥a\max\{f,g\} \geq amax{f,g}≥a | 是"或"关系，不是"且"关系 |