考研数学-高中数学回顾函数的微分day8(完结)

一、微分的定义

1. 核心概念

背景： 微分是研究函数增量 Δy\Delta yΔy 的线性主部。

实例： 正方形面积 S=x2S=x^2S=x2，边长增加 Δx\Delta xΔx。
ΔS=(x+Δx)2−x2=2xΔx+(Δx)2 \Delta S = (x+\Delta x)^2 - x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 ΔS=(x+Δx)2−x2=2xΔx+(Δx)2
当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0 时，(Δx)2(\Delta x)^2(Δx)2 是高阶无穷小，可忽略。线性主部 2xΔx2x\Delta x2xΔx 即为微分。

严格定义：

若函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0 处的增量可表示为：
Δy=AΔx+o(Δx) \Delta y = A \Delta x + o(\Delta x) Δy=AΔx+o(Δx)

其中 AAA 与 Δx\Delta xΔx 无关，o(Δx)o(\Delta x)o(Δx) 是 Δx\Delta xΔx 的高阶无穷小，则称 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处可微。

微分记号： dy=AΔxdy = A \Delta xdy=AΔx
自变量微分： 规定 dx=Δxdx = \Delta xdx=Δx，故 dy=Adxdy = A dxdy=Adx

二、微分与导数的关系

1. 一元函数：可微 ⟺ \iff⟺ 可导

方向	推导逻辑	结论
可导 ⇒\Rightarrow⇒ 可微	由 f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}f′(x0)=limΔx→0ΔxΔy，得 Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)\Delta y = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)	A=f′(x0)A = f'(x_0)A=f′(x0)
可微 ⇒\Rightarrow⇒ 可导	由 Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)Δy=AΔx+o(Δx)，两边除以 Δx\Delta xΔx 取极限	f′(x0)=Af'(x_0) = Af′(x0)=A

核心公式：
dy=f′(x)dx dy = f'(x) dx dy=f′(x)dx

⚠️ 易错点： 计算微分时，必须写上 dxdxdx，否则不得分（类似于不定积分漏写 +C+C+C）。

2. Δy\Delta yΔy 与 dydydy 的关系

当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0 时：

等价无穷小： Δy∼dy\Delta y \sim dyΔy∼dy （即 lim⁡Δx→0Δydy=1\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{dy} = 1limΔx→0dyΔy=1）
差值高阶性： Δy−dy=o(Δx)\Delta y - dy = o(\Delta x)Δy−dy=o(Δx) （即 lim⁡Δx→0Δy−dyΔx=0\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y - dy}{\Delta x} = 0limΔx→0ΔxΔy−dy=0）

几何意义与大小比较：

dydydy 是切线上的纵坐标增量。
Δy\Delta yΔy 是曲线上的纵坐标增量。
大小关系取决于凹凸性：
- 凹函数 (f′′>0f''>0f′′>0)： 曲线在切线上方 ⟹ Δy>dy\implies \Delta y > dy⟹Δy>dy
- 凸函数 (f′′<0f''<0f′′<0)： 曲线在切线下方 ⟹ Δy<dy\implies \Delta y < dy⟹Δy<dy

三、微分的运算法则

1. 基本公式（对应导数公式）

记忆技巧：在导数公式后直接乘以 dxdxdx。

函数	微分公式
xμx^\muxμ	d(xμ)=μxμ−1dxd(x^\mu) = \mu x^{\mu-1} dxd(xμ)=μxμ−1dx
exe^xex	d(ex)=exdxd(e^x) = e^x dxd(ex)=exdx
sin⁡x\sin xsinx	d(sin⁡x)=cos⁡xdxd(\sin x) = \cos x dxd(sinx)=cosxdx
ln⁡x\ln xlnx	d(ln⁡x)=1xdxd(\ln x) = \frac{1}{x} dxd(lnx)=x1dx
arctan⁡x\arctan xarctanx	d(arctan⁡x)=11+x2dxd(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} dxd(arctanx)=1+x21dx

双向应用：

从左到右：求微分。

从右到左：凑微分法 （积分学核心基础），如 cos⁡xdx=d(sin⁡x)\cos x dx = d(\sin x)cosxdx=d(sinx)。

2. 四则运算与复合函数

加减： d(u±v)=du±dvd(u \pm v) = du \pm dvd(u±v)=du±dv
乘法： d(uv)=vdu+udvd(uv) = v du + u dvd(uv)=vdu+udv
除法： d(uv)=vdu−udvv2d(\frac{u}{v}) = \frac{v du - u dv}{v^2}d(vu)=v2vdu−udv
复合函数（微分形式不变性）：
若 y=f(u),u=g(x)y=f(u), u=g(x)y=f(u),u=g(x)，则：
dy=f′(u)du=f′(g(x))g′(x)dx dy = f'(u) du = f'(g(x)) g'(x) dx dy=f′(u)du=f′(g(x))g′(x)dx
无论 uuu 是中间变量还是自变量，形式 dy=f′(u)dudy=f'(u)dudy=f′(u)du 始终成立。

四、典型题型与解法

1. 直接求微分

步骤： 先求导 f′(x)f'(x)f′(x)，再乘以 dxdxdx。

例题： 求 y=xsin⁡2xy = x \sin 2xy=xsin2x 的微分。
dy=(x′sin⁡2x+x(sin⁡2x)′)dx=(sin⁡2x+2xcos⁡2x)dx dy = (x' \sin 2x + x (\sin 2x)') dx = (\sin 2x + 2x \cos 2x) dx dy=(x′sin2x+x(sin2x)′)dx=(sin2x+2xcos2x)dx

2. 代入数值求微分

注意： 仅替换导数部分中的 xxx，不可替换 dxdxdx 中的变量。

例题： 设 y=ln⁡xy = \ln xy=lnx，求 x=πx=\pix=π 时的微分。
dy=1xdx ⟹ dy∣x=π=1πdx dy = \frac{1}{x} dx \implies dy|_{x=\pi} = \frac{1}{\pi} dx dy=x1dx⟹dy∣x=π=π1dx
(❌ 错误写法：dπd\pidπ 或 000)

3. 隐函数求微分

方法： 方程两边同时求全微分 d(⋅)d(\cdot)d(⋅)，然后解出 dydydy。

例题： 由 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1 求 dydydy。

两边微分：d(x2)+d(y2)=d(1)d(x^2) + d(y^2) = d(1)d(x2)+d(y2)=d(1)
计算：2xdx+2ydy=02x dx + 2y dy = 02xdx+2ydy=0
解出 dydydy：dy=−xydxdy = -\frac{x}{y} dxdy=−yxdx

4. 参数方程求微分

若 {x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}{x=φ(t)y=ψ(t)，则：
dy=dydxdx=ψ′(t)φ′(t)φ′(t)dt=ψ′(t)dt dy = \frac{dy}{dx} dx = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \varphi'(t) dt = \psi'(t) dt dy=dxdydx=φ′(t)ψ′(t)φ′(t)dt=ψ′(t)dt
(注：通常先求 dydx\frac{dy}{dx}dxdy 再乘 dxdxdx，或者直接对 yyy 关于 ttt 求导后整理)

五、微分的几何应用

近似计算

利用 dy≈Δydy \approx \Delta ydy≈Δy，即 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta xf(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx。

例题： 计算 1.023\sqrt[3]{1.02}31.02 的近似值。

令 f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x}f(x)=3x ，x0=1x_0 = 1x0=1，Δx=0.02\Delta x = 0.02Δx=0.02。
f(1)=1f(1) = 1f(1)=1，f′(x)=13x−2/3 ⟹ f′(1)=13f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} \implies f'(1) = \frac{1}{3}f′(x)=31x−2/3⟹f′(1)=31。
1.023≈1+13×0.02=1.0067\sqrt[3]{1.02} \approx 1 + \frac{1}{3} \times 0.02 = 1.006731.02 ≈1+31×0.02=1.0067。

六、易错点总结

易错点	正确理解
漏写 dx	微分结果必须包含 dxdxdx，否则是导数不是微分
混淆 Δy\Delta yΔy 与 dydydy	Δy\Delta yΔy 是曲线增量，dydydy 是切线增量；二者相差一个高阶无穷小
代入错误	求 $dy
隐函数微分	记得 yyy 是 xxx 的函数，d(y2)=2ydyd(y^2) = 2y dyd(y2)=2ydy，不要漏掉 dydydy
符号判断	根据 f′′(x)f''(x)f′′(x) 的正负判断 Δy\Delta yΔy 与 dydydy 的大小关系（凹凸性）