参考：为什么需要卷积？
从纯数学（尤其是代数和几何）的角度来看，卷积（Convolution）其实比物理意义更纯粹。它本质上是一种"受限的混合"或者说是"滑动求和。
代数视角：多项式乘法（最本源的解释）
如果你问一个代数学家卷积是什么，他会告诉你：卷积就是多项式乘法的系数计算规则。
两个多项式：
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 f(x)=a0+a1x+a2x2
g ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 g(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 g(x)=b0+b1x+b2x2
现在把它们乘起来： h ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) h(x) = f(x) \cdot g(x) h(x)=f(x)⋅g(x)。看看乘积中 x x x 的不同次幂的系数是怎么来的：
x 0 x^0 x0 的系数 ：只有 a 0 b 0 a_0 b_0 a0b0。 x 1 x^1 x1 的系数 ： a 0 b 1 + a 1 b 0 a_0 b_1 + a_1 b_0 a0b1+a1b0。 x 2 x^2 x2 的系数 ： a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 a0b2+a1b1+a2b0。（注意下标的和！） x k x^k xk 的系数 ：所有满足下标 i + j = k i + j = k i+j=k 的 a i b j a_i b_j aibj 之和。
写成公式就是：
c k = ∑ i a i b k − i c_k = \sum_{i} a_i b_{k-i} ck=i∑aibk−i
卷积就是当我们把两个序列（ a a a 和 b b b）看作多项式的系数时，它们乘积的新系数。
为什么是 k − i k-i k−i ？ ：因为指数相加要等于 k k k（ x i ⋅ x j = x i + j = x k x^i \cdot x^j = x^{i+j} = x^k xi⋅xj=xi+j=xk），所以如果第一项是 i i i，第二项必然是 k − i k-i k−i。这就是"互补"的数学来源。
几何视角：翻转与滑动（Flip and Drag）
回到连续函数的定义：
( f ∗ g ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau (f∗g)(t)=∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ
如果不看物理意义，只看几何操作，这个积分描述了四个步骤：
- 换元（Re-parameterize） ：把 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) g(x) g(x) 放到同一个临时坐标轴 τ \tau τ 上，变成 f ( τ ) f(\tau) f(τ) 和 g ( τ ) g(\tau) g(τ)。
- 翻转（Flip/Reflect） ： g ( − τ ) g(-\tau) g(−τ)。这就是把函数 g g g 绕着 y 轴做了一个镜像。
- 平移（Shift/Drag） ： g ( t − τ ) g(t - \tau) g(t−τ)。其中的 t t t 是一个偏移量。随着 t t t 从 − ∞ -\infty −∞ 变到 + ∞ +\infty +∞，这个翻转后的 g g g 函数就在轴上从左向右滑动。
- 加权求和（Integrate） ：在每一个 t t t 的位置，计算 f ( τ ) f(\tau) f(τ) 和移位后的 g g g 重叠部分的面积（乘积的积分）。
为什么要有"翻转"这个动作？
这其实是为了配合"平移"。
- 在 g ( t − τ ) g(t - \tau) g(t−τ) 中，变量是 τ \tau τ。
- τ \tau τ 前面有个负号，意味着相对于 τ \tau τ 轴， g g g 是反向的。
- 如果不翻转，直接平移，那就是在这个轴上做相关性（Correlation）运算，而不是卷积。卷积的数学定义强制要求了这种"反向"的对称性。
再具体说说翻转这个操作：
任何系统对输入的反应并不是瞬间完成的，而是历史作用的积累。也就是说你现在感知到的信息除了当前输入会影响你外，之前的若干输入也还会影响你，只是这个影响会随着时间有衰减。假如现在是t时刻，你所受的影响除了当前的输入f(t)外，还受到前一时刻的输入f(t-1)影响，只不过t-1时刻的影响会衰减。我们假设衰减函数为 g ( t ) = 0.5 t g(t)=0.5^t g(t)=0.5t，那么t-1时刻的信号衰减为0.5*f(t-1)。
想象你对着一个山谷喊话，山谷会产生回声。
- 你的声音是输入信号 x ( t ) x(t) x(t)。
- 山谷的回声特性是系统的冲激响应 h ( t ) h(t) h(t)（比如：第1秒响，第2秒弱，第3秒消失）。
现在是 12:00 （当前时刻 t t t），我们要计算你此时此刻听到的总声音。
- 刚才（11:59:59）喊的声音 ：
因为它刚刚发出才 1 秒，所以你听到的是它对应回声的开头部分 （ h ( 1 ) h(1) h(1)）。最新的输入 ，对应最新鲜的响应 （ h h h 的头部，即 t t t 小的部分） - 很久前（11:59:00）喊的声音 ：
因为它已经发出了 60 秒，所以你听到的是它对应回声的尾巴部分 （ h ( 60 ) h(60) h(60)）。最老的输入 ，对应最陈旧的响应 （ h h h 的尾部，即 t t t 大的部分）
如果在时间轴上画图：输入信号 x ( τ ) x(\tau) x(τ) 是按时间顺序排列的（旧 → \rightarrow → 新）。但它们对现在的贡献，是按 h h h 的逆序 排列的（尾巴 → \rightarrow → 头部）。
这就是为什么要反转：
为了把"过去的输入"和"它经过了多久后的响应"对齐，我们必须把响应函数 h ( τ ) h(\tau) h(τ) 在时间轴上翻转过来，变成 h ( − τ ) h(-\tau) h(−τ)，然后平移到当前时刻 t t t，变成 h ( t − τ ) h(t-\tau) h(t−τ)。
卷积是一种运算，将一个函数与另一个函数进行翻转滑动相乘做积分。实际上就是对每个局部进行特征提取，最终形成一个新的有意义的表示。任何现象不是孤立存在的，而是与周围环境持续交互的结果，当下的状态也都受到历史的影响。万物互相关联，过去塑造现在。卷积大量应用在人工智能、信号处理、物理学等很多领域。