实分析入门
上一篇文章我们讲了自然数的构造，皮亚诺公理，还有在自然数上封闭的加法和乘法
还记得为什么我们不先说减法吗，是因为减法在自然数上不是封闭的，也就是说两个自然数相减减出来的东西可能不是自然数，举个简单的例子 2−52 - 52−5 这个式子，我们都知道答案应该是 −3-3−3，但是 −3-3−3 不是自然数，所以现在只有自然数集的我们是无法讨论减法这个概念的。
所以在引入减法之前我们需要引入 "整数" 这个概念了
整数
定义
现在我们来思考怎样定义整数，很显然，因为我们已经知道怎么构造出整数了，对的没错，就是我们上面所讨论的减法，我们在这里的定义就是用减法来定义整数
这时候你可能就要问了，我们因为没有减法所以来定义整数，想用整数来给减法作为运算域，现在又要用减法来定义整数，这不是循环论证了吗？
非也非也，你先看看我们接下来的定义内容再说：
定义0.5.2 ：一个整数是一个形如 a−ba - ba−b 的表达式，当 a,b,c,d∈Na, b, c, d \in \mathbb{N}a,b,c,d∈N 时，两个整数（a−ba - ba−b 和 c−dc - dc−d）相等当且仅当 a+d=b+ca + d = b + ca+d=b+c，记 Z\mathbb{Z}Z 为整数集合
你仔细看我们的定义，这里我们说的时形如 a−ba - ba−b 的表达式 ，也就是现在我们在不知道减法是什么的情况下直接使用这个表达式来定义整数了。但是我们规定了这两个表达式相等的条件，和我们熟知的减法的条件时相同的，这样就巧妙的绕开了循环论证的怪圈。
这里有了这个定义我们现在需要注意以下事实：
- 我们现在知道 3−53 - 53−5 是一个整数，也知道 1−31 - 31−3 是一个整数，并且我们知道 3−5=1−33 - 5 = 1 - 33−5=1−3，因为 3+3=1+53 + 3 = 1 + 53+3=1+5，但是注意这里，我们并不知道 333 是不是整数，因为我们还没有证明 333 可以写成 a−ba - ba−b 的形式
更严谨一点说，我们其实是在 N×N\mathbb{N} \times \mathbb{N}N×N 上定义了一个等价关系，把所有"本质上表示同一个差"的有序对归为一类，而这个等价类就是一个整数。不过这句话现在先知道有这么回事就够了，不必一下子陷进集合论里。
整数上的加法和乘法
现在我们有了一种全新的数字，理所当然的，我们第一步需要做的就是把之前我们在自然数域上定义的加法和乘法扩展到这个整数域上。
很自然的，我们定义：
(a−b)+(c−d):=(a+c)−(b+d)(a−b)(c−d):=(ac+bd)−(bc+ad) (a - b) + (c - d) := (a + c) - (b + d) \\ (a - b)(c - d) := (ac + bd) - (bc + ad) (a−b)+(c−d):=(a+c)−(b+d)(a−b)(c−d):=(ac+bd)−(bc+ad)
不过有了定义还不能轻易满足，我们现在还需思考一件事，那就是对于同一个整数的不同写法（如 5−35 - 35−3 和 4−24 - 24−2 表示同一个整数），用不同的写法进行计算时，会不会得到不同的答案？
这个时候就要引入良定义这个概念了qwq
良定义
所谓良定义，简单来说就是：虽然同一个整数可以写成很多种形式，但你最后定义出来的运算结果不能依赖于你选了哪一种写法。
当然，上过小学的人都知道，这个顶一下是不可能出现不同写法答案不同的情况的，但是数学是要讲究严谨的，所以这里我们给出严谨的证明，也就是证明下面的引理：
**引理 0.5.4：**整数上的加法和乘法都是良定义的
先考虑加法，假设 a−b=a′−b′a - b = a' - b'a−b=a′−b′，那么根据整数的定义，我们有 a+b′=a′+ba + b' = a' + ba+b′=a′+b，而现在我们需要说明的就是：
(a−b)+(c−d)=(a′−b′)+(c−d) (a - b) + (c - d) = (a' - b') + (c - d) (a−b)+(c−d)=(a′−b′)+(c−d)
根据刚才对于整数加法的定义，左式 = (a + c) - (b + d)，右式 =(a′+c)−(b′+d)= (a' + c) - (b' + d)=(a′+c)−(b′+d)，又根据整数的定义得，只需证：
(a+c)+(b′+d)=(a′+c)+(b+d) (a + c) + (b' + d) = (a' + c) + (b + d) (a+c)+(b′+d)=(a′+c)+(b+d)
又因为我们知道以上所有字母都表示自然数，并且自然数中加法交换律和结合律已经得到证明，所以两边可以同时消去 c+dc + dc+d，那么只需证明：
a+b′=a′+b a + b' = a' + b a+b′=a′+b
而这又刚好是我们一开始就知道的式子，所以加法的定义对于整数是良定义，证毕
乘法同理（（（
自然数和整数？
到了这里还有最后一个问题，也就是在定义的小节中提到过的：我们现在知道 3−53 - 53−5 是一个整数，也知道 1−31 - 31−3 是一个整数，并且我们知道 3−5=1−33 - 5 = 1 - 33−5=1−3，因为 3+3=1+53 + 3 = 1 + 53+3=1+5，但是注意这里，我们并不知道 333 是不是整数，因为我们还没有证明 333 可以写成 a−ba - ba−b 的形式
那么自然数到底是不是整数呢？答案是显然的，因为对于任意一个自然数 nnn，它可以被看成整数 n−0n - 0n−0 的形式，并且对于整数的加法和乘法的定义有：
(n−0)+(m−0)=(n+m)−0(n−0)(m−0)=nm−0 (n - 0) + (m - 0) = (n + m) - 0 \\ (n - 0)(m - 0) = nm - 0 (n−0)+(m−0)=(n+m)−0(n−0)(m−0)=nm−0
并且我们有 n−0=m−0 ⟺ n=mn - 0 = m - 0 \iff n = mn−0=m−0⟺n=m，所以从现在开始，我们就证明了 N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}N⊂Z，所以自然数 333 自然也就是整数 3−03 - 03−0 了
负号&相反数
现在已经有整数了，但是在引入减法之前，我们还需要最后做一些工作，那就是定义一下"负数"这个概念（还记得我们一开始就是为了扩展出"负数"才定义整数这个概念的吗qwq）：
定义：如果 a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}a,b∈Z，则我们把负号（相反数）定义为：
−(a−b):=b−a -(a - b) := b - a −(a−b):=b−a
特别地 n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N 时：
−n:=0−n -n := 0 - n −n:=0−n
整数的三岐性
这里，我们定义了负号之后就能证明一个神秘的性质，也就是：任何一个整数，要么是正的，要么是零，要么是负的，而且这三种情况只能发生一种（也就是说整数集合除去自然数集合就只剩下负数集合了）。
**引理 0.5.6：**对于任意整数 xxx，一下三个命题有且仅有一个成立：
- x=0x = 0x=0
- x=nx = nx=n, n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
- x=−n,n∈Nx = -n, n \in \mathbb{N}x=−n,n∈N
整数的代数性质
有了以上的一切，我们就可以像上一篇文章中那样，对整数证明一些加法和乘法的运算性质，也就是证明：
对于任意 x,y,z∈Zx, y, z \in \mathbb{Z}x,y,z∈Z，我们有：
x+y=y+x(x+y)+z=x+(y+z)x+0=0+x=xx+(−x)=(−x)+x=0xy=yx(xy)z=x(yz)x⋅1=1⋅1=xx(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx x + y = y + x \\ (x + y) + z = x + (y + z) \\ x + 0 = 0 + x = x \\ x + (-x) = (-x) + x = 0 \\ xy = yx \\ (xy)z = x(yz)\\ x \cdot 1 = 1 \cdot 1 = x \\ x(y + z) = xy + xz \\ (y + z)x = yx + zx x+y=y+x(x+y)+z=x+(y+z)x+0=0+x=xx+(−x)=(−x)+x=0xy=yx(xy)z=x(yz)x⋅1=1⋅1=xx(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx
这些式子是不是看起来很眼熟，是的，他们和自然数中的运算法则一模一样，非常美丽（（（
这些式子合在一起，其实就是说：整数在加法下构成一个交换群，在加法和乘法一起看时构成一个交换环。你现在不一定要把"交换群""交换环"这两个词背下来，但至少你应该知道：从整数开始，我们的代数结构已经比自然数完整得多了
关于减法
说了这么多，终于到了介绍减法的环节了
直到这里，'−-−' 不再只是一个表达式 中的占位符 了，而是实实在在的一个运算符号了，现在我们有以下定义：
对于任意整数 x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}x,y∈Z，定义：
x−y:=x+(−y) x - y := x + (-y) x−y:=x+(−y)
也就是初中老师常说的，减去一个数相当于加上这个数的相反数qwq，举个例子 3−5=3+(−5)3 - 5 = 3 + (-5)3−5=3+(−5)
另外，在自然数里我们已经证明过消去律和"没有非平凡零因子"这种性质，而到了整数里，这些性质依然成立。也就是说，对于任意整数 x,y,zx, y, zx,y,z：
- 如果 xy=0xy = 0xy=0，那么 x=0x = 0x=0 或 y=0y = 0y=0
- 如果 xz=yzxz = yzxz=yz 并且 z≠0z \neq 0z=0，那么 x=yx = yx=y
这些结论看起来很自然，但它们其实也说明：整数这个数系虽然比自然数更大了，却没有把原来很多好性质弄丢。
整数的顺序
有了减法之后，我们当然还想把整数的大小关系也定义出来。
定义 0.5.10 ：对于整数 x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}x,y∈Z，我们称 x≥yx \geq yx≥y，当且仅当存在某个自然数 a∈Na \in \mathbb{N}a∈N 使得
x=y+a x = y + a x=y+a
我们称 x>yx > yx>y，当 x≥yx \geq yx≥y 且 x≠yx \neq yx=y。
这个定义和自然数里的定义长得几乎一模一样，只不过现在对象从自然数换成了整数。
由这个定义，我们可以推出下面这些很重要的性质：
- x>yx > yx>y 当且仅当 x−y∈N+x - y \in \mathbb{N}^+x−y∈N+
- 如果 x>yx > yx>y，那么 x+z>y+zx + z > y + zx+z>y+z
- 如果 x>yx > yx>y，并且 z∈N+z \in \mathbb{N}^+z∈N+，那么 xz>yzxz > yzxz>yz
- 如果 x>yx > yx>y，那么 −x<−y-x < -y−x<−y
- 如果 x>yx > yx>y 且 y>zy > zy>z，那么 x>zx > zx>z
- 对于任意两个整数 x,yx, yx,y，恰好有一个成立：x>yx > yx>y，x=yx = yx=y，或 x<yx < yx<y
所以到这里为止，整数已经是一个相当舒服的数系了：它不仅能做加减乘，而且还能比较大小。