在数学中，流形 是一种拓扑空间，它在每一个点附近局部类似于Euclid空间。更准确地说，n 维流形(简称n 流形)是一种拓扑空间，其每一个点都存在一个邻域，该邻域同胚 (即满足连续性的同构)于n 维Euclid空间的一个开子集。为了说明这个概念，我们可以对比古代认为地球是平的与现代证据表明地球是圆的这一观点 。这种差异本质上源于这样一个事实：在我们所观察到的小尺度上，地球看起来确实是平的。一般来说，任何在小尺度上近乎"平"的物体都是一个流形，因此，流形构成了我们可能居住的物体的推广，在这些物体中，我们会遇到地球是圆的还是平的这个问题，这个问题最初由Poincaré提出。
更简洁地说，任何可以被"绘制"的对象都是一个流形。
( torus：环面 )
拓扑学的目标之一是求得区分流形的方法。例如，圆在拓扑学上与任何闭合回路相同，无论这两个流形看起来多么不同。类似地，带把手的咖啡杯的表面在拓扑学上与甜甜圈的表面相同，这种类型的表面被称为(单把手)环面。
作为一个拓扑空间，流形可以是紧致的或非紧致的，也可以是连通的或不连通的 。通常，"流形"一词指的是"有边界的流形" 。然而，作者有时会使用更精确的术语，例如用"开流形"来指代没有边界的非紧致流形，或者用"闭流形"来指代有边界的紧致流形。
如果一个流形包含自身的边界，那么它就称为"带边界的流形"，这并不奇怪。 中的闭单位球就是一个带边界的流形，它的边界是单位球面。这个概念可以推广到带角的流形。根据定义，流形上的每个点都有一个邻域，并且该邻域与
中的一个开球存在一个同胚映射。此外，流形必须具有第二可数拓扑。除非另有说明，否则流形的维数假定为有限维数 n ，其中 n 为正整数。
光滑流形 (也称可微流形 )是指重叠的映射图彼此"光滑"相关的流形，这意味着一个映射图的逆映射图再映射另一个映射图，构成一个从Euclid空间到自身的无穷可微映射。流形作为"全局对象"自然地出现在各种数学和物理应用中。例如，为了精确描述机械臂的所有构型或火箭的所有可能位置和动量，需要一个对象来存储所有这些参数。出现的对象就是流形。从几何学的角度来看，流形体现了全局性质与局部性质之间深刻的联系。
Euclid空间是流形的基本例子，它的许多性质也适用于流形。此外，Euclid空间子集的任何光滑边界，例如圆或球面，都是流形。因此，流形在几何学、拓扑学和分析学的研究中都具有重要意义。
子流形是流形的一个子集，它本身也是一个流形，但维度更低。例如，球面的赤道就是一个子流形。许多常见的流形都是Euclid空间的子流形。事实上，Whitney在20世纪30年代证明了任何流形都可以嵌入到 中，其中 N = 2n+ 1 。
流形可以具有比局部Euclid拓扑更丰富的结构。例如，它可以是光滑的、复的，甚至是代数的(按具体程度排序)。具有度量的光滑流形称为Riemann流形，具有辛结构的流形称为辛流形。最后，具有Kähler结构的复流形称为Kähler流形。
一维流形包含直线和圆，但不包括自交叉曲线，例如数字"8"。二维流形也称为曲面。例如，平面、球面、环面、克莱因瓶和实射影平面都是二维流形。
流形的概念在几何学和现代数学物理的许多领域都至关重要，因为它允许用简单空间的拓扑性质来描述复杂的结构。流形自然地出现在方程组的解集和函数的图像中。鉴于需要将图像与坐标关联起来(例如CT扫描)，流形的概念在计算机图形学中也有应用。
流形可以具有额外的结构。一类重要的流形是可微流形；它们的可微结构使得微积分运算成为可能。流形上的Riemann度量允许测量距离和角度。辛流形(Symplectic manifolds)(注："辛"是音译)是经典力学Hamilton形式体系中的相空间，而四维洛伦兹流形则在广义相对论中模拟时空。
研究流形需要掌握微积分和拓扑学的基本知识。