AcWing 89. a^b
题目描述
求 a a a 的 b b b 次方对 p p p 取模的值。
输入格式
三个整数 a , b , p a,b,p a,b,p ,在同一行用空格隔开。
输出格式
输出一个整数，表示a^b mod p的值。
数据范围
0 ≤ a , b ≤ 10 9 0 \le a,b \le 10^9 0≤a,b≤109
1 ≤ p ≤ 10 9 1 \le p \le 10^9 1≤p≤109
输入样例：
3 2 7输出样例：
2解题思路
令 a = 2 a = 2 a=2， b = 34 b = 34 b=34：
2 34 = 2 ( 100010 ) B 2^{34} = 2^{(100010)B} 234=2(100010)B
= 2 2 5 ⋅ 1 + 2 4 ⋅ 0 + 2 3 ⋅ 0 + 2 2 ⋅ 0 + 2 1 ⋅ 1 + 2 0 ⋅ 0 = 2^{2^5·1+2^4·0+2^3·0+2^2·0+2^1·1+2^0·0} =225⋅1+24⋅0+23⋅0+22⋅0+21⋅1+20⋅0
= 2 2 5 ⋅ 1 + 2 1 ⋅ 1 = 2^{2^5·1+2^1·1} =225⋅1+21⋅1
= 2 2 5 ⋅ 1 ⋅ 2 2 1 ⋅ 1 = 2^{2^5·1}·2^{2^1·1} =225⋅1⋅221⋅1
- 因为 2 2 n = 2 2 n − 1 ⋅ 2 2 n − 1 2^{2^n}=2^{2^n−1}·2^{2^n−1} 22n=22n−1⋅22n−1
- 所以我们可以使用一个临时变量 t e m p temp temp 存储 2 2 i 2^{2^i} 22i，每移动一位， t e m p = t e m p 2 % p temp = temp^2 \% p temp=temp2%p，起到递增效果；
- 如果该位对应的二进制位数为 1 1 1，
- 则将该临时变量 t e m p temp temp 累乘至结果：
- a n s = a n s ⋅ t e m p % p ans = ans·temp \% p ans=ans⋅temp%p。
- 注意. t e m p temp temp 初始值为 a 2 0 a^{2^0} a20， a n s ans ans 初始值为 1 1 1。
参考代码
无注释
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a, b, p, temp, ans;
int main(){
cin >> a >> b >> p;
temp = a, ans = 1;
for(; b; b >>= 1){
if(b & 1) ans = ans * temp % p;
temp = temp * temp % p;
}
cout << ans % p;
return 0;
}详细注释
cpp
#include<bits/stdc++.h> // 包含几乎所有标准库，方便竞赛使用
using namespace std;
long long a, b, p, temp, ans; // 定义变量：a 底数，b 指数，p 模数，temp 记录当前权值，ans 记录结果
int main(){
cin >> a >> b >> p; // 读入三个整数
temp = a; // temp 初始化为 a，表示 a 的 1 次方
ans = 1; // ans 初始化为 1（任何数的 0 次方为 1，用于累乘）
// 快速幂算法（二进制取模幂）
// 循环将指数 b 按二进制位处理，直到 b 变为 0
for(; b; b >>= 1){ // 每次循环将 b 右移一位，相当于 b //= 2
if(b & 1) // 如果当前最低位是 1，说明需要乘上当前权值
ans = ans * temp % p; // 将 ans 乘以当前权值并取模 p
temp = temp * temp % p; // 权值平方，即从 a^(2^k) 变为 a^(2^(k+1))，并取模 p
}
// 输出结果。由于循环中已经不断取模，ans 已经小于 p，但考虑 b=0 且 p=1 的情况，
// 此时 ans 仍为 1，但 1 % 1 = 0，所以再取一次模保证正确性
cout << ans % p;
return 0; // 程序结束
}