稀疏矩阵的 CSR 格式（Compressed Sparse Row）

CSR 是一种存储稀疏矩阵的高效格式，通过只存储非零元素来节省内存。它用三个数组来表示矩阵。

1. 三个核心数组

假设我们有一个稀疏矩阵：

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[[1, 0, 0, 2],
 [0, 3, 4, 0],
 [5, 0, 0, 6]]

CSR 格式需要三个数组：

data 数组

存储所有非零元素的值，按行优先顺序排列：

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data = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

indices 数组

存储每个非零元素所在的列索引：

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indices = [0, 3, 1, 2, 0, 3]

indptr 数组

行指针数组，长度为 行数 + 1，存储每行第一个非零元素在 data 中的起始位置：

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indptr = [0, 2, 4, 6]

解释，

indptr[0] =0 指出第0行从 data $0$ 开始

indptr[1] =2 指出第1行从 data $2$ 开始

indptr[2] =4 指出第2行从 data $4$ 开始

indptr[3] =6 指出结束位置，同时最后这个值也会等于元素个数。

2. 矩阵重建过程

通过三个数组可以完全恢复原矩阵：

第0行 data[indptr[0]:indptr[1]] = [1, 2]，对应列 indices[0:2] = [0, 3]
第1行 data[indptr[1]:indptr[2]] = [3, 4]，对应列 indices[2:4] = [1, 2]
第2行 data[indptr[2]:indptr[3]] = [5, 6]，对应列 indices[4:6] = [0, 3]

3. 代码示例

python 复制代码

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix

# 创建稀疏矩阵
dense_matrix = np.array([[1, 0, 0, 2],
                         [0, 3, 4, 0],
                         [5, 0, 0, 6]])

# 转换为CSR格式
sparse_csr = csr_matrix(dense_matrix)

# 查看三个数组
print(f"data: {sparse_csr.data}")
print(f"indices: {sparse_csr.indices}")
print(f"indptr: {sparse_csr.indptr}")

# 从CSR格式重建
reconstructed = sparse_csr.toarray()
print(f"重建矩阵:\n{reconstructed}")

4. 优点和缺点

优点

节省内存，只存储非零元素

行切片和矩阵乘法效率高

适合行访问频繁的场景

缺点

列访问效率低

频繁插入/删除非零元素代价高

比 COO 格式复杂

5. 适用场景

机器学习中的特征矩阵（通常是行表示样本，列表示特征）

图算法中的邻接矩阵

有限元分析

任何行访问频繁的稀疏矩阵运算

CSR 格式是现代科学计算和机器学习中最常用的稀疏矩阵存储格式之一，特别是在处理大规模数据时。