在上一篇中，我们介绍了最小噪声分数变换 MNF，它在 PCA 基础上引入噪声建模的一种改进降维方法，但我们也提到了:MNF 依赖噪声估计，其效果很大程度依赖噪声协方差矩阵的估计，如果噪声估计不准确，降维效果可能明显下降。
换句话说，噪声估计的质量，直接决定了 MNF 的最终效果。
因此，如果希望在高光谱图像处理中更好地应用 MNF，一个关键问题就是：
如何更准确地估计图像中的噪声？
这也是本篇文章的主要内容。
我们从上一篇中提到的空间差分方法出发，进行对噪声估计方法的简单综述，简要讲解现存的几类噪声估计方法的基本原理与适用场景。
1. 差分类方法（Difference-based Methods）
差分类方法的核心思想是：利用邻域像素之间的差值来削弱真实信号，从而突出噪声成分。
展开来说，在自然图像或高光谱图像中，真实信号通常具有一定的空间连续性，相邻像素之间变化较为平滑。而噪声往往是随机波动的，因此，对相邻像素进行差分运算时，信号部分往往会相互抵消，而噪声则会被保留下来。
在诸多方法中，这类方法的优点是实现简单、计算效率高 。
但与此同时，差分法依赖一个重要假设：相邻像素之间的真实信号变化较小 。当图像中存在明显的边缘或纹理结构时，差分结果会混入真实信号变化，从而导致噪声被高估。
而且，差分法只利用局部空间信息 ，而没有利用高光谱数据中波段之间的相关性 ，也让其在复杂任务中稍显逊色。
因此，这类方法更适用于图像变化较平滑的场景 ，作为一种快速、基础的噪声估计手段。
差分类方法中最简单的就是我们在上一篇中使用的单向空间差分（Spatial Difference）：
\[\hat{N} = X(i,j) - X(i+1,j) \]
其利用相邻像素之间的简单差值来估计噪声。
而在此基础上一种简单的改进方法是使用双向差分（Bidirectional Difference） 。
在刚刚的空间差分中，我们只在一个方向上进行差分，但实际上，图像结构可能在某个方向上变化较大，如果只使用单一方向的差分，可能会把真实信号变化误当成噪声。
因此，可以同时在水平和垂直方向进行差分：
\[\hat{N}_h = X(i,j) - X(i+1,j) \]
\[\hat{N}_v = X(i,j) - X(i,j+1) \]
然后再将两个方向的差分结果进行统计，例如计算整体方差，从而得到更加稳定的噪声估计。
还没完，在此基础上，还可以进一步扩展为多方向差分（Directional Difference） :
这种方法不仅考虑水平和垂直方向，还会加入对角线方向的差分，例如：
\[\hat{N}_d = X(i,j) - X(i+1,j+1) \]
\[\hat{N}_{d2} = X(i,j) - X(i+1,j-1) \]
这样就可以在多个方向上估计噪声，然后将这些差分结果综合起来进行统计分析。
多方向差分可以进一步降低图像中边缘、纹理等局部结构变化对噪声估计造成的干扰，从而获得更加可靠的估计结果。
我们用一个简单的实例来进行演示：
接下来我们利用这些像素，通过不同的差分方式构造噪声样本。
假设有 四个相邻像素 ：\(P_1、P_2、P_3、P_4\)，它们在空间中的位置如下：
\[\begin{matrix} P_1 & P_2 \\ P_3 & P_4 \end{matrix} \]
其中，每个像素都是一个 3 维光谱向量（3 个波段）:
\[P_1 = [100,50,30] \quad\quad P_2 = [102,52,31] \]
\[P_3 = [101,49,29] \quad\quad P_4 = [103,51,30] \]
现在，在这个 \(2\times2\) 的邻域中，竖直方向可以得到两组相邻像素：
- 第一列：\(P_1\) 与 \(P_3\)
- 第二列：\(P_2\) 与 \(P_4\)
因此计算它们的差分：
\[n_1 = P_1 - P_3=[100,50,30] - [101,49,29]=[-1,1,1] \]
\[n_2 = P_2 - P_4 = [102,52,31] - [103,51,30]=[-1,1,1] \]
可以看到，每一次像素差分都会得到一个 3 维噪声向量 。
接下来，我们将这些差分结果按行堆叠，构造噪声样本矩阵：
\[N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]
在这个矩阵中：每一行就表示一个噪声样本，每一列就表示一个波段的噪声值。
现在，我们都得到了使用单向差分构造的噪声样本矩阵，下一步，我们就在此基础上使用双向差分来看看：
在双向差分中，我们不仅考虑 竖直方向 ，还要加入 水平方向 的差分。
因此我们继续计算水平方向差分：
\[n_3 = P_1 - P_2 =[100,50,30] - [102,52,31]=[-2,-2,-1] \]
\[n_4 = P_3 - P_4 = [101,49,29] - [103,51,30]=[-2,-2,-1] \]
可以看到，水平方向同样得到了两个 3 维噪声样本向量。接下来，我们将 竖直方向和水平方向得到的噪声样本统一堆叠，构造新的噪声样本矩阵：
\[N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -1 \\ -2 & -2 & -1 \end{bmatrix} \]
可以看到，相比单向差分，双向差分产生了 两倍数量的噪声样本 。
因此，我们获得了 更多的噪声观测数据，从而能够得到更加稳定的噪声统计结果。
最后，我们进一步加入 对角线方向的差分：
\[n_5 = P_1 - P_4 = [100,50,30] - [103,51,30] = [-3,-1,0] \]
\[n_6 = P_2 - P_3 = [102,52,31] - [101,49,29] = [1,3,2] \]
我们将得到的噪声样本统一堆叠，构造完整的噪声样本矩阵如下：
\[N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -1 \\ -2 & -2 & -1 \\ -3 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \]
你会发现，通过在多个方向上构造差分，我们不仅能够获得更多的噪声观测数据，还可以降低图像中某一特定方向结构变化对噪声估计造成的影响，从而得到更加稳定和可靠的噪声统计结果。
2. 统计类方法（Statistics-based Methods）
统计类方法的核心思想是：利用图像局部区域的统计特性来估计噪声强度。
这类方法同样基于一个基本假设：在较小的空间窗口内，真实信号变化相对缓慢，因此像素之间的差异主要来源于噪声。如果能够在图像中找到变化较平缓的区域，那么该区域内像素的统计波动就可以用来估计噪声强度。
从思想上来看，这类方法与前面介绍的差分类方法有一定相似之处：二者都依赖于"局部区域内真实信号相对稳定"的假设 。不同之处在于，差分法通过计算相邻像素之间的差值来显式削弱信号，而统计类方法则是通过分析局部像素分布的统计特性（如方差）来间接估计噪声水平。
在实际应用中，统计类方法通常会在图像上使用滑动窗口计算局部统计量，或者筛选出方差较小的平滑区域进行估计，因此相比简单差分方法往往具有更好的稳定性 。
但它也同样有其缺陷，统计类方法对窗口尺寸的选择敏感 ，过小窗口可能无法充分反映噪声统计特性，过大窗口又可能引入更多信号变化，对估计精度产生影响。
同时，对于非平稳噪声，其适应性也较差。
因此，这类方法同样适用于信号变化较平缓、平滑区域丰富的图像 ，作为一种稳健的噪声估计手段，适合需要对每个波段分别评估噪声强度的高光谱图像。
最常用的统计方法是局部方差估计（Local Variance Estimation） 。
其基本步骤通常如下：
- 在图像中选取一个局部窗口 ，例如 \(5\times5\) 或 \(7\times7\)。
- 计算窗口内像素的均值。
- 再计算窗口内像素相对于均值的方差，并将其作为噪声强度的估计。
其思想也比较好理解：假定某个区域的像素属于同一个分类，那么像素值本应接近一致，因此局部像素的波动（方差）主要来源于噪声，这样就可以用方差来量化噪声强度。
在此基础上，还可以进一步进行改进。例如，一些方法会在整幅图像中滑动窗口，计算大量局部方差，然后选择方差最小的一部分区域 作为噪声估计的依据。
这是因为方差较小的区域通常对应信号变化较平滑的背景区域，因此更接近真实噪声水平。
同样来看一个实例：
假设在某个局部窗口中，我们观测到 5 个像素 ，每个像素包含 3 个波段，数据如下：
\[X = \begin{bmatrix} 100 & 50 & 30 \\ 102 & 52 & 31 \\ 101 & 49 & 29 \\ 99 & 51 & 30 \\ 98 & 50 & 31 \end{bmatrix} \]
首先，计算每个波段的均值向量：
\[\bar{X} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} X_i = [100, 50.4, 30.2] \]
然后，将每个像素与均值向量的差值构成偏差矩阵：
\[\Delta = X - \bar{X} = \begin{bmatrix} 0 & -0.4 & -0.2 \\ 2 & 1.6 & 0.8 \\ 1 & -1.4 & -1.2 \\ -1 & 0.6 & -0.2 \\ -2 & -0.4 & 0.8 \end{bmatrix} \]
接下来，计算噪声协方差矩阵：
\[C_n = \frac{1}{5} \Delta^T \Delta = \begin{bmatrix} 2 & 0.4 & 0.4 \\ 0.4 & 1.12 & 0.56 \\ 0.4 & 0.56 & 0.72 \end{bmatrix} \]
现在，我们得到的局部协方差矩阵就可以直接用于 MNF 白化步骤 。
而如果我们选择了多个局部窗口，得到的多个协方差矩阵也只需要取平均聚合后，就可以应用于 MNF。
此外，除去使用方差之外，也存在使用标准差、绝对偏差、最小二乘拟合残差或 robust 方差的形式，但只是所求统计量的不同，其基本逻辑仍是一样的。
3. 回归类方法（Regression-based Methods）
回归类方法的核心思想是：通过建立像素或波段之间的预测关系，将预测残差视作噪声，从而进行噪声估计 。
与前两类方法相比，回归类方法不仅利用局部空间信息，还可以利用高光谱数据中波段间的相关性 ，因此在多波段高光谱图像中往往更加精确。
在不考虑计算成本、只追求噪声估计精度的情况下，回归类方法是目前高光谱领域最权威、精确的噪声估计方法。
回归类方法常见做法如下：
- 对目标波段建立回归模型，用相邻像素或其他波段进行预测。
- 计算预测残差，将残差作为噪声样本。
- 对整个图像或多个像素重复该过程，得到噪声估计矩阵或协方差矩阵，可直接用于 MNF 白化或噪声分析。
对这类方法，我们需要先补充一部分理论基础：
首先，高光谱图像的波段间是高度相关的 ：高光谱图像的每个像素都有多个波段，这些波段的光谱响应往往是连续且相关 的。比如对于植被像素，红边波段和近红外波段的值之间存在一定的线性或非线性关系。
一般来说，高光谱图像中波段距离越近，相关性越强。但噪声是设备误差等原因产生的，它通常在各个波段中是随机的。
因此，当我们选取波段相近的几个邻居，用回归模型去预测一个波段的真实信号，再计算观测值与其的残差，得到的不符合预测模式的波动，我们就认为这是噪声。
同样来看一个例子：
假设某像素在 三个波段 的观测值为：
\[x = [100, 50, 30] \]
此时，我们希望估计波段 3 的噪声 。就可以利用波段 1 和波段 2 的值建立一个线性回归模型：$$ \hat{x}_3 = a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c $$ 在图像中选取多个像素，利用最小二乘法或其他回归方法求解参数 \(a, b, c\)。得到预测值，我们假定如下：
\[\hat{x}_3=28 \]
下面，我们将实际观测值与预测值相减，就能得到残差：
\[r = x_3 - \hat{x}_3=30-28=2 \]
这个残差 \(r=2\) 就可以作为该像素在波段 3 上的噪声样本，对图像中多个像素重复上述过程，就可以得到整幅图像波段 3 的噪声样本向量。
如果对每个波段都建立类似回归模型 ，得到各波段的残差向量，就可以构造完整的噪声样本矩阵 \(N\)：
\[ N = \begin{bmatrix} r_1^{(1)} & r_2^{(1)} & r_3^{(1)} \\ r_1^{(2)} & r_2^{(2)} & r_3^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ r_1^{(m)} & r_2^{(m)} & r_3^{(m)} \end{bmatrix} \]
其中每一行表示一个像素的残差，每一列表示一个波段的噪声样本。然后就可以进一步计算噪声协方差矩阵。
回归类方法 利用波段间的相关性 ，可以得到更精确的噪声协方差矩阵，从而在后续的 MNF 或噪声白化处理中提供可靠的噪声信息，是目前公认的高精度噪声估计方法。
在目前的高光谱噪声估计领域，研究重点也大都集中在改进回归模型精度、引入非线性或多变量预测策略，以进一步提高噪声估计的可靠性上。
4.总结
| 方法类别 | 核心思想 | 优点 | 限制 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 差分类方法 | 利用邻域像素差值削弱真实信号，将差分结果视作噪声。 | 实现简单、计算效率高。 | 假设相邻像素信号变化小；边缘或纹理区域易高估噪声；只利用空间信息。 | 图像平滑、变化不剧烈的场景；快速噪声估计。 |
| 统计类方法 | 利用局部窗口内像素统计特性（如方差）估计噪声。 | 稳定性较好；可直接得到噪声强度或协方差。 | 对窗口尺寸敏感；对非平稳噪声适应性差。 | 信号变化平缓、平滑区域丰富的图像；需每波段噪声估计。 |
| 回归类方法 | 利用波段或邻域像素建立预测模型，将预测残差视作噪声。 | 精度高；利用空间和波段相关性；可直接用于噪声协方差矩阵构建。 | 计算成本高；模型拟合需足够像素样本。 | 追求高精度噪声估计，尤其用于 MNF 或高精度降维。 |