【拓扑学+航天轨道动力学】同伦（Homotopy）概念解析

文章目录

引言
[1 航天轨道动力学或其他领域中的同伦概念及应用](#1 航天轨道动力学或其他领域中的同伦概念及应用)
- [1.1 同伦方法求解非线性微分方程边值问题](#1.1 同伦方法求解非线性微分方程边值问题)
- [1.2 小推力转移轨道优化的同伦方法研究](#1.2 小推力转移轨道优化的同伦方法研究)
- [1.3 同伦算法在单位矢量法定轨中的应用](#1.3 同伦算法在单位矢量法定轨中的应用)
- [1.4 最小燃料消耗轨道转移问题的同伦方法](#1.4 最小燃料消耗轨道转移问题的同伦方法)
- [1.5 一般多目标规划问题的同伦内点法](#1.5 一般多目标规划问题的同伦内点法)
- [1.6 变量比冲低推力轨迹优化的同伦法](#1.6 变量比冲低推力轨迹优化的同伦法)
- [1.7 基于同伦方法的地月系L2点小推力转移轨道优化](#1.7 基于同伦方法的地月系L2点小推力转移轨道优化)
- [1.8 低能地月转移通过功能连接和同伦理论](#1.8 低能地月转移通过功能连接和同伦理论)
[2 拓扑学中的同伦概念](#2 拓扑学中的同伦概念)
- [2.1 前置概念：连续映射](#2.1 前置概念：连续映射)
- [2.2 同伦的定义](#2.2 同伦的定义)
- [2.3 对定义的详细拆解](#2.3 对定义的详细拆解)
- [2.4 总结](#2.4 总结)
[3 使用同伦法优化星历模型下地月空间轨道设计的思路](#3 使用同伦法优化星历模型下地月空间轨道设计的思路)
参考文献

引言

我想为大家解释一下【同伦（Homotopy）】这一概念及其背景。在研究地月空间任务轨道设计时，我接触到了这一概念。设计地月空间周期轨道时，通常首先基于圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem, CRTBP）模型进行，因为该模型直观、易于理解，且在十九至二十世纪被广泛用于地月系统研究。然而，在实际任务中，需将该模型下设计的轨道初值转换至更精确的物理模型（如真实引力场模型）中。由于物理模型包含更多摄动因素，直接外推CRTBP模型下设计的轨道初值会导致轨道显著偏离预期，因此需对初始位置与速度进行调整。

为此，微分校正方法被广泛应用：其核心是依据物理模型下外推结果与目标轨迹的偏差，反向修正初始条件。然而，由于圆形限制性三体模型与物理模型差异显著，直接迭代常导致不收敛。为提升收敛性，学者们提出引入中间模型作为过渡，如椭圆限制性三体模型、限制性四体模型、希尔模型或拟周期模型等。通过这些中间模型进行初步微分校正，可获得更接近真实模型的初值，从而显著提高后续在物理模型中收敛的成功率。

另一种方式是通过同伦方法，不使用中间模型，而是引入同伦参数，将动力学模型逐步变换为星历模型。这一方向的研究似乎较少，我初步打算在此领域开展研究。在阅读期刊文章和学术论文时，我发现人们对"同伦"这一概念的理解差异极大，难以统一解读。于是，我查阅了若干专业数学书籍，厘清了"同伦"在数学中的严格定义，并在此基础上对这一概念进行系统总结。希望通过本文，读者能对"同伦"有更深入的理解，并对同轮法在地月空间轨道设计与转移轨道设计中的应用获得新的启发。

1 航天轨道动力学或其他领域中的同伦概念及应用

1.1 同伦方法求解非线性微分方程边值问题

刘明姬. 同伦方法求解非线性微分方程边值问题[D]. 长春: 吉林大学, 2010.

本文应用同伦理论求解非线性微分方程的边值问题。全文共分三章：第一章为绪论，第二章与第三章构成论文主体部分。

在第二章中，我们采用同伦方法研究非线性微分方程的边值问题，并给出了求解该边值问题的同伦算法。我们在非凸域中构造Liapunov函数，且不施加凸性限制，进而利用同伦连续法追踪从初值出发的路径，最终求得满足边值条件的解。若干数值算例表明该方法是有效的。

在第三章中，我们将同伦摄动方法与重正化群方法相结合，提出了同伦摄动重正化群方法，进一步发展了同伦摄动法。该方法有效克服了解展开式的非一致性问题，从而能够更高效地处理含长期项、边界层等非一致性问题。通过数值算例，我们将说明该方法在多尺度问题、具有渐近匹配技术困难的边界层问题，以及带转点的WKB分析微分方程中的应用。

1.2 小推力转移轨道优化的同伦方法研究

潘迅. 小推力转移轨道优化的同伦方法研究[D]. 西安: 西北工业大学, 2024.

通过开展复杂多样的航天任务,以提高科学价值和经济回报,是未来航天的重要发展趋势。然而,传统的化学推进具有比冲小、推进效率低等缺点,严重制约着航天事业的发展。以电推进为代表的小推力推进技术具有高比冲的优点,能显著降低燃料消耗质量、增加航天器有效载荷和延长在轨运行寿命,是实现低成本、高回报航天任务的关键技术。小推力推进技术已在地球应用卫星和深空探测等领域的多项任务中展示了优异性能,在未来航天活动中具有广阔的应用前景。

由于具有推力幅值小、转移时间长等特点,小推力转移轨道优化问题呈现出高度非线性和初值敏感性,优化求解十分困难。同伦方法基于数值延拓的思想,在优化模型中嵌入同伦参数,通过迭代求解同伦子问题来逼近目标问题,具有良好的收敛特性,可以有效克服初值敏感和收敛性难题。同伦方法在小推力优化问题中的研究尚处于发展阶段,目前多侧重于简单应用,但对同伦原理和关键技术等内容缺乏研究。

本文针对同伦方法中的构造同伦函数、跟踪同伦路径、求解目标问题等3个关键步骤展开系统研究,主要内容包括:

(1)根据小推力优化问题的特点,建立构造同伦函数的指导原则,并基于不同航天任务的特性分析,提出多种同伦函数的构造方法;

(2)对同伦路径的存在形式进行研究,并针对零曲线存在性、返回初始边界和趋于无穷的路径奇异性问题,提出了概率1同伦、参数限制同伦和双层同伦等3种同伦方法;

(3)针对小推力优化问题存在多个局部解的特点,提出全局寻优的同伦方法,并求解了时间最优问题和燃料最优问题的最优解。

论文的主要创新点如下:

(1)提出多次同伦方法,通过构造性能指标、动力学模型或约束条件的同伦函数,克服长时间转移和不连续bang-bang控制导致的初始猜测敏感困难。将性能指标的二阶同伦和动力学模型的线性同伦相结合,提出二阶同伦方法,通过对初始问题进行解析求解,可以简化求解流程,并提高计算效率。

(2)提出构造连续零曲线的概率1同伦方法和参数限制同伦方法。前者通过理论推导,得到存在连续零曲线的充分条件,构造满足该条件的同伦函数,可以保证零曲线的存在性;后者在一般同伦的基础上,引入辅助函数和罚函数,构造参数限制同伦函数,通过连接不同路径分支,得到连续零曲线。

(3)提出构造不连续零曲线的双层同伦方法,克服同伦路径返回初始边界或趋于无穷的奇异性问题。在第一层同伦中构造初始问题与目标问题的关联,在第二层同伦中实现不同路径分支之间的跳跃。利用双层同伦方法得到的零曲线具有单调性和不连续性,且曲线弧长较短,表明同伦过程具有较高的计算效率。

(4)提出全局寻优的二层同伦方法,解决了小推力优化问题中存在多个局部解的问题。在第一层同伦中,采用参数限制定点同伦,得到初始问题的多个局部解;在第二层同伦中,以初始问题的多个解为起点,并行跟踪多条同伦路径,得到目标问题的多解;最后通过性能指标的对比分析,确定出全局最优解,从而实现了系统化的全局寻优。

1.3 同伦算法在单位矢量法定轨中的应用

白鹤峰, 谢腾翔. 同伦算法在单位矢量法定轨中的应用[J]. 飞行器测控学报, 1998(第2期): 25-29.

本文提出一种由三个观测方向确定卫星初轨的方法,在该法中卫星轨道直接由六个经典轨道根数表示。轨道根数的求解涉及对冗余非线性方程组的求解,结合同伦方法基本思想和冗余非线性方程组的最小二乘广义逆,本文给出了该卫星定轨的同伦求解法。初步仿真计算表明,同伦求解法较其它传统的非线性方程组求解法在全局收敛方面具有优越性,同时也就表明该定轨法是切实可行的。值得指出,本文方法很容易扩展到N(N3)个观测方向确定卫星初轨,此时定轨精度将进一步提高。

1.4 最小燃料消耗轨道转移问题的同伦方法

Gergaud J, Haberkorn T. Homotopy method for minimum consumption orbit transfer problem[J]. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 2006, 12(2): 294-310.

针对地球低推力轨道转移问题，以终端质量最大化或燃料消耗最小化为目标开展数值求解研究。由于最优控制存在不连续性，该问题难以通过打靶法直接求解，为此提出同伦方法处理此类难题，并论证了该方法的收敛特性。在推力为0.1牛顿、终端时间比最短转移时间增加50%的工况下，计算获得了1786次推力开关切换时刻。

1.5 一般多目标规划问题的同伦内点法

Zhao X, Zhang S G, Liu Q H. Homotopy interior‐point method for a general multiobjective programming problem[J]. Journal of Applied Mathematics, 2012, 2012(1): 497345.

本文针对一般多目标规划问题，提出了一种同伦内点组合算法。为求解该问题的KKT点，我们构造了相应的同伦方程。在若干基本假设条件下，证明了从几乎任意初始内点出发，都存在光滑同伦路径收敛至KKT系统的解。

1.6 变量比冲低推力轨迹优化的同伦法

Chi Z, Yang H, Chen S, et al. Homotopy method for optimization of variable-specific-impulse low-thrust trajectories[J]. Astrophysics and Space Science, 2017, 362(11): 216-229.

同伦方法在求解恒定比冲低推力燃料最优轨迹问题中已被证明是一种有效工具。然而，在实际应用中，多数太阳能电推进推力器受功率限制，其比冲往往是可变的。本文研究同伦方法在可变比冲低推力轨迹优化中的应用。当采用两种常用同伦函数进行轨迹优化时会出现困难：最优功率节流水平与最优比冲在常用的二次型和对数型同伦函数中存在耦合关系。为克服这一难题，本文提出一种改进的对数型同伦函数作为轨迹优化的桥梁，使得最优功率节流水平与最优比冲的解耦表达式得以建立。基于此同伦函数，本文提出了相应的同伦方法。数值仿真验证了所提方法的可行性与高效性。

1.7 基于同伦方法的地月系L2点小推力转移轨道优化

潘迅, 泮斌峰. 基于同伦方法的地月系L2点小推力转移轨道优化[J]. 载人航天, 2019, 25(1): 25-30.

针对地月系下航天器从GEO轨道到L2点的时间最优小推力转移轨道问题,基于庞德里亚金极值原理,推导了限制性三体问题模型下的小推力转移轨道优化问题的最优性一阶必要条件,即推力保持最大值,且方向始终沿主矢量反方向,并将优化问题转换为两点边值问题。通过与同伦方法相结合,解决了间接法求解过程中收敛域小的困难。首先构造了针对推力幅值进行同伦的同伦函数,以大推力幅值的轨道转移问题作为同伦初始问题,然后选取连续同伦中的伪弧长法为同伦曲线跟踪方法,通过迭代求解了不同同伦参数值下的子问题,最终得到原问题下的小推力转移轨道。最后,在数值仿真中得到了不同推力值下的转移轨道,验证了该同伦方法在求解小推力转移轨道中的有效性。

1.8 低能地月转移通过功能连接和同伦理论

Campana C T, Merisio G, Topputo F. Low-energy earth--moon transfers via theory of functional connections and homotopy[J]. Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy, 2024, 136(3): 21-56.

众多航天任务利用地-月-日系统中的弱稳定边界，以实现安全且经济高效的月球环境访问。此类转移轨道预计将在未来的任务中发挥重要作用。本文提出一种设计低能耗转移轨道的新方法，该方法结合了新兴的函数连接理论与同伦延拓策略。首先将地-月系统与日-地系统中的平面拼接转移段延拓至高精度模型，最终使完整的地月转移轨道适配于平面地-月系统受太阳摄动的双圆限制性四体问题动力学模型。本方法的创新性在于延拓过程与最终收敛阶段完全避免了轨道递推计算。该公式化方法在进行大规模网格搜索时优势显著，可自动生成超过2000条低能耗转移轨道。随后，通过标准的直接配点法与多重打靶算法对这些轨道进行优化。本研究表明，在混沌动力学环境中建模的双脉冲低能耗转移轨道能够有效地用函数连接理论进行表述，从而简化其整体设计流程。此外，研究也论证了该理论与同伦延拓方法协同应用的可行性。

2 拓扑学中的同伦概念

在拓扑学中，我们不仅仅关注空间的形状，还关注空间之间的映射关系。当我们要描述"两个映射如何连续地变成另一个"时，我们就引入了同伦的概念。这不仅仅是几何上的直观形变，更是一套严谨的数学语言。

本文将基于拓扑映射的基本定义，解析同伦（Homotopy）的数学定义及其核心要素。

2.1 前置概念：连续映射

在定义同伦之前，我们必须明确什么是"连续映射"。这是拓扑学中最基本的结构保持性质。

设 ( X , τ X ) (X, \tau_X) (X,τX) 和 ( Y , τ Y ) (Y, \tau_Y) (Y,τY) 是两个拓扑空间，映射 f : X → Y f: X \to Y f:X→Y 称为连续的，如果对于 Y Y Y 中的每一个开集 V V V，其原像 f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f−1(V) 在 X X X 中也是开集。

∀ V ∈ τ Y , f − 1 ( V ) ∈ τ X \forall V \in \tau_Y, \quad f^{-1}(V) \in \tau_X ∀V∈τY,f−1(V)∈τX

解析：

这里的定义完全依赖于开集。我们不使用"距离"或"极限"来定义连续性，而是通过集合的原像来定义。这意味着，如果 Y Y Y 中有一个"没有边界"的集合 V V V，那么在 X X X 中对应的集合 f − 1 ( V ) f^{-1}(V) f−1(V) 也必须是"没有边界"的。这种定义方式使得连续性的概念可以脱离度量空间，应用在更广泛的拓扑空间中。

2.2 同伦的定义

同伦是连续映射的一个等价关系。它描述了两个映射 f f f 和 g g g 之间的一种"连续变形"。

设 f , g : X → Y f, g: X \to Y f,g:X→Y 是两个从拓扑空间 X X X 到拓扑空间 Y Y Y 的连续映射。如果存在一个连续映射：

H : [ 0 , 1 ] × X → Y H: [0,1] \times X \to Y H:[0,1]×X→Y

满足以下两个端点条件：

H ( 0 , x ) = f ( x ) H(0, x) = f(x) H(0,x)=f(x)
H ( 1 , x ) = g ( x ) H(1, x) = g(x) H(1,x)=g(x)

那么我们就称映射 H H H 是连接 f f f 和 g g g 的一个同伦，并称 f f f 与 g g g 是同伦的。

2.3 对定义的详细拆解

让我们逐行解析上述定义，特别是其中的数学符号：

f , g : X → Y f, g: X \to Y f,g:X→Y

这表示 f 和 g 是定义在同一个源空间 X 上，且映射到同一个目标空间 Y 的两个函数。它们是我们想要比较的"起点"和"终点"。
H : [ 0 , 1 ] × X → Y H: [0,1] \times X \to Y H:[0,1]×X→Y

这是同伦的核心------形变函数。
- $0 , 1 \] \[0,1\] \[0,1\]：这是单位闭区间，代表"时间"参数。当 t t t 从 0 0 0 变化到 1 1 1 时，形变过程发生。$
- 连续性：映射 H H H 本身必须是连续的。这意味着在时间和空间上的微小变化，不会导致结果 H ( t , x ) H(t,x) H(t,x) 的突变。
端点条件

这两个公式定义了形变的起止状态：
- H ( 0 , x ) = f ( x ) H(0, x) = f(x) H(0,x)=f(x)：当时间 t = 0 t=0 t=0 时，形变函数 H H H 必须完全等同于初始映射 f f f。
- H ( 1 , x ) = g ( x ) H(1, x) = g(x) H(1,x)=g(x)：当时间 t = 1 t=1 t=1 时，形变函数 H H H 必须完全等同于目标映射 g g g。

2.4 总结

同伦的概念通过引入时间参数 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]，将两个静态的映射 f f f 和 g g g 联系起来，形成一个动态的连续过程 H H H。

它在代数拓扑中至关重要，因为如果两个映射是同伦的，它们在很多代数层面（如诱导的同态）上往往具有相同的性质。简单来说，同伦允许我们在不改变拓扑本质属性的前提下，对空间或映射进行"拉伸"和"弯曲"。

3 使用同伦法优化星历模型下地月空间轨道设计的思路

（待补充）

参考文献

1\] 王则柯. 同伦方法纵横谈\[M\]. 大连理工大学出版社, 2011. \[2\] 刘明姬. 同伦方法求解非线性微分方程边值问题\[D\]. 长春: 吉林大学, 2010. \[3\] 潘迅. 小推力转移轨道优化的同伦方法研究\[D\]. 西安: 西北工业大学, 2024. \[4\] Alexander J, Yorke J A. The homotopy continuation method: numerically implementable topological procedures\[J\]. Transactions of the American Mathematical Society, 1978, 242: 271-284. \[5\] Chow S N, Mallet-Paret J, Yorke J A. Finding zeroes of maps: homotopy methods that are constructive with probability one\[J\]. Mathematics of Computation, 1978, 32(143): 887-899. \[6\] Li T Y, Yorke J A. A simple reliable numerical algorithm for following homotopy paths\[J\]. Analysis and Computation of Fixed Points, 1980: 73-91. \[7\] Watson L T. Numerical linear algebra aspects of globally convergent homotopy methods\[J\]. SIAM Review, 1986, 28(4): 529-545. \[8\] Watson L M, Scott M R. Solving spline-collocation approximations to nonlinear two-point boundary-value problems by a homotopy method\[J\]. Applied Mathematics and Computation, 1987, 24(4): 333-357. \[9\] Zhenghua L, Yong L, Bo Y. A combined homotopy interior point method for general nonlinear programming problems\[J\]. Applied Mathematics and Computation, 1996, 80(2-3): 209-224. \[10\] 白鹤峰, 谢腾翔. 同伦算法在单位矢量法定轨中的应用\[J\]. 飞行器测控学报, 1998(第2期): 25-29. \[11\] Lin Z, Li Y. Homotopy method for solving variational inequalities\[J\]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1999, 100(1): 207-218. \[12\] Gergaud J, Haberkorn T. Homotopy method for minimum consumption orbit transfer problem\[J\]. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 2006, 12(2): 294-310. \[13\] Zhao X, Zhang S G, Liu Q H. Homotopy interior‐point method for a general multiobjective programming problem\[J\]. Journal of Applied Mathematics, 2012, 2012(1): 497345. \[14\] Chi Z, Yang H, Chen S, et al. Homotopy method for optimization of variable-specific-impulse low-thrust trajectories\[J\]. Astrophysics and Space Science, 2017, 362(11): 216-229. \[15\] 潘迅, 泮斌峰. 基于同伦方法的地月系L2点小推力转移轨道优化\[J\]. 载人航天, 2019, 25(1): 25-30. \[16\] Campana C T, Merisio G, Topputo F. Low-energy earth--moon transfers via theory of functional connections and homotopy\[J\]. Celestial Mechanics \& Dynamical Astronomy, 2024, 136(3): 21-56. \[17\] 张衷韬, 郑毅, 张亚坤, 等. 航天器轨道追逃博弈问题的同伦解法\[J\]. 宇航学报, 2025, 46(7): 1345-1354.